Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 59, Bài 3: Hàm số liên tục

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 59, Bài 3: Hàm số liên tục

1. KIỂM TRA BÀI CŨ xx2 −+32 nếu x 2 Xét tính liên tục của hàm số fx()= x − 2 3 nếu x = 2 tại điểm x0 = 2 Giải Ta cĩ: f(2)=3 x2 −3 x + 2 ( x − 2)( x − 1) limfx ( )== lim lim x→2 x → 2xx−−22 x → 2 =lim(xf − 1) = 1 (2) x→2 Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại điểm
2. TIẾT 59. HÀM SỐ LIÊN TỤC III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN ĐỊNH LÍ 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. ĐỊNH LÍ 2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó : a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0 ; fx() b) Hàm số y = liên tục tại x nếu gx ( ) 0 gx() 0 0
3. TIẾT 59. HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 1:Xét tính liên tục của III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN các hàm số sau: ĐỊNH LÍ 1: f( x )= 4 x32 − 2 x − 7 x + 2 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên Đa thức từng khoảng của tập xác định của chúng. xx2 −+32 gx()= ĐỊNH LÍ 2: x − 2 Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó : Phân thức hữu tỉ a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và hx( )= t anx y = f(x).g(x) liên tục tại x0 ; fx() b) Hàm số y = liên tục tại x nếu gx ( 0 ) 0 gx() 0 Lượng giác
4. TIẾT 59. HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN xx2 −+32 nếu x 2 ĐỊNH LÍ 1: fx()= x − 2 3 nếu x = 2 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số trên tập xác định của nĩ thực R. Giải b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa Tập xác định của hàm số là R. xx2 −+32 thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên ● Nếu x 2 , thì fx()= từng khoảng của tập xác định của chúng. x − 2 Đây là hàm phân thức hữu tỉ cĩ tập xác định là (− ;2)  (2; + ) ĐỊNH LÍ 2: Vậy hàm số f(x) liên tục trên mỗi Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục khoảng (-∞;2) và (2;+∞) tại điểm x0 . Khi đó : ● Nếu x=2, thì a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và xx2 −+32 limfx ( )= lim y = f(x).g(x) liên tục tại x0 ; xx→→22x − 2 fx() b) Hàm số y = liên tục tại x0 nếu gx ( 0 ) 0 (xx−− 2)( 1) gx() =lim = lim(xf − 1) = 1 (2) xx→→22x − 2 Do đĩ f(x) khơng liên tục tại x=2
5. TIẾT 59. HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN xx2 −+32 nếu x 2 ĐỊNH LÍ 1: fx()= x − 2 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số 3 nếu x = 2 thực R. trên tập xác định của nĩ b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa Giải thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên KL: Vậy hàm số f(x) liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. mỗi khoảng (-∞;2), (2;+∞) và gián đoạn tại x=2 ĐỊNH LÍ 2: ? Trong biểu thức xác định f(x) Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục cho ở ví dụ 2 cần thay số 3 bởi số tại điểm x . Khi đó : 0 nào để được một hàm số mới liên a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và tục trên tập số thực R. y = f(x).g(x) liên tục tại x0 ; fx() b) Hàm số y = liên tục tại x nếu gx ( 0 ) 0 gx() 0 Đáp số: số 1
6. TIẾT 59. HÀM SỐ LIÊN TỤC III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN ĐỊNH LÍ 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số f(c)=0 thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. ĐỊNH LÍ 2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó : a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x fx() 0 ; b) Hàm số y = liên tục tại x nếu gx ( ) 0 gx() 0 0 Cĩ thể phát biểu định lí 3 dưới dạng như sau : ĐỊNH LÍ 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và [a;b] và f(a).f(b)<0, thì phương trình f(a).f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c Є (a;b) sao f(x)= 0 cĩ ít nhất một nghiệm nằm cho f(c)=0. trong khoảng (a;b).
7. TIẾT 59. HÀM SỐ LIÊN TỤC Cĩ thể phát biểu định lí 3 dưới dạng như sau : III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) f(0).f(1)=(-2).3= -6< 0 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và Từ đĩ suy ra phương trình đã cho f(a).f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c Є (a;b) sao cĩ ít nhất một nghiệm nằm trong cho f(c)=0. khoảng (0;1)
8. TIẾT 59. HÀM SỐ LIÊN TỤC Cĩ thể phát biểu định lí 3 dưới dạng như sau : III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0, thì phương trình a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số f(x)= 0 cĩ ít nhất một nghiệm nằm thực R. trong khoảng (a;b). b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa Ví dụ 4: thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên Chứng minh rằng phương trình : từng khoảng của tập xác định của chúng. 3 ĐỊNH LÍ 2: 2x -10x-7 = 0 cĩ ít nhất hai nghiệm. Giải: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục Đặt f(x) =2x3-10x-7 tại điểm x0 . Khi đó : Ta cĩ: f(-1)=1; f(0)=-7; f(3)=17 a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và f(-1).f(0)=1.(-7)< 0 y = f(x).g(x) liên tục tại x0 ; f(0).f(1)=(-7).17< 0 fx() b) Hàm số y = liên tục tại x nếu gx ( ) 0 f(x) là hàm đa thức nên nĩ liên tục gx() 0 0 trên R. Do đĩ nĩ liên tục trên các đoạn [-1;0] và [0;3]. ĐỊNH LÍ 3: Từ đĩ suy ra phương trình đã cho cĩ ít Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và nhất hai nghiệm , một nghiệm nằm f(a).f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c Є (a;b) sao trong khoảng (-1;0) và một nghiệm cho f(c)=0. nằm trong khoảng (0;3)
9. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG - Các hàm số đa thức, hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. - Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm thì liên tục tại điểm đĩ (trường hợp thương giá trị của mẫu tại điểm đĩ phải khác khơng). - Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0, thì phương trình f(x)= 0 cĩ ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b).
10. Một số nhà tốn học
11. Bolzano 1781-1848
12. Augustin Louis Cauchy: 1789-1857
13. weierstrass 1815-1897 Cha đẻ của GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI
14. HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ - Học thuộc định lí 1, định lí 2 , định lí 3 - Nắm vững cách xét tính liên tục của hàm số, các bước chứng minh phương trình cĩ nghiệm (dựa theo định lí 3) - Làm bài tập 6 sách giáo khoa trang 141