Chuyên đề Luyện tập tư duy vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề Luyện tập tư duy vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1. UBND HUYỆN NGHI XUÂN TRƯỜNG THCS TIÊN YÊN TỔ TOÁN - LÝ “NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ VỀ DỰ BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ”
2. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN TẬP TƯ DUY VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Người thể hiện: Nguyễn Thị Kim Nhung
3. I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn chuyên đề Trong chương trình toán THCS có nhiều lý thuyết được sử dụng trình bày nên nhiều lời giải hay, giải được nhiều bài toán khó. Học sinh THCS thường thích học Đại số hơn học Hình học. Các em tiếp cận với hình học thường hay ngại khó, bên cạnh đó nắm lý thuyết không chắc chắn và trình bày thiếu tính khoa học. Đặc biệt với hình học 9, với những bài tương đối dài trong giờ lý thuyết, giáo viên và học sinh phải thật nỗ lực mới hoàn thành công việc nắm kiến thức cơ bản. Nói gì đến việc vận dụng thành thạo và nâng cao kiến thức trong quá trình 45’ tại lớp. Vì vậy tôi đã suy nghĩ và tìm tòi những bài toán để đưa ra vận dụng có hệ thống, để học sinh dễ nắm bắt, dễ phát huy được năng lực của mình bằng cách qua các câu hỏi từ dễ đến khó để khắc sâu lý thuyết được học, học sinh vận dụng thành thạo các lý thuyết được học từ những bài toán thuận, bài toán đảo, thêm bớt giả thiết,...
4. Với suy nghĩ giúp các em tìm tòi, phát hiện tạo hứng thú trong quá trình học Hình học Vì vậy tôi đã chọn đề tài “ Luyện tư duy vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông”. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu : - Chương trình hình lớp 8, 9 - Sách giáo khoa lớp 8, 9 - Sách nâng cao phát triển Toán 9 3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh phương pháp tìm tòi, khai thác và phát triển một số bài toán. Từ đó học sinh biết hệ thống các bài tập, quy trình giải các dạng bài tập đó. Tìm hiểu những vướng mắc, khó khăn, hạn chế trong quá trình giải toán của học sinh lớp 8, 9 để tìm ra biện pháp giúp học sinh khắc phục khó khăn và gây hứng thú trong học tập cho học sinh.
5. II. NỘI DUNG PHẦN I - MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ THỂ Bài toán 1: Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 Gợi ý Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lý Pi-ta-go. Vì lý do đó vẽ đường phụ qua M vuông góc với AB tại E và ME cắt DC tại F. Ta có MF  DC. Khi đó ta có các tam giác vuông EAM, FMC, EBM, FMD và hai hình chữ nhật AEFD, EBCF sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán Chứng minh Vẽ ME  AB, E AB, EM cắt DC tại F Tứ giác AEFD có nên là hình chữ nhật
6. Suy ra: EA = FD, Tứ giác EBCF có nên là hình chữ nhật Suy ra: EB = FC, Áp dụng định lí Pi-ta-go vào các tam giác vuông EAM, FMC, EBM, FMD, ta có: MA2 = EM2 + EA2 ; MC2 = FM2 + FC2 MB2 = EM2 + EB2 ; MD2 = FM2 + FD2 Do đó: MA2 + MC2 = EM2 + EA2 + FM2 + FC2 Và MB2 + MD2 = EM2 + EB2 + FM2 + FD2 Mà : EA = FD, FC = EB Suy ra: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 GV Lưu ý : Các em hãy nghĩ xem trường hợp M nằm ngoài hình chữ nhật thì điều đó có được ở trên có còn đúng không ?
7. Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD có Chứng minh rằng AB2 + CD2 = AC2 + BD2 Gợi ý Vì nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau Gọi E là giao điểm của AD và BC. Từ đây ta có : .Các tam giác EAB, ECD, EAC, EBD đều vuông tại E, áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác này sẽ cho ta kết quả cần chứng minh. Điểm E là điểm cần vẽ thêm Chứng minh Ta có: , nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau. Gọi E là giao điểm của AD và BC Vì : ECD có . Nên: Các tam giác EAB, ECD, EAC và EBD vuông tại E nên theo định lý Pi-ta-go, ta có: EA2 + EB2 = AB2 (1); EC2 + ED2 = CD2 (2) EA2 + EC2 = AB2 (3); EB2 + ED2 = BD2 (4)
8. Từ (1) và (2) ta có : EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AB2 + CD2 Từ (3) và (4) ta có : EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = EC2 + BD2 Do đó : AB2 + CD2 = AC2 + DB2 Bài toán 3: a) Chứng minh trong hình thang cân ABCD (AB//CD) ta có AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB . CD b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác ABCD ta có: AC2 + BD2  AD2 + BC2 + 2AB . CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.? Gợi ý Ta vẽ các đường phụ AH  DC, BK  DC, H DC, K DC.
