Bài giảng Đại số lớp 11 - Chương 4, Bài 2: Giới hạn của hàm số - Nguyễn Thị Hoài Thương

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Chương 4, Bài 2: Giới hạn của hàm số - Nguyễn Thị Hoài Thương

1. BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ GV: NGUYỄN THỊ HỒI THƯƠNG – THPT HỊA VANG 2021/5/12
2. I. Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim xx= 0 lim cc= (c: hằng số) xx→ 0 xx→ 0 2. Định lí: a) Nếu limf ( x ) = L và limg ( x ) = M thì: xx→ 0 xx→ 0 lim f ( x )+ g ( x ) = L + M f() x L lim = xx→ 0 xx→ 0 g() x M lim f ( x )− g ( x ) = L − M (nếu M 0) xx→ 0 lim f ( x ). g ( x )= L . M xx→ 0
3. I. Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim xx= 0 lim cc= (c: hằng số) xx→ 0 xx→ 0 2. Định lí: b) Nếu f(x) 0 cĩ limf ( x ) = L và L 0 thì limf ( x ) = L xx→ 0 xx→ 0 c) Nếu limf ( x ) = L thì limf ( x ) = L xx→ 0 xx→ 0 3. Giới hạn một bên: limf x= L lim f x = lim f x = L . ( ) +−( ) ( ) xx→ 0 x→→ x00 x x
4. Bài tốn 01: Tìm limfx ( ) biết f(x) xác định tại x0 xx→ 0 Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: sin 2x++ 3cos x x xx2 +−32 1. lim 2. lim x→0 2xx+ cos2 2 x→2 3 xx+6 + 2 − 1 Lời giải: sin 2x+ 3cos x + x sin 2.0 + 3cos0 + 0 1. lim== 3. x→0 2xx++ cos22 2 2.0 cos 2.0 xx22+3 − 2 2 + 3 − 2.2 7 − 4 2. lim == x→2 33xx+6 + 2 − 1 2 + 6 + 2.2 − 1 5
5. Bài tốn 01: Tìm limfx ( ) biết f(x) xác định tại x0 xx→ Ví dụ 2. Xét xem các0 hàm số sau cĩ giới hạn tại các điểm chỉ ra hay khơng? Nếu cĩ hãy tìm giới hạn đĩ? xx2 ++31 khi x 1 2 1. fx( ) = x + 2 khi x → 1. 32x + khi x 1 3 xx22+3 + 1 1 + 3.1 + 1 5 1. Ta cĩ lim == x→1− x22++2 1 2 3 Lời giải: 3x ++ 2 3.1 2 5 lim == x→1+ 3 3 3 5 5 limf( x) = lim f( x) = . Vậy limfx( ) = . xx→→11+−3 x→1 3
6. Bài tốn 01: Tìm limfx ( ) biết f(x) xác định tại x0 xx→ Ví dụ 2. Xét xem các0 hàm số sau cĩ giới hạn tại các điểm chỉ ra hay khơng? Nếu cĩ hãy tìm giới hạn đĩ? 2x2 + 3 x + 1 khi x 0 2. fx( ) = 2 khi x → 0. −x +3 x + 2 khi x 0 2. Ta cĩ lim 2xx22+ 3 + 1 = 2.0 + 3.0 + 1 = 1; x→0+ ( ) lim−xx22 + 3 + 2 = − 0 + 3.0 + 2 = 2; Lời giải: x→0− ( ) limf( x) lim f( x) xx→→00+− Vậy hàm số khơng cĩ giới hạn khi x→0.
