Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Nội dung text: Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

1. Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề : NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG A. Áp dụng những hằng đẳng thức 1. Bình phương của một tổng: A B 2 A2 2AB B 2 = A B 2 4AB 2. Bình phương của một hiệu: A B 2 B A 2 A2 2AB B 2 = A B 2 4AB 3. Hiệu của hai bình phương: A2 B 2 A B A B 4. Lập phương của tổng: A B 3 A3 3A2 B 3AB 2 B 3 A3 B 3 3AB A B 5. Lập phương của hiệu: A B 3 A3 3A2 B 3AB 2 B 3 A3 B 3 3AB A B 6. Tổng hai lập phương: A3 B 3 A B A2 AB B 2 A B 3 3AB.(A B) 7. Hiệu hai lập phương: A3 B 3 A B A2 AB B 2 (A B)3 3AB.(A B) * Một số hằng đẳng thức tổng quát 1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) 2. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + + a2k-3b2 –b2k-1) 3. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - + b2k) n(n 1) n(n 1) 4. (a + b)n = an + nan-1b + an-2b2+ + a2bn-2 +nabn-1 + bn 1.2 1.2 n(n 1) n(n 1) 5. (a -b)n = an - nan-1b + an-2b2- - a2bn-2 +nabn-1 - bn 1.2 1.2 Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau : 1 A B C 2 A2 B 2 C 2 2 AB BC AC 2. A B C 3 A3 B 3 C 3 3 A B . B C . A C 3. 2 A2 B 2 A B 2 A B 2 4. A2 B 2 . X 2 Y 2 AX BY 2 AX BY 2 Bài tập 2. Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + – 20042 + 20052 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ + ( 20052 – 20042) A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 2004 + 2005 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
2. Trường THCS Tiên Yên B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – 1 – 264 B = - 1 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7 b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giải a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3 Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2. b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy ra x – 4 = 0 x = 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4. c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7 Dấu “ =” xảy ra x – 2 = 0 x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2. * Chú ý: ❖ Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m là một hằng số. - Chỉ ra dấu “=” cĩ thể xảy ra. - Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA ) ❖ Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh A < t với t là một hằng số. - Chỉ ra dấu “=” cĩ thể xảy ra. - Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA ) Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0 ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0 ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0 ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0 a = b hay b = c hay c = a a = b = c GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
3. Trường THCS Tiên Yên * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 5. Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n N) Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19 Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 và 19.6n  19 Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 . 11n + 12.122n = 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133 Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) do đĩ (an – bn)  (a- b) Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0 (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0 ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0 ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0 x = - 5 ; y = -3; z = 8 * Chú ý: Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 7: Cho x = 11...15 ; y = 11...19 . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương. n chữsố 1 n chữsố 1 Ta cĩ : y = 11...19 = 11...15 + 4 = x + 4 n chữsố 1 n chữsố 1 Do đĩ: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2 2 hay xy + 4 = 11...17 là số chính phương. n chữsố 1 B. Ứng dụng hằng đẳng thức Xét bài tốn phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc Ta cĩ: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
4. Trường THCS Tiên Yên = [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) 1 = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] 2 Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 1 => (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0 2 a b c 0 a b c 0 => => 2 2 2 (a b) (b c) (a c) 0 a b c Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng tốn: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức. Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức. DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử. Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta cĩ: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x) Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử. Ta cĩ (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta cĩ: (x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3. = (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3 = x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3. = 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x) GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
5. Trường THCS Tiên Yên Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c. =>x+y+z = a+b+c =>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: 1 1 1 xy yz zx Bài 1: Cho 0 tính P = x y z z2 x2 y2 1 1 1 1 1 1 3 Từ 0 => x y z x3 y3 z3 xyz xy yz zx xyz xyz xyz 1 1 1 xyz3 => P = xyz 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 z x y z x y x y z xyz a b c Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 1 1 1 b c a a b c 0 3 3 3 Từ a + b + c = 3abc => a b c a b b c a c c a b Nếu a+b+c = 0 thì A = . . 1 b c c b c Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8 => A cĩ 2 giá trị: -1 và 8 3 3 3 3 3 3 2 2 2 x y z Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x y + y z + x z = 3x y z . Tính P = 1 1 1 y z x Đặt a= xy, b = yz, c =zx. a b c 0 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 Ta cĩ x y + y z + x z = 3x y z => a + b + c = 3abc => a b c Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz x y z x y y z z x x y z y z x x z y P = 1 1 1 . . y x x y z x yz zx xy xy yz zx = 1 zx.xy.yz GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
