Bài giảng Đại số lớp 11 - Chương 5, Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Chương 5, Bài 5: Đạo hàm cấp hai

1. §5 - ĐẠO HÀM CẤP HAI
2. Kiểm tra bài cũ Bài 1 Bài 2 d(sinx) Tìm vi phân của hàm số Tìm dx(cos ) y = sinx - xcosx Giải Giải Ta có Ta có d(sinx) (sinx)' dx = y’= cosx-coxs + xsinx d(cos x ) (cos x )' dx = xsinx cos x = = −cotx Vậy : dy = (xsinx)dx −sinx
3. Bài 3 Tính y’ và đạo hàm của y ’’ biết a. y = x32−+54 x x b. y = sinx Giải Giải Ta có Ta có 2 y’ = 3xx−+ 10 4 y’ = cos x 6x - 10 (y’)’= (y’)’ = - sinx
4. I. ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ( a , b ) . Khi đó hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a, b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại mọi x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x Kí hiệu : y’’ hoặc f’’(x) Chú ý Đạo hàm cấp ba kí hiệu là y’’’hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x) Đạo hàm cấp n – 1 kí hiệu là f(n- 1)(x) (nn  , 4) Đạo hàm cầp n của f(x) kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x) ' f(n) ( x) = ( f(n− 1) ( x))
5. Ví dụ: Cho y = x5 a. Hãy điền vào bảng sau y’ y’’ y’’’ y(4) y(5) y(6) 5x4 20x3 60x2 120x 120 0 b. Tính y100 c. Bắt đầu từ n bằng bao nhiêu thì yn bằng 0 Giải a) y100 = 0; b) Bắt đầu từ n = 6 thì yn bằng 0
6. Câu hỏi trắc nghiệm Hãy điền đúng, sai vào ô trống : a) y = sinx có y’’ = sinx S b) y = sinx có y’’ = -sinx Đ c) y = sinx có y(3) = cosx S d) y = sinx có y(3) = -cosx Đ
7. II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Hđ 2: Ta có: v(t) = s’ = gt Với t0 = 4s thì v(4) = 4.g = 4.9,8 = 39,2 m/s Với t1 = 4,1s thì v(4,1) = 4.g = 4,1.9,8 = 40,18 m/s 1 21 g() t10− t v v()() t12− v t 2 1 = = =g( t10 + t ) 39,69 t t1 − t 0 t 1 − t 0 2
8. Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f ’(t) Lấy số gia t tại t thì v(t) có số gia tương ứng là v Tỉ số v được gọi là gia tốc trung bình t t của chuyển động trong khoảng thời gian v Nếu tồn tại v'( t )== lim ( t ) Ta gọi v'( t )=  ( t ) →t 0 t là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t Vì v(t) = f’(t) Nên  (t )= f ''( t )
9. 1. Ý nghĩa cơ học Đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t HĐ 3 : Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do 1 s= gt 2 2 Giải Vì đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t Nên ta có s’ = gt suy ra s’’ = g
10. 2. Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình S(t) = Asin( t + ) (A;  là những hằng số) Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động Giải Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, ta có ' v(t) = s’(t) = Atsin ( + ) =+A cos(  t ) Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là (t )= s'' ( t ) = v ' ( t ) = − A  2 sin(  t + )
11. Tóm tắt bài học 1. Đạo hàm cấp 1, 2, 3, 4, , n Kí hiệu y’, y’’,y’’’,y4 , , y(n) 2. Phương trình chuyển động Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là v(t) = f ’(t) Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là  (t )= f ''( t )
12. Bài tập Bài tập 1 : Tính f ’’(x) biết a. f(x) = (2x – 3)5 b. f(x) = 3x2 + 3x Giải a. f ’(x) = 5.2(2x-3)4 = 10 (2x-3)4 Suy ra f ’’(x) = 80(2x – 3)3 b. f ’(x) = 6x +3 Suy ra f ’’(x) = 6 Bài tập 2 : Tính f ’’(3) của bài 1a Ta có: f ’’(x) = 80(2x – 3)3 Suy ra f’’(3) = 80.(2.3- 3)3 = 80.27 = 2160