7. Bài tốn 01: Tìm limfx ( ) biết f(x) xác định tại x0 . xx→ 0 x2 + mx +21 m + khi x 0 Ví dụ 3. Tìm m để hàm số fx( ) = x +1 2xm+− 3 1 khi x 0 cĩ giới hạn khi x → 0. 12−+x Lời giải: Ta cĩ x2 + mx +21 m + 2x+ 3 m − 1 3 m − 1 lim=+ 2m 1; lim= ; x→0+ x +1 x→0− 12−+x 3 Hàm số cĩ giới hạn khi x→0. 3m − 1 4 limf( x) = lim f( x) 2 m + 1 = m = − . xx→→00+− 33
8. II. Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: k k + nếu k chẵn limx = + ; limx = ; x→+ x→− − nếu k lẻ c lim= 0; limcc= ; x→ xk x→ 1 1 lim= − ; lim= + ; x→0− x x→0+ x 11 lim= lim = + ; xx→→00−+xx
9. II. Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 2. Định lí: Nếu limf ( x ) = L 0 và limgx ( ) = thì: xx→ 0 xx→ 0 + nếu L và g() x cùngdấu limf ( x ) g ( x ) = xx→ 0 − nếu L và g() x trái dấu 0nếu lim g ( x ) = xx→ fx() 0 lim= + nếu lim g ( x ) = 0 và L . g ( x ) 0 x→→ xgx() x x 00 − nếulim g ( x ) = 0 và L . g ( x ) 0 xx→ 0
10. Chú ý * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: 0 , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định. 0
11. fx() Bài tốn 02. Tìm lim trong đĩ f( x00 )== g ( x ) 0. xx→ 0 gx() 0 Dạng này ta gọi là dạng vơ định : 0 Để khử dạng vơ định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức: Định lí: Nếu đa thức cĩ nghiệm xx= fx() 0 thì ta cĩ : f(). x=−( x x01) f( x) Chú ý 2 * Nếu tam thức bậc hai ax++ bx c cĩ hai nghiệm xx12, 2 thì ta luơn cĩ sự phân tích ax+ bx + c = a( x − x12)( x − x ). . * Nếu fx()và gx()là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.
12. fx() Bài tốn 02. Tìm lim trong đĩ f( x )== g ( x ) 0. xx→ gx() 00 Ví dụ 1 0 x3 − 8 2xx2 ++ 3 1 a) lim b) lim x→2 x2 − 4 x→−1 x2 −1 Lời giải: x3−8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x 2 + 2 x + 4 12 a) lim= lim = lim = = 3. x→2x2 − 4 x → 2(x− 2)( x + 2) x → 2 x + 2 4 1 2 21( xx++) 2x+ 3 x + 12 2 x + 1 1 b)lim= lim = lim = . x→−1x2 −1 x →− 1( x + 1)( x − 1) x →− 1 x − 1 2
13. a) fx() Bài tốn 02. Tìm lim trong đĩ f( x )== g ( x ) 0. xx→ gx() 00 Ví dụ 2 0 24−−x 1+− 2x 1 3 2x −− 1 1 a) lim ; b) lim ; c) lim ; x→0 x x→0 3x x→1 x −1 Lời giải: 2− 4 −x( 2 − 4 − x)( 2 + 4 − x ) 1 1 a) lim= lim = lim = x→0x x → 0xx(24+−) x → 0 24+−x 4 1+− 2xx 1( 1+ 2xx − 1)( 1 + 2 + 1) 2 b) lim== lim lim x→03x x → 03x( 1+ 2 x + 1) x → 0 3 x( 1 + 2 x + 1) 21 ==lim . x→0 3( 1++ 2x 1) 3
14. a) fx() Bài tốn 02. Tìm lim trong đĩ f( x )== g ( x ) 0. xx→ gx() 00 Ví dụ 2 0 24−−x 1+− 2x 1 3 2x −− 1 1 a) lim ; b) lim ; c) lim ; x→0 x x→0 3x x→1 x −1 Lời giải: 3 2x −− 1 1 21(x − ) c) lim= lim →→ 2 xx11x −1 33 (x−1) 2 x − 1 + 2 x − 1 + 1 2 ==lim 2. x→1 2 332xx− 1 + 2 − 1 + 1
15. a)VD3: fx() Bài tốn 02. Tìm lim trong đĩ f( x00 )== g ( x ) 0. xx→ 0 gx() 3 xx+11 − − Ví dụ 3: Tính lim x→0 x Lời giải: 33x+1 − 1 − x x + 1 − 1 1 − 1 − x lim=+ lim xx→→00x x x 1 1 1 1 5 =lim + = + = . x→02 3 3 3 2 6 (xx+ 1) + + 1 + 1 11+−x
16. BÀI BT1: Tìm các giới hạn sau: TẬP x22+2 x − 15 x − 4 xx2 −−6 ab)lim )lim c)lim xx→→32x−3 − x2 + 5 x − 6 x→3 xx2 ++56 6xx2 −+ 5 1 2x22+ 8 x + 8 2 x − 5 x − 3 d)lim ef)lim ) lim 1 2 1 2 x→ 2xx−+ 7 3 x→−2 −3x − 6x→− 4 x − 18 x − 10 2 2 21 33 g)lim 2 − h)lim 22+ x→1 xx−−11 x→2 x−3 x + 2 x − 5 x + 6 .