6. Trường THCS Tiên Yên Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c). Vì a+b+c=0 -> A=0 x3 y3 z3 Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B = xzy x3 y3 z3 3xyz vì x+y+z=0 => x3+y3+z3 = 3xyz => B = 3 xyz xyz a2 b2 c2 Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức. M= a b c 2 ta cĩ a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0 1 = a b c  a b 2 b c 2 c a 2  0 2 Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c a2 a2 a2 3a2 1 => M = 3a 2 9a2 3 Bài 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức a2 b2 c2 a2 b2 c2 A = ; B= cb ca ab a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 Ta cĩ A = vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc abc 3abc a2 b2 c2 A = 3 ; B = abc a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac a2 b2 c2 a3 b3 c3 Nên B= ta cĩ a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc a2bc 2ac 2ab 2abc 3abc 3 -> B = 2abc 2 Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức: GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
7. Trường THCS Tiên Yên a b b c c a c a b A = c a b a b b c c a a b b c c a Đặt B = c a b c c b c c a c b bc ac a2 Ta cĩ B . 1 1 . a b a b a b a b ab c a b c a b 2c2 2c3 = 1 + . 1 . 1 a b ab ab abc a 2a3 b 2b3 Tương Tự . B . 1 ; B. 1 ; b c abc c a abc 2c3 2a3 2b3 a3 b3 c3 Bậy A = 1 1 1 3 abc abc abc abc 2.3abc Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 + 9 abc DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3. (3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0 => (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 => => Nhận xét: Ta cĩ 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 => Áp dụng nhận xét ta cĩ (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 =>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2 Vì x;y Z ta cĩ: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1) x y 1 x 0 chỉ xảy ra trường hợp  x 2 2 y 1 y.2 1 Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vơ nghiệm KL: Phương trình cĩ nghiệm x=0; y=-1 Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 +y3+z3- 3xyz=1 Ta cĩ x3+y3+z3-3xyz=1 (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1 GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
8. Trường THCS Tiên Yên 1 Ta xét x2+y2+z2-xy-xz= [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] 0 nên chỉ cĩ thể xảy ra 2 x y z 1(1) 2 2 2 x y z xy yz zx 1(2) Từ 1 ta cĩ: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1 3 Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0 Nên x2 +y2 + z2 = 1 giả sử x2 y2 z2 =>z = 0; y = 0; x = 1 x 1 Nếu y 0 khơng t/m z 0 x 1 Nếu y 0 T/m phương trình z 0 x 0 x 0 và TH: y 1 và y 0 z 0 z 1 DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC cĩ 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? a b c 0 3 3 3 Ta cĩ a +b +c = 3abc a b c Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta cĩ a=b=c (a,b,c >0) => ABC Là tam giác đều. Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd) Đặt c+d= x ta cĩ a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3 =3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b) = 3(c+d)(ab-cd) Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
9. Trường THCS Tiên Yên từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5. =>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0 =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0 => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0 => 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0 2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm. C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất Bài tập 1 : Cho a b 0 , biết a b a/ 3a 2 3b 2 10ab . Tính P a b a b b/ 2a 2 2b 2 5ab . Tính Q a b 2 a b a 2 2ab b 2 3a 2 3b 2 6ab 10ab 6ab 1 1 a. Xét P 2 . Mà P 0 P a b a 2 2ab b 2 3a 2 3b 2 6ab 10ab 6ab 4 2 b. ( Tương tự ) Xét E 2 9 E 3 Bài tập 2: a/ Cho a b c 0 và a 2 b 2 c 2 14 . Tính A a 4 b 4 c 4 b/ Cho x y z 0 và x 2 y 2 z 2 a 2 . Tính B x 4 y 4 z 4 theo a 2 a/ Ta cĩ: 142 a 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 196 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 Ta cĩ: a b c 0 a b c 2 0 ab bc ac 7 2 ab bc ac 2 49 a 2b 2 b 2c 2 a 2c 2 2abc(a b c) 49 a 2b 2 b 2c 2 a 2c 2 49 Vậy A a 4 b 4 c 4 196 2.49 98 2 b/ x y z x 2 y z 2 x 2 y 2 z 2 2yz x 2 y 2 z 2 4y 2 z 2 4 2 a x 4 y 4 z 4 2x 2 y 2 2y 2 z 2 2x 2 z 2 2 x 4 y 4 z 4 x 2 y 2 z 2 a 4 B 2 1 Bài tập 3: Cho x 0 và x a . Tính các biểu thức sau theo a x GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020
10. Trường THCS Tiên Yên 1 1 1 1 A x 2 B x 3 C x 6 D x 7 x 2 x 3 x 6 x 7 1 1 1 1 Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta cĩ: x n 1 x n x x n 1 x n 1 x n x x n 1 Ta tính được A a 2 2 B a 3 3a C a 6 6a 4 9a 2 2 D a 7 7a15 14a 3 7a Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số a/ a 2 b c b 2 c a c 2 a b b/ a 3 4a 2 29a 24 à c/ x 4 6x 3 7x 2 6x 1 d/ x 3 6x 2 11x 6 e/ x 1 . x 3 . x 5 . x 7 15 f/ x y 3 y z 3 z x 3 Gợi ý: a/ Thay b c (c a) (a b) Sau khi thay, ta được a b c 2 a 2 c a b 2 a 2 a b c a  c a b a  a b c a c b b/ Đáp số: a 1 a 3 a 8 2 c/ Đáp số: x 2 3x 1 d/ Đáp số: x 1 x 2 x 3 e/ Đáp số: x 2 8x 10 . x 6 . x 2 f/ Đặt x y a y z b z x c a b c 0 a b c a b 3 c 3 a 3 b3 3ab a b c 3 a 3 b3 c 3 3ab(a b) 3abc VT 3 x y y z z x GV: Đậu Thị Sâm Năm học 2019-2020