9. a) Vẽ đường AH  DC, BK  DC, H DC, K DC Dễ thấy tứ giác ABKH là hình chữ nhật nên : HK = AB HAD có , theo định lý Pi-ta-go ta có: AD2 = HA2 + HD2 HAC có , theo định lý Pi-ta-go ta có: AC2 = HA2 + HC2 Do đó: AC2 – AD2 = HC2 – HD2 = (HC + HD) (HC – HD) = CD(HC – HD) Chứng minh tương tự cũng có BD2 – BC2 = CD (KD – KC) Do đó: AC2 – AD2 + BD2 – BC2 = CD(HC – HD + KD – KC) (AC2 + BD2) – (AD2 + BC2) = CD [(HC – KC) + (KD - HD)] = CD (HK + HK) = 2AB . CD AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB . CD
10. b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: (AC2 + BD2) – (AD2 + BC2) = 2HK . CD (*) Mà HK AB nên 2HK . CD 2AB. CD Nên AC2 + BD2 AD2 + BC2 + 2AB . CD (*) vẫn đúng khi ABCD là hình thang (AB//DC) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB//CD, hay tứ giác ABCD là hình thang
11. Bài toán 4: Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD hoặc đường thẳng chứa các cạnh đối tại các điểm E và F. Chứng minh rằng: Gợi ý Đẳng thức cần chứng minh gợi ta nhớ đến công thức: Do vậy tìm một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng AE, AF và có đường cao bằng AD. Điểm G thuộc DC sao cho GA  AF là điểm cần vẽ thêm. Chứng minh Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF và cắt DC tại G.
12. Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF và cắt DC tại G. Xét ABE và ADG có: ; AB = AD (vì ABCD là hình vuông) (hai góc cùng phụ với góc ) Do đó: ABE = ADG (g.c.g) AE = AG AGF có ; AD  GF theo hệ thức về cạnh và đường cao tam giác vuông Nên ta có: Do đó:
13. Bài toán 5: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao.Cho biết BH = a; HC = b Chứng minh rằng: Gợi ý ABC vuông tại A, AH là đường cao Nên có: AH2 = BH . HC Như vậy: Mặt khác: Gợi ta nghĩ đến đường trung tuyến AM của ABC Vì AH  HM Nên có AH AM. Ta đã đến với kết quả cần chứng minh. Yếu tố phụ cần vẽ thêm là đường trung tuyến AM của ABC
14. Chứng minh Vẽ đường trung tuyến AM của hai tam giác ABC Tam giác ABC vuông tại A Mà : AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Ta có : AH2 = BH . HC; BH = a(gt); HC = b (gt) Nên : ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến Nên : Ta có: AH  HM Nên : AH AM Do đó:
15. Bài toán 6: Cho tam giác cân ABC, Â = 200, AB = AC = b, BC = a Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 Gợi ý Vẽ tia Bx sao cho , Bx cắt cạnh AC tại D Nên : Ta có: ABD ~ ABC ABD có Do đó: AD2 = AB2 + BD2 – AB . BD Từ đó ta tìm được đẳng thức cần chứng minh Chứng minh Vẽ tia Bx sao cho , Bx cắt cạnh AC tại D. Vẽ AE  Bx, E Bx. Xét BDC và ABC có : chung Nên: ABD ~ ABC BD = BC = a
16. Do đó : ABE vuông tại E có nên là nửa tam giác đều Suy ra: ABE vuông tại E, nên theo định lí Pi-ta-go ta có: ADE vuông tại E, nên theo định lí Pi-ta-go ta có:
17. Bài toán 7: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có đường cao bằng 4cm, đường chéo BD = 5cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang ABCD Gợi ý Chỉ cần tính được độ dài AC thì tính được diện tích ABCD vì tứ giác ABCD có AC  BD. Ta nhận ra rằng đường phụ BE //AC, E DC giúp ta tính được AC.
18. Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A nhọn, đường cao BH. Chứng minh rằng: Gợi ý Chọn điểm phụ D là điểm đối xứng của C qua A, ta có tam giác BDC vuông tại B Trong BDC ta có . BH là đường cao. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta sẽ tìm ra lời giải của bài toán.
19. Bài toán 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho Chứng minh rằng: Gợi ý Từ giả thiết: ta nghĩ đến vẽ DF  AH, F AH. Từ đó AF = HE, HA = FE và áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông HEB, FDE, HAB, FAD, ABD ta sẽ chứng minh được: BE2 + ED2 = BD2 Nên BED vuông tại E. Suy ra điều cần chứng minh
20. Bài toán 10: Cho tam giác ABC, D là điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng: AB2 . CD + AC2 . BD - AD2 . BC = CD . BD . BC Gợi ý Ta vẽ thêm đường phụ AH  BC, H BC để xuất hiện được các tam giác vuông và áp dụng định lý Pi-ta-go. Chú ý: Cần phải xét các trường hợp D  H, D  B hoặc D  C, D thuộc đoạn HC (D H, D C), D thuộc đoạn HB (D H, D B)