17. BÀI TẬP BT2: Tìm các giới hạn sau: 2x x+ 3 − 2 x − x + 2 2 − x − 3 a)lim b )lim c )lim d )lim x→0x +−93 x → 12x2− 2 x → 2 x 2 − 3 x + 2 x → 7 x 2 − 49 x − 5 x+− a a 21xx−− e)lim 2 fa)lim ;( 0) g)lim x→5 x − 25 x→0 2x x→1 x2 −1 3 32xx+− 3 h)lim 7xx+ 1 − 5 − 1 x→2 i)lim . 3x −− 2 2 x→1 x −1
18. fx() Bài tốn 03: DẠNG VƠ ĐỊNH lim x→ gx() Khử dạng vơ định •Chia tử và mẫu cho xn(với n là số mũ bậc cao nhất của biến x). •Nếu fx()hay gx()cĩ chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngồi dấu căn (với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn) xx 0 2 ( ) Chú ý: xx== − xx( 0) 3 xx3 = .
19. fx() Bài tốn 03: DẠNG VƠ ĐỊNH lim x→ gx() VD1: Tính các giới hạn sau: 2x22− 3 x + 1 x + 2 x + 3 x 3xx+ 5 − 42 + 1 ab)lim2 ) lim cd)lim ) lim xx→+ −2 + 3xx − 4 →− 4xx2 + 1 − + 3 xx→− 2xx2 +− 1 →+ 2 Lời giải: 31 2 2 −+ 2xx−+ 3 12 1 a)lim= limxx = − . xx→+ 2 →+ −23 −2 + 3xx − 4+−4 2 xx2 .
20. fx() Bài tốn 03: DẠNG VƠ ĐỊNH lim x→ gx() VD1: Tính các giới hạn sau: 2x22− 3 x + 1 x + 2 x + 3 x 3xx+ 5 − 42 + 1 ab)lim2 ) lim cd)lim ) lim xx→+ −2 + 3xx − 4 →− 4xx2 + 1 − + 3 xx→− 2xx2 +− 1 →+ 2 Lời giải: 2 2 2 2 xx 13++ xx13++ x++23 x x x b) lim= lim = lim x xx→− 2 →− x→− 4xx+ 1 − + 3 2 1 1 xx 43+2 − + xx43+2 − + x x 2 2 −xx13 + + −13 + + 2 ==lim x limx =− . x→− 1 x→− 133 −xx43 + − + −41 + − + x2 xx2 .
21. fx() Bài tốn 03: DẠNG VƠ ĐỊNH lim x→ gx() VD1: Tính các giới hạn sau: 2x22− 3 x + 1 x + 2 x + 3 x 3xx+ 5 − 42 + 1 ab)lim2 ) lim cd)lim ) lim xx→+ −2 + 3xx − 4 →− 4xx2 + 1 − + 3 xx→− 2xx2 +− 1 →+ 2 Lời giải: 35 + 35x + 2 c)lim== limxx 0. xx→− 2 →− 1 21x + 2 + 1 2 lim− 4 + = − 4 0 2 x x→+ x 1 21 2 −+4 2 −+41x lim 2 −= 0 d) lim= lim x = + Vì x→+ xx xx→+ 2 − x →+ 21 2 − 21 xx 2 − 0 , x 2 xx .
