Chuyên đề Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung text: Chuyên đề Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. TRƯỜNG THCS TIÊN YÊN TỔ : TOÁN –LÝ CHUYÊN ĐỀ : TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Ngày báo cáo: 4/11/2021 GV báo cáo: Nguyến Thị Đường I./ MỞ ĐẦU: Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn luyện ý chí học tập có hiệu quả. Đứng trước một bài toán, học sinh phải có một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất. Do đó viết chuyên đề đi từ dạng toán cơ bản đến dạng toán sâu rộng, hướng tới giúp học sinh : - Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát - Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể - Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau - Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán. Chuyên đề giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong đại số 7. II./ NỘI DUNG : 1. Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số a c * Tính chất của tỷ lệ thức: b d a c Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a a c a b d c d b Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức: , , b d c d b a c a * Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau: 1
2. a c a a c a c Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức sau: , (b ≠ ± d) b d b b d b d a c i Tính chất 2: suy ra các tỷ lệ thức sau: b d j a c c i a c i , (b, d, j ≠ 0) b b d j b d j a b c Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có: 3 5 7 2. Thực tế những năm trước kia khi chưa chú trọng trong việc rèn kỹ năng theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán. Ví dụ các em hay sai nhất trong trình bày lời giải, sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>” x y x y Ví dụ: ( ) thì các em lại dung dấu bằng là sai. 5 7 d 5.3 7.3 x y z Hãy tìm x, y, z biết và x – z = 7 5 3 4 x y z x z 7 x Giải: ( ) 7 vậy 7 x 5.7 5 3 4 S 5 4 1 5 Ở trên các em dùng dấu suy ra là sai Hay khi biến đổi các tỷ lệ thức rất chậm chạp Hiện nay các sai sót trên ít gặp hơn. Các em giải dạng toán này tương đối thành thạo khi tôi phân chia thành những dạng toán nhỏ. 1. Toán chứng minh đẳng thức 2. Toán tìm x, y, z, ... 3. Toán đố 4. Toán về lập tỷ lệ thức 5. Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức Qua việc giải các bài tập đa dạng về áp dụng tính chất của tỷ lệ thức các em đã nắm chắc chắn tính chất của tỷ lệ thức Biến đổi từ một tỷ lệ thức ra một tỷ lệ thức rất linh hoạt III./ BÀI TẬP VẬN DỤNG : A. Loại toán chứng minh đẳng thức a c a b c d Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu 1 thì với a, b, c, d ≠ 0 b d a b c d ? Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? 2
3. a c a c a b c d Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 1 1 b d b d b d a b b (1) c d d a c a b c d a b b (2) b d b d c d d a b a b a b c d Từ (1) và (2) => (ĐPCM) c d c d a b c d a c Bài 2: Nếu thì: b d 5a 3b 5c 3d a, 5a 3b 5c 3d 7a2 3ab 7c2 3cd b, 11a2 8b2 11c2 8d 2 Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài 1 gợi ý gì cho giải bài 2? a c a b 5a 3b 5a 5c 5a 3b 5c 3d a. Từ (đpcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a 3b 5c 3d a c a b a2 b2 ab 7a2 8b2 3ab 11a2 b. b d c d c2 d 2 cd 7c2 8d 2 3cd 11c2 7a2 3ab 11a2 8b2 (đpcm) 7c2 3cd 11c2 8d 2 a b c a Bài 3: CMR: Nếu a2 bc thì điều đảo lại có đúng hay không? a b c a a b a b a b a b c a Giải: + Ta có: a2 bc c a c a c a a b c a + Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy: a b c a a b c a a b c a a b c a Ta có: ac a2 bc ab ac a2 bc ab 2bc a2 a2 bc 3
4. a c ac a2 c2 Bài 4: Cho CMR b d bd b2 d 2 a c ac a2 c2 a2 c2 ac a2 c2 Giải: (đpcm) b d bd b2 d 2 b2 d 2 bd b2 d 2 4 a c a b a4 b4 Bài 5: CMR: Nếu thì 4 4 b d c d c d Giải: 4 a c a b a b a4 a b Ta có: 4 1 b d c d c d c c d a b a4 b4 a4 b4 Từ 2 c d c4 d 4 c4 d 4 4 a b a4 b4 Từ (1) và (2) 4 4 (đpcm) c d c d a c Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì b d Giải: Ta có: a c 2b a c d 2bd 3 c b d a c d Từ (3) và (2) cb cd ad cd a c (đpcm) b d Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b2 ac;c2 bd và b3 c3 d 3 0 a3 b3 c3 a CM: b3 c3 d 3 d a b Giải: + Ta có b2 ac 1 b c b c + Ta có c2 bd 2 c d a b c a3 b3 c3 a3 b3 c3 + Từ (1) và (2) ta có 3 b c d b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 4
