Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - PGD&ĐT huyện Trấn Đề (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - PGD&ĐT huyện Trấn Đề (Có đáp án)

1. PHÒNG GDĐT HUYỆN TRẦN ĐỀ KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC: 2021 – 2022 Đề chính thức Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x 1 2 x 2 5 x Bài 1: (5 điểm): Cho biểu thức A = với x ≥ 0 và x ≠ 4 x 2 x 2 4 x a) Rút gọn A. 4 b) Tính giá trị của A khi x = . 9 c) Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (4 điểm): 1. Giải các phương trình sau: a) 4x2 4x 1 2x 1 b) x 3 4 x 2x 6 5 x 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho 6 Bài 3 (3,0 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m+1)x + (m-2)y = 3 (d) (m là tham số) a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) 9 b) Tìm m để (d) cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng . 2 Bài 4 (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K. a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của của (O; R) b) Chứng minh IK song song với AB c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 5 (2,0 điểm) Trên cạnh AB của hình vuông ABCD, lấy một điểm E tùy ý (E khác điểm A và B). Phân giác của góc CDE cắt cạnh BC tại K. Chứng minh: AE + KC = DE. -----HẾT----- Họ và tên thí sinh: ............................................................................. SBD: ..................... Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
2. PHÒNG GDĐT HUYỆN TRẦN ĐỀ HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC: 2021 – 2022 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài Hướng dẫn giải, đáp án Điểm Bài 1 a) (5 điểm) x 1 2 x 2 5 x A = x 2 x 2 4 x ( x 1)( x 2) 2 x( x 2) (2 5 x) 0,5 ( x 2)( x 2) x 3 x 2 2x 4 x 2 5 x 0,5 ( x 2)( x 2) 3 x( x 2) 3 x 1,0 ( x 2)( x 2) x 2 4 b) Với x ≥ 0 và x ≠ 4 , tại x = ( t/m đk ) 0,25 9 4 2 3 3. 0,75 A 9 3 4 2 2 2 9 3 2 1 3 2 4 0,5 2 4 3 3 c)Với x ≥ 0 và x ≠ 4 0,25 3 x A nguyên có giá trị nguyên. x 2 3 x 6 6 Mặt khác 3 3 (vì > 0 ) 0,25 x 2 x 2 x 2 Suy ra 0 ≤ A < 3 0,25 Vì A nguyên nên A = 0 ; 1 ; 2 A = 0 giải ra ta được x = 0 ( T/m đk ) A= 1 giải ra ta được x = 1 ( T/m đk ) A = 2 giải ra ta được x = 16 ( T/m đk ) Vậy A nguyên thì x ∈ { 0 ;1 ;16} 0,75
3. Bài 2 4x2 4x 1 2x 1 (4,0 2x 1 2x 1 0,5 điểm) 1 x 2 0,5 2x 1 2x 1 1) a) 2x 1 2x 1 1 x 2 0x 2(kt / m) 0,5 x 0 b)Đk 0≤ x ≤ 5 0,25 x 3 4 x 2x 6 5 x x 3 5 x 2( x 1)2 4 (1) 0,5 Vế trái của (1) bé hơn bằng 4 ; vế phải lớn hơn hoặc bằng 4 x 3 5 x Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x 1 0,5 x 1 0 (t/mđk) Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = 1 0,25 2. n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n 0,5 vì n.(n+1)(n+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 nên n.(n+1)(n+2) 0,5 chia hết cho 6 . 2016n luôn chia hết cho 6 0,25 Vậy n3 + 3n2 + 2018 n luôn chia hết cho 6 với mọi n € 0,25 Z Bài 3 a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) nên ta có (3,0 x = - 1; y = -2 thay vào 0,5 điểm) và giải ra ta được m = 0 0,5 Để d cắt 2 trục tọa độ thì m ≠ -1 ; 2 0,5 c) Giả sử (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B. ta tính 3 3 0,5 được tọa độ A ( ;0) B ( 0; ) m 1 m 2 Ta có tam giác OAB vuông tại O nên 0,25
4. 1 1 3 3 0,25 S OA.OB OAB 2 2 m 1 m 2 9 1 3 3 9 S OAB 2 2 m 1 m 2 2 1 13 m Giải ra ta có 2 (t/mđk) 1 5 m 0,5 2 1 13 m Vậy 2 thì 1 5 m 2 Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K. M C I Bài K 4(6đ) A B O H a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của của (O; R) 1,5 điểm) Tam giác OAC cân tại O, có OI là đường trung tuyến nên OI là đường trung trực 0.5đ Mà M OI MA MC OA OC Xét hai tam giác AMO và CMO có OM chung OAM OCM (c.c.c) 0.5đ MA MC Vì M· AO 900 M· CO 900 MC  CO , hay MC là tiếp tuyến của (O;R) 0.5đ b) Chứng minh IK song song với AB (2,5 điểm)
5. CH  AB KH BH BH Ta có KH / /MA (1) 0. 5đ MA  AB MA AB 2R · 0 Do ACB 90 BC  AC BC / /OM 0. 5đ Xét hai tam giác BCH và OMA có B· HC O· AM CH BH BH BCH : OMA (2) · · 0.7 5 CBH MOA MA OA R Từ (1) và (2) suy ra CH 2KH K là trung điểm của CH 0.2 5 IC IA CAH có: IK là đường trung bình của CAH IK / / AH IK / / AB 0.5đ KC KH c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. (2,0 điểm) Chu vi tam giác ABC là (2P) AB BC CA 2R (CB CA) 0.25đ Mặt khác ta có (CB CA)2 (CB2 CA2 )(12 12 ) 2AB2 8R2 0. 5đ CA CB 2 2R 0.25đ Suy ra (2P) 2R 2 2R (2 2 2)R 0.25đ Dấu “=” xảy ra  CA CB  C là điểm chính giữa cung AB 0.25đ Vậy: Max(2P) 2(1 2)R  C là điểm chính giữa cung AB 0. 5đ Bài 5 (2 điểm) I A E B // 1 K 1 = G F D C a) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm I sao cho AI = KC (0.25 đ) Ta có:  I1 =  K1 ( AID = CKD) (0.25 đ)  K1 =  KDA (so le trong) (0.25 đ)  KDA =  EDI (cùng số đo) (0.25 đ)  I1 =  EDI (0.25 đ) EDI cân tại E (0.25 đ) EI = DE (0.25 đ) AE + IA = DE (0.25 đ) Do đó: AE + KC = DE