22. BÀI BT3: Tìm các giới hạn sau: TẬP 3xx3 −− 5 6 (3xx2 ++ 8)( 2 1) ab)lim ) lim xx→− 1− 4x3 + x 2 →− 5 − 4 x 3 −+5x 7 7 cd)lim ) lim xx→+ 3−− 2xx →− 2 1 −2x42 − x + 7 4 x + 3 x − 6 ef)lim ) lim xx→+ 1++ 5xx5 →− 2 3 x x+1 x − 2 x2 + 8 gh)lim ) lim xx→+ 3x22+ 2 x + 7 →− 5 x + 4 3x23− 5 3 + x − 2 x ij)lim ) lim xx→− 4−x →− 3 − 2 x + 5 x3
23. BÀI BT4: Tìm các giới hạn sau: TẬP x22− x +1 9 x + 1 − 4 x ab)lim ) lim xx→ 3 xx3 ++1 → 32− x 4x23+ 2 + 5 x3 x + 2 x + 3 x cd)lim ) lim xx→ 3 −8x32 − x + 1 + x → 3 x − 4 x + 5
24. Bài tốn 04: DẠNG VƠ ĐỊNH − . KhửVD4: dạng Tìm vơcác định giới hạn − sau:. a)lim4Nhân và x 22chia− x +biểu 22; + thức x liên hợp b )lim nếu xcĩ +biểu 23 x − thức − x chứa biến dướixx→− dấu( căn thức. ) →+ ( ) Lời giải: 42xxxx22− 42 + −− + axxx) lim42 2limlim2 − + +== ) 22 xxx→− →− →− ( 42xxxxxx− 242 + 2 −− + − −xx +−22 + ==limlim xx→− →− 2 1212 xxxx 4242−+−−−+−22 xxxx 2 −+1 1 ==lim. x x→− 12 4 −−+− 422 xx
25. Bài tốn 04: DẠNG VƠ ĐỊNH − . VD4: Tìm các giới hạn sau: a)lim4 x22− x + 22; + x b )lim x + 23 x − − x xx→− ( ) →+ ( ) Lời giải: 2xx−− 3 2 3 b)lim x2 + 23 x − − x = lim = lim ) 22 x→+ ( x →+ x+2 x − 3 + x x →+ x + 2 x − 3 + x 3 2 − 2xx−− 3 2 3 =lim = lim = limx = 1. x→+ x →+ x →+ 2 2 3 2 3 2 3 x 1+ −2 + x x 1 + − 2 + x 1 + − 2 + 1 x x x x x x
26. BÀI BT5: Tìm các giới hạn sau: TẬP a)lim 2 x+ 4 x2 + 3 x − 2 ; b) lim 9 x2 + 3 x − 1 − 3 x ; x→− ( ) x→+ ( ) 2 c)lim x 3+ 3 x2 + 4 x − 1 d) lim x− 2 x + 3 − x + 1 ; x→− ( ) x → + 22 e)lim319 x− − x − 1; f )lim x − 54 x + + x − 2 xx→ + → − g)lim x−33 x3 + x + 1; h )lim x 3 + 3 x 2 + 1 − x xx→+ ( ) →+ ( )
27. Bài tốn 05: GIỚI HẠN VƠ CỰC VD5: Tìm các giới hạn sau: 32 1− x 2 a)lim(− x + x − x + 1;) b )lim2 ; c)lim 2 x− 4 x + 2 x − 1 . xx→− →4 ( x − 4) x→− ( ) Lời giải: 1 1 1 a)lim− x3 + x 2 − x + 1 = lim x 3 − 1 + − + = + ( ) 23 xx→− →− x x x lim x3 = − x→− Vì 1 1 1 lim − 1 + −23 + = − 1 0 x→− x x x
28. Bài tốn 05: GIỚI HẠN VƠ CỰC VD5: Tìm các giới hạn sau: 32 1− x 2 a)lim(− x + x − x + 1;) b )lim2 ; c)lim 2 x− 4 x + 2 x − 1 . xx→− →4 ( x − 4) x→− ( ) Lời giải: lim( 1−x) = − 3 0 x→4 1− x 2 limx −= 4 0 b)lim 2 = − Vì ( ) x→4 x − 4 x→4 ( ) 2 ( xx−4) 0 ,  4
