Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1. Chủ đề 1 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ I. Tính chất cơ bản của phân thức A.M A (M 0,B 0) B.M B A : N A (B 0; N là một nhân tử chung của A và B ) B : N B II. Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3) A2 - B2 = (A - B)(A + B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) 7) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) III. Các kiến thức cề căn bậc hai và căn thức bậc hai a ≥ 0 1) Nếu a ≥ 0 thì = x 2 = 2)Điều kiện để A có nghĩa là A ≥ 0 2 푛ế ≥ 0 3) = | | = ― 푛ế < 0 4) AB A. B ( với A 0 ; B 0 ) A A 5) ( với A 0; B > 0 ) B B 6) A2 B A B (với B 0 ) 7) A B A2 B ( với A 0; B 0 ) A B A2 B ( với A < 0; B 0 ) A AB 8) ( với AB 0; B 0 ) B B A A B 9) ( với B > 0 ) B B 1
2. C C( A  B) 10) ( vớiA 0; A B2 ) A B A B2 C C( A  B) 11) ( với A 0, B 0; A B ) A B A B B. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN I. Rút gọn biểu thức số 1. Các dạng bài tập cơ bản 1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức A2 A Ví dụ 1: Rút gọn a. (3 5) 2 = |3 ― 5| = 3 ― 5 (vì 3 ― 5 > 0) 2 2 b. (1 2) (1 2) = |1 ― 2| ― |1 + 2| = ― (1 ― 2) ― (1 + 2) (vì 1 ― 2 0 = ― 1 + 2 ― 1 + 2 = ―2 c. 7 4 3 + 7 4 3 = 4 ― 4 3 + 3 + 4 + 4 3 + 3 2 2 = 22 ― 2.2. 3 + ( 3) + 22 + 2.2. 3 + ( 3) 2 2 = (2 ― 3) + (2 + 3) = |2 ― 3| + |2 + 3| = (2 ― 3) +(2 + 3) (vì 2 ― 3 > 0; 2 + 3 > 0 = 2 ― 3 +2 + 3 = 4 Bài tập áp dụng 1. Tính: 2 1. 3 ― 5 2 2 2. 5 ― 2 ― 5 + 2 3. 4 ― 2 3 ― 4 + 2 3 4. 7 + 2 10 + 7 ― 2 10 1.2/ Rút gọn nhờ quy tắc khai phương, nhân, chia các căn bậc hai: Ví dụ 2: Rút gọn 2 1. 4 ― 7. 4 + 7= (4 ― 7)(4 + 7) = 42 ― ( 7) = 16 ― 7 = 9 = 3 2. 5 + 20 ― 80 = 5 + 4.5 ― 16.5 = 5 + 2 5 ― 4 5 = ― 5 Bài tập áp dụng 2. Tính: 2
3. 1. 3 + 12 + 3 2. 24 2. 3 12 4 27 5 48 3. 2 20 ― 3 45 + 80 4. 2 18 7 2 162 5. 5 18 + 4 72 ― 3 50 1 3 6. 3 . 3 . 12 2 7 1.3/ Rút gọn nhờ vận dụng công thức trục căn thức ở mẫu Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau 1 1 