Bài giảng Hình học lớp 11 - Chương 3, Bài 4: Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung text: Bài giảng Hình học lớp 11 - Chương 3, Bài 4: Hai đường thẳng vuông góc

1. I/ Bài tập về véc tơ trong không gian: 1.Bài toán 1: Cho 2 điểm phân biệt A, B. CMR: điểm M nằm trên đường thẳng AB ↔ có 2 số x, y mà: x + y = 1 sao cho 푶푴 = x.푶 + y.푶 ∀ điểm O CM: O A M B Thật vậy: M ∈ đường thẳng AB ↔ 푴 = k. 푴 với k ∈R. Hay 푶 - 푶푴= k.(푶 - 푶푴) ↔ k. 푶푴 - 푶푴 = k. 푶 - 푶 ↔ 풌 (k-1)푶푴 = k. 푶 - 푶 ↔ 푶푴 = . 푶 - . 푶 = 풌− 풌−
2. S A a a B B I A a C I B
3. − 풌 − 풌 푶푴 = ( ). 푶 + ( ). 푶 . Đặt x = và y = thì x + y = 1 và 풌− 풌− 풌− 풌− 푶푴 = x. 푶 + y. 푶 (đpcm) + VD: điểm I là trung điểm của AB (tức là I nằm trên đường thẳng AB) ↔ ∀ điểm O, theo luật cộng trung điểm: 푶 + 푶 = 2.푶푰 ↔ 푶푰 = . 푶 + . 푶 , Rõ ràng: x + y = + = 1 2 .Bài toán 2: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C ko thẳng hàng. CMR: điểm M nằm trên (ABC) ↔ có 3 số x, y, z mà: x + y + z = 1 sao cho 푶푴 = x.푶 + y.푶 + z.푶푪 ∀ điểm O CM: khi M đồng phẳng với A,B,C ↔ 푪푴, 푪 , 푪 đồng phẳng ↔ 푪푴 = m. 푪 + n. 푪 ( 1), với m, n ∈ 푹, chèn điểm O bất kỳ vào (1) : ↔ 푶푴 - 푶푪 = m.( 푶 - 푶푪 )+ n.( 푶 - 푶푪 ) ↔ 푶푴 = m. 푶 + n. 푶 + (- m – n +1). 푶푪
4. Đặt x = m , y = n , z = - m – n + 1 thì x + y + z = 1 và: 푶푴 = x. 푶 + y. 푶 + z. 푶푪 (đpcm) + HS kiểm tra xem điểm M sau đây có nằm trên (ABC) ko? M là điểm đặc biệt nào? với 푶푴 = 푶 + 푶 + 푶푪. Rõ ràng : + + = 1 →M ∈ (ABC). M là điểm đặc biệt nào của tam giác ABC? II. Góc giữa 2 đường thẳng: 1/Định nghĩa: cho đường thẳng (풅 ) và (풅 ), ta gọi góc giữa (풅 ) và (풅 ) là góc giữa 2 đường thẳng (풅′ ) và (풅′ ) cắt nhau, lần lượt song song với (풅 ) , (풅 ). 풅 풅′ O 풅 풅′
5. Ta đã chuyển khái niệm góc giữa 2 đường thẳng trong không gian về góc 2 đường thẳng trong mặt phẳng, do 풅′ và 풅′ cắt nhau thì 풅′ và 풅′ phải cùng thuộc 1 mặt phẳng. Nhận xét: 1/Chọn giao điểm O để kẻ 2 đường song song 풅′ , 풅′ tùy ý. 2/ Trong HH phẳng góc giữa 2 đường thẳng không quá . 3/ gọi 풖 và 풗 lần lượt là 2 vtcp của 풅 và 풅 thì : + Nếu (풖, 풗) ≤ Thì (풅 , 풅 ) = (풖, 풗). + Nếu (풖, 풗) > Thì (풅 , 풅 ) = - (풖, 풗). VD : Cho tứ diện đều cạnh a. E và F lần lượt là A trung điểm của AB, CD. Tính góc giữa EF và BC. Giải: Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là 4 tam E giác đều bằng nhau. Có 푪 là vtcp của đường thẳng BC, D B 푬푭 là vtcp của đường thẳng EF. F C
6. Dễ dàng có: 푪 = 푪 còn 푬푭 = - + 푪 + 푫 . 푪. 푬푭 푪. 푬푭 푪.(− + 푪 + 푫 ) Vậy cos ( 푪, 푬푭 ) = = = 푪.푬푭 . . − . 푪 + 푪. 푪 + 푫. 푪 − . 푪 + 푪. 푪 + 푫. 푪 cos ( 푪, 푬푭) = = + + . cos ( 푪, 푬푭) = ퟒ ퟒ = = → ( 푪, 푬푭) = arcos : vì arcos là góc nhọn nên đó cũng là góc giữa BC và EF. III. Hai đường thẳng vuông góc: 1/ĐN: d và d’ đc gọi là vuông góc với nhau nếu (d,d’) = . 2/VD: Trong tứ diện đều ABCD thì AD vuông góc BC ( xem VD trên đã sử dụng): lấy I là trung điểm BC → AI là đường cao tam giác ABC và DI cũng là đường cao tam giác DBC → 푪 . 푰 = 0 và 푪 . 푰푫 = 0 Song 푪 . 푫 = 푪 .( 푰 + 푰푫) = 푪 . 푰 + 푪 .푰푫 = 0 + 0 = 0 Vậy: AD vuông góc BC.
7. 3/ Nhận xét: a/ nếu 풖 là vtcp của d và 풗 là vtcp của d’ thì: d vuông góc d’ ↔ 풖 . 풗 = 0 b/ từ a, dễ dàng CM: nếu d //d’ và ∆ vuông góc với d thì ∆ vuông góc với d’. Điều ngược lại: “nếu ∆ vuông góc với d và d’ thì d //d’ ” có đúng không?Không đúng: vì có nhiều cặp d, d’ thỏa mãn cùng vuông góc ∆, song chúng chéo nhau. IV. Bài tập: 1/ Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng a và góc ABC = góc B’BA = góc B’BC = . CMR: CD vuông góc CB’. Tính diện tích mặt A’B’ CD? 2/ Cho 풏 ≠ và , không cùng phương. Nếu 풏 vuông góc với cả và thì 3 véc tơ , , 풏 không đồng phẳng. 3/ Cho chóp S.ABC có SA = SB = SC và các góc ASB = góc BSC = góc CSA. CMR: SA vuông góc BC ? Còn có những kết quả nào? Giải:
8. 1/ Hình hộp đã cho có 6 mặt là 6 hình thoi cạnh a, đều có góc nhọn là , góc tù là . Dễ CM mặt CDA’B’ là HBH, có CD = B’C → mặt CDA’B’ là hình thoi. Lại có 푪 ′ . 푪푫 =(푪 + ′ ). = 푪 . + + ′ . = - + = 0 vậy CB’ vuông góc CD → mặt CDA’B’ là hình vuông → diện tích CDA’B’ là . 2/ Giả sử , , 풏 đồng phẳng. Lâý O bất kỳ Dựng 푶 = , 푶 = , 푶푵 = 풏. → O, A, B, N đồng phẳng. Trong (OABN) có ON vuông góc OA, ON vuông góc OB → OA//OB → cùng phương : Trái GT là không cùng phương . Vậy: , , 풏 không đồng phẳng.
9. A B O N