29. Bài tốn 05: GIỚI HẠN VƠ CỰC VD5: Tìm các giới hạn sau: 32 1− x 2 a)lim(− x + x − x + 1;) b )lim2 ; c)lim 2 x− 4 x + 2 x − 1 . xx→− →4 ( x − 4) x→− ( ) Lời giải: 2 1 2 1 c)lim2 x−+−= 4 x22 21lim2 x x − x 4 +− = lim2 x −+− x 4 x→− ( ) x →− 22 x →− x x x x 2 1 2 1 =lim 2x + x 4 + −22 = lim x 2 + 4 + − = − xx→− x x →− x x lim x = − x→− Vì 21 lim 2+ 4 + −2 = 4 0 x→− xx
30. BÀI BT6: Tìm các giới hạn sau: TẬP a)lim235− x + x24 ; b )lim7 x − 42; x + xx→ − ( ) → + ( ) 4+ 5x 3 x2 + 4 x − 5 cd)lim ; )lim ; xx→−2 (−xx − 2)2 →− + 3 e)lim18− x3 − x 2 ; f )lim6 x 5 − x + 2; xx→+ ( ) →− ( ) −4 + 5x − x2 − 7 x + 9 gh)lim ; )lim . xx→5 (5−−xx )2 →+ 2 4
31. Bài tốn 06: GIỚI HẠN MỘT BÊN VD6: Tìm các giới hạn sau: xx22++11 ab)lim )lim 3xx++ 6 3 6 +−cd) lim ) lim xx→→11 +− xx−−11xx→( −22) xx++22 →( − ) Lời giải: limx2 + 1 = 2 0 limx2 + 1 = 2 0 + ( ) x→1+ ( ) 2 x→1 2 x +1 x +1 a)lim = + limx −= 1 0 a)lim = − limx −= 1 0 + Vì + ( ) − Vì + ( ) x→1 x −1 x→1 x→1 x −1 x→1 xx−1 0 ,  1 xx−1 0 ,  1 36x + 36x + 36x + −−36x d) lim= lim c) lim= lim −− xx→( −22)++xx++22 →( − ) xx→( −22) xx++22 →( − ) 32( x + ) −+32( x ) =lim = lim − 3 = − 3. =lim = lim( 3) = 3. −−( ) xx→( −22)++x + 2 →( − ) xx→( −22) x + 2 →( − )
32. BÀI BT7: Tìm các giới hạn sau: TẬP 22 x+3 x + 2 x − 5 x + 10 ab) lim ; )lim2 ; x→−( 1)−−xx+−1x→5 25 xx2 −+32 ,1x x2 −1 BT8: Cho hàm số fx().= Tìm limf ( x );lim f ( x ); limfx ( ) x xx→→11+−x→1 − ,1x 2 (nếu cĩ) 11−xx − + ,0x x BT9: Cho hàm số fx().= Tìm limf ( x );lim f ( x ); 4 − x xx→→00+− −5 + ,x 0 x +1 limfx ( ) (nếu cĩ). x→0
33. BÀI TẬP 4 − x2 ,2x BT10: Cho hàm số fx().= 2xx2 −+ 6 4 Với giá trị nào của m −1 + 2.m . x , x 2 thì = cĩ giới hạn khi ՜ 2. Tính giới hạn này. 6 +−xx ,3x BT11: Cho hàm số fx().= x2 − 9 Với giá trị nào của m m. x+ 2 , x 3 thì = cĩ giới hạn khi ՜ 3. Tính giới hạn này.
34. HẸN GẶP LẠI TRONG BÀI GIẢNG TIẾP THEO GV NGUYỄN THỊ HỒI THƯƠNG – THPT HỊA VANG