5. a b c a3 a b c a Mặt khác: 4 b c d b3 b c d d a3 b3 c3 a Từ (3) và (4) b3 c3 d 3 d Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì: y z z x x y a b c b c a c a b Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số của (1) cho abc ta có: a y+z b z x c x y y+z z x x y 2 abc abc abc bc ac ab ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta sẽ biến đổi như thế nào? y+z x y z x y z x y z x y z Từ (2) bc ab ac bc ab ac bc y-z z-x x-y (đpcm) a b c b c a c a b bz-cy cx-az ay-bx Bài 9: Cho 1 a b c x y z CMR: a b c Giải: Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c Từ (1) ta có: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx 0 a a2 b2 c2 a2 b2 c2 x y bz-cy = 0 bz = cy = 2 c b x y ay-bx = 0 ay = bx 3 a b x y z Từ (2) và (3) (đpcm) a b c a b' b c' Bài 10. Biết 1và 1 a' b b' c 5
6. CMR: abc + a’b’c’ = 0 a b' Giải: Từ 1 ab a 'b' 1 1 a' b Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) b c' Ta có: 1 bc b'c ' b'c(2) b' c Nhân cả hai vế của (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng cả hai vế của (3) và (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = 0 (đpcm) B. Toán tìm x, y, z x y z Bài 11. Tìm x, y, z biết: và 2x 3y 2 186 15 20 28 Giải: Giả thiết cho 2x 3y 2 186 Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả giả thiết trên? x y z 2x 3y z 2x 3y z 186 Từ 3 15 20 28 30 60 28 30 60 28 62  x = 3.15 = 45  y= 3.20 = 60  z = 3.28 = 84 x y y z Bài 12. Tìm x, y, z cho: và và 2x 3y z 372 3 4 5 7 Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau? Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Đưa tử số có cùng số chia x y x y Ta có: (chia cả hai vế cho 5) 3 4 15 20 y z y z (chia cả hai vế cho 4) 5 7 20 28 x y z 15 20 28 Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 x y y z Bài 13. Tìm x, y, z biết và và x + y + z = 98 2 3 5 7 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) 6
7. Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*) x y Cách 1: Từ 2x = 3y 3 2 y z 3y = 5z 5 3 Đưa về cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ của x, y, z tương ứng ta sẽ giải được (*) + Làm thế nào để (1) cho ta (*) + Chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x 3y 5z x y z x y z 95 2x = 3y = 5z 5 30 30 30 15 10 6 15 10 6 19 => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15. Tìm x, y, z biết: 1 2 3 x y z 1 và x – y = 15 2 3 4 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11) BCNN(1 ;2 ;3) = 6 Chia các vế của (1) cho 6 ta có x y z x y 15 5 12 9 8 12 9 3 => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16. Tìm x, y, z biết: x 1 y 2 z 3 a. 1 và 2x + 3y –z = 50 2 3 4 2x 2y 4z b. 2 và x + y +z = 49 3 4 5 Giải: a. Với giả thiết phần a ta có cách giải tương tự bài nào? (bài 11) 2 x 1 3 y 2 z 3 2x 2 3y 6 z 3 Từ (1) ta có: 4 9 4 4 9 4 2x 3y z 2 6 3 50 5 5 9 9 x 1 5 x 11 2 7
8. y 2 5 x 17 3 z 3 5 x 23 4 b. ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15) Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3y 4z 2x 3y 4z 3 4 5 3.12 4.12 5.12 x y z x y z 49 1 18 10 15 18 16 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17. Tìm x; y; z biết rằng: x y a. và xy = 54 (2) 2 3 x y b. và x2 y2 4 (x, y > 0) 5 3 Giải: ? Làm như thế nào để xuất hiện xy mà sử dụng giả thiết. x y x x y x x2 xy 54 1 . . 9 a. 2 3 2 2 3 2 4 6 6 x2 4.9 2.3 2 6 2 6 2 x 6 54 Thay vào (2) ta có: x 6 y 9 6 54 x 6 y 9 6 x y x2 y2 x2 y2 4 1 b. 5 3 25 9 25 9 16 4 25 5 x2 x 4 2 9 3 y2 x 4 2 Bài 18. Tìm các số a1, a2, a9 biết: a 1 a 2 a 9 1 2 ... 9 và a a ... a 90 9 8 1 1 2 9 a 1 a a ... a 1 2 ... 9 90 45 Giải : 1 1 2 9 1 9 9 8 ... 1 45 Từ đó dễ dàng suy ra a1; a2; Bài 19. Tìm x; y; z biết: 8
9. y z 1 x z 2 x y 3 1 a. 1 x y z x y z Giải: Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có từ (1) y z 1 y z 1 x z 2 x y 3 2 x y z x x y z x y z 1 2 x y z 0,5 x y z y z 1 2 y z 1 2x x y z 1 2x x x 1 1,5 3x x 2 x z 2 Nếu a + y + z ≠ 0 : 2 x y z 2 3y y 5 2,5 3y y 6 x y 3 2 x y z 3 3z z 5 5 3z z 2 6 b. Tương tự các em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: x y z x y z y z 1 x z 1 x y 2 Nếu x + y + z ≠ 0 => x + y + z = 0,5 1 1 1 ĐS : x ; y ; z 2 2 2 Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0 1 2y 1 4y 1 6y Bài 20. Tìm x biết rằng: 18 24 6x Giải: 1 4y 1 2y 1 6y 2 8y 1 4y 2 8y 24 18 6x 18 6x 24 18 6x 1 4y 24 1 4y 24 1 24 18 6x 2 1 4y 18 6x 2 18 6x 24.2 6 3 x 6.4.2 3 x 8 x 5 9
10. Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng: x y z và xyz = 810 2 3 5 Giải: x y z x x x x y z xyz     2 3 5 2 2 2 2 3 5 30 3 x 810 x3 27 27 2 10 8 x3 8.27 23.33 2.3 3 x 6 x y 3.6 y 9 mà 2 3 2 z 15 Bài 22. Tìm các số x1, x2, xn-1, xn biết rằng: x1 x2 xn 1 xn  và x1 x2  xn c a1 a2 an 1 an ( a1 0,...,an 0;a1 a2 ... an 0) Giải: x x x x x x ... x c 1 2  n 1 n 1 2 n a1 a2 an 1 an a1 a2 ... an a1 a2 ... an c.ai xi a1 a2 ... an trong đó: i = 1, 2, , n Bài 23. Tìm các số x; y; z Є Q biết rằng: x y : 5 z : y z : 9 y 3:1: 2 :5 Giải: Ta có: x y 5 z y z 9 y k(1) 3 1 2 5 x y 5 z y z 9 y x y 4 3 1 2 5 1 x y 4 k k 4 x y x y 3k 4 k 3k 4 2k k 2 10
11. 5 z k z 5 k 5 2 3 9 y 5k y 5k 9 10 9 1 x y 3k x 3k y 6 1 5 Từ (1) x 5 y 1 z 3 Bài 24. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2 là 2 ; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là 4 . Tìm 3 số đó? 3 9 Giải: Ta có: x3 y3 z3 1009 x 2 x y x y y 3 2 3 4 6 x 1 x z x y z z 9 4 9 4 6 9 x 4k, y 6k, z 9k x3 y3 z3 4k 3 6k 3 9k 3 64k 3 216k 3 729k 3 1009k 3 1009 k 3 1 k 1 x 1.4 4 y 1.6 6 z 1.9 9 C./ TOÁN ĐỐ : Bài 25. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người đội A; B; C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người đi trồng cây? Giải: + Gọi số người đi trồng cây của đội A; B; C lần lượt là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo bài ra ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x y z 130 10 12 12 12 6 4 3 6 4 3 13 x 60; y 10; z 30 Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30 11
12. ĐS: 60; 40; 30 Bài 26. Trường có 3 lớp 7, biết 2 có số học sinh lớp 7A bằng 3 số học sinh 7B và 3 4 bằng 4 số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia 5 là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo bài ra ta có: 2 3 4 x y z 1 và x + y + z = 57 3 4 5 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 x y z x y z 57 18 16 15 18 16 15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 27. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với số thứ 2 là 5 , của số thứ nhất với số thứ ba là 10 . 9 7 Giải: Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z Theo bài ra ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x 5 x 10 x y x z ; ; y 9 z 7 5 9 10 7 x y z k 10 18 7 x 10k 2.5.k y 18.k 32.2.k z 7.k BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7  k = 5  x=50; y = 90; z = 35 Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35. E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 12
13. Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ a và c với b> 0; d >0. b d a c CM: ad bc b d Giải: a c  db cd + Có b d  ad bc bd db b 0;d 0 ad bc  ad bc a c + Có:  b 0;d 0 bd db b d a c a a c c Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ b d b b d d (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: a c  + b d  ad bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có: b 0;d 0 ad ab bc ab a a c a b d c b d 2 b b d + Thêm vào hai vế của (1) dc ta có: 1 ad dc bc dc d a c c b d a c c 3 b d d + Từ (2) và (3) ta có: a c a a c c Từ (đpcm) b d b b d d Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên a a a c a, Nếu 1thì b b b c a a a c b, Nếu 1thì b b b c Bài 30. Cho a; b; c; d > 0. 13
14. a b c d CMR: 1 2 a b c b c d c d a d a b Giải: a + Từ 1 theo tính chất (3) ta có: a b c a d a 1 (do d>0) a b c d a b c a a Mặt khác: 2 a b c a b c d a a a d + Từ (1) và (2) ta có: 3 a b c d a b c a b c d Tương tự ta có: b b b a 4 a b c d b c d a b c d c c c b 5 a b c d c d a c d a b d d d c 6 d+a+b+c d a b a b c d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được: a b c d 1 2 (đpcm) a b c b c d c d a d a b a c a ab cd c Bài 31. Cho và b;d 0 CMR: b d b b2 d 2 d Giải: a c a.b c.d ab cd Ta có và b;d 0 nên b d b.b d.d b2 d 2 ab ab cd cd a ab cd c Theo tính chất (2) ta có: (đpcm) b2 b2 d 2 d 2 b b2 d 2 d 14