Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Chương 5, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nội dung text: Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Chương 5, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
2. 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số * Định lí 1 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại 0 thì nó liên tục tại điểm đó. * Chú ý Nếu hàm số liên + Nếu hàm sốtục y = tại f(x) một gián điểm đoạn tại 0 thì nó khôngthì có có đạo đạo hàm hàm tại tại điểm đó. + Nếu hàm sốđiểm liên tụcđó không?tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
3. Ví dụ 1: Cho hàm số: 풇 풙 = ቊ−풙 풏ế풖 풙 ≥ 풙 풏ế풖 풙 < a) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0
4. * Tính liên tục: 풍풊 풇 풙 = 풍풊 −풙 = 풙→ + 풙→ + 풍풊 풇 풙 = 풍풊 풙 = 풙→ − 풙→ − ⇒ 풍풊 풇 풙 = 풍풊 풇 풙 = 풙→ + 풙→ − 풍풊 풇 풙 = = 풇( ) 풙→ Vậy f(x) liên tục tại x = 0
5. * Tính đạo hàm 풇 풙 − 풇( ) −풙 풍풊 = 풍풊 = 풍풊 (−풙) = 풙→ + 풙 − Nhắc풙→ +lại:풙 풙→ + ′ 풇 풙 − 풇( ) 풇 풙 −풙풇(풙 ) 풍풊 풇 풙 = 풍풊 = 풍풊 = 풍풊 (= ) 풙→ − 풙 − 풙→풙 풙풙→ −− 풙풙 풙→ − VậyNếu không giới hạn tồn viếttại ở VP (1) không tồn tại hoặc bằng풇 풙 vô−풇 (cực ) thì f(x) không có 풍풊 풙→đạo hàm풙− tại điểm 풙 Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 0
6. f(x)=-x^2 f(x)=x f(x)=0 x(t)=0, y(t)=t y O 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 y = x -4 -5 2 -6 y = -x -7 -8
7. 5. Ý nghĩa hình học của (C) y đạo hàm f(x) M a) Tiếp tuyến của đường T M cong phẳng 0 f(x0) ChoKhi xhàm → 풙số thìy = điểmf(x) có đồM dithị chuyển (C) trên (C) O X x x tới푴 điểm풙 ; 풇 푴(풙 ) ∈ (푪) 0 푴Giả풙 sử; 풇 (cát풙) tuyếnlà một 푴 điểm 푴 có di vị chuyển trí giới trên hạn (C);là 푴 khác푻 thì 푴 푴 푻 được gọi là tiếp tuyến của (C) tại 푴 . Đường thẳng 푴 푴 퐥à một cát tuyến của (C) 푴 được gọi là tiếp điểm.
8. 풙 a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = b) Tính c) Tìm đường f’(1)=? thẳng đi qua điểm M (1 ; ) và có hệ số góc f’(1) ?
9. Giả sử ∆ là số gia của đối số tại 0 = 1. Ta có: ∆ = 0 + ∆ − 0 1 + ∆ 2 1 = − 2 2 1 + 2∆ + ∆ 2 − 1 = 2 2∆ + ∆ 2 ∆ 2 + ∆ = = 2 2 Δ ∆ 2 + ∆ ∆ 2 + ∆ 2 + ∆ ⇒ = = = Δ 2 2∆ 2 ∆ Δ 2 + ∆ lim = lim = 1 ∆ →0 Δ ∆ →0 2 Vậy ′ 1 = 1
10. Đường thẳng d có dạng y = ax + b Vì hệ số góc bằng f’(1) = 1 nên a = 1 => d: y = x + b − M( 1 ; ) ∈ 풅 nên = 1 + b => b = Vậy đường thẳng cần tìm là y = x -
11. y 2.5 f(x)=x^2/2 f(x)=x-1/2 2 1.5 풙 f(x) = y = x - 1 0.5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3
12. b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm * Định lí 2: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm 풙 là hệ số góc của tiếp tuyến 푴 T của (C) tại điểm 푴 (풙 ; f(풙 )). ′ = ( 0)
13. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = – 풙 + 3x – 2. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 풙 = 1. Giải: Theo định lí 2, tính hệ số góc của Giả sử ∆풙 là số gia của đối số tại 풙 = 1. Ta có: Vậytiếp hệ số tuyến góc củatại điểm tiếp tuyếncó hoành là 1 độ ∆풚 = f(1 + ∆풙)풙 – f=(1) 1; tức là tính gì ? = −( + ∆풙) + 3(1 + ∆풙) − 2 – 0 = −( 1 + 2∆풙 + ∆풙 ) + 3 + 3∆풙 − = −∆풙 + ∆풙 = − ∆풙 (∆풙 − 1) ∆풚 = − (∆풙 − 1) ∆풙 ∆풚 풍풊 = 풍풊 [− (∆풙 − 1)] = 1 ∆풙→ ∆풙 ∆풙→ => f’(1) = 1
14. c) Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) củaPhương hàm trình số đườngy = f thẳng(x) tại qua điểm M (x ; y ) và có hệ số góc k 푴 (풙 ; o풇o(풙 o )) là: y – y = k′.(x – x ) 풚 - 풚 =o 풇 (풙 )(o x − 풙 ), trong đó 풚 = 풇(풙 ) Muốn viết phương trình tiếp tuyến ta Theo định lý 2 k = f’(xo) y – yo = f’(xo).(x – xo) cần biết những yếu tố nào ?
15. Ví dụ 3: Cho parabol y = f(x) = – 풙 + 3x – 2. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ 풙 = 1? Giải: Hệ số góc của tiếp tuyến là f’(1)= 1 (Ví dụ 2) Ngoài ra ta có: f(1) = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ 풙 = 1 là: 풚 − = . 풙 − hay 풚 = 풙 −
16. 6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Ví dụ 4 : ′ Vận tốc tức thời: 푣 푡0 = 푠 (푡0) 풕 Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = ′ ( t đượcCường tínhđộ tức bằngthời: giây, (s푡0tính) = 푄 bằng(푡0) mét ). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 풕 = 1 ( giây) là ? 풗(풕 ) A)A 1) m/s1 m/s C) 3 m/s = 풗′( ) = ? B) 2 m/s D) 4 m/s
17. II. Đạo hàm trên một khoảng Bằng* Định định nghĩa: nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: 풇 풙 = 풙 tại điểm 풙 bất kì. Hàm số y = f(x)Giải:được gọi là có đạo Giả sử ∆ là số gia của đối số tại bất kỳ, ta có: hàm trên khoảng (a ; b) nếu0 nó có đạo ∆ = 0 + ∆ − 0 hàm tại mọi điểm x trên2 khoảng2 đó. = 0 + ∆ − 0 2 2 2 = 0 + 2 0∆ + ∆ − 0 2 Ví dụ 5: = 2 0∆ + ∆ 2 ′ Hàm∆ số 풚 =2 풙0∆ có+ đạo∆ hàm 풚∆ =2 풙 0 +trên∆ −∞; +∞ . ⟹ = = = 2 + ∆ ∆ ∆ ∆ 0 ∆ lim = lim 2 0 + ∆ = 2 0 ′ ∆ →0 ∆ ∆ →0 ⟹ 0 = 2 0
18. Δ Bài tập 2: Tính ∆ và của các hàm số sau theo 푣à ∆ : Δ a) y = 2 − 5 c) y = 2 3 Giải Giải Ta có: Ta có: ∆ = + ∆ − ∆ = + ∆ − = 2 + ∆ − 5 − 2 − 5 = 2 + ∆ 3 − 2 3 = 2 + 2∆ − 5 − 2 + 5 = 2 3 + 3 2∆ + 3 ∆ 2 + ∆ 3 − 2 3 3 2 2 3 3 = 2∆ = 2 + 6 ∆ + 6 ∆ + 2 ∆ −2 2 2 3 Δ 2∆ = 6 ∆ + 6 ∆ + 2 ∆ ⇒ = = 2 2 2 Δ ∆ = ∆ 6 + 6 ∆ + 2 ∆ Δ ∆ 6 2 + 6 ∆ + 2 ∆ 2 ⇒ = Δ ∆ = 6 2 + 6 ∆ + 2 ∆ 2
19. Bài tập 3: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra: 2 a) y = + x tại 0 = 1 Giải 2 − 1 + x − 2 f()() x− f x0 ⟹ lim = lim lim →1 →1 xx→ o − 1 − 1 xx− 0 − 1 + 2 = lim = 2 + x →1 − 1 2 = lim + 2 = 1 + 2 = 3 1 = 1 + 1 = 2 →1 Vậy ′ 1 = 3
20. 1 PhươngBài 6: Viết trình phương tiếp trình tuyến tiếp tuyếncủa đồ của thị đường (C) hypebolcủa hàm = số y = f(x) 1 tạia) điểmTại điểm 푴 (풙; 2; 풇;(풙 )) là: 풚 - 풚 2= 풇′(풙 )( x − 풙 ) => 풚 = 풇′(풙 )( x − 풙 )+ 풚 b) Tại điểm có hoành độ bằng -1; trong đó 풚 = 풇(풙 ) 1 c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng . 4 ′ Xét giới hạn: 풚 =? 풙 =? 풇 (풙 )=? f()() x− f x lim 0 xx→ o xx− 0 1 Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm ; 2 là 2 1 = −4 − + 2 = −4 + 4 2
21. 1 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol = 1 a) Tại điểm ; 2 ; 2 b) Tại điểm có hoành độ bằng -1; 1 c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng . 4 Ta có: ′ −1 = −1, −1 = −1 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 là: = − + 1 − 1 = − − 2
22. 1 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol = 1 a) Tại điểm ; 2 ; 2 b) Tại điểm có hoành độ bằng -1; 1 c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng . 4 Gọi 0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có: 1 Với = 2 ta có 2 = , phương trình tiếp tuyến là: 0 2 1 1 1 = − − 2 + = − + 1 4 2 4 1 Với = −2 ta có −2 = − , phương trình tiếp tuyến là: 0 2 1 1 1 = − − 2 − = − − 1 4 2 4
23. Củng cố 1) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại 풙 thì nó liên tục tại điểm đó. 2) Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị: 풌 = 풇′(풙 ) 3) Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hàm số: ′ 풚 - 풚 = 풇 (풙 )( x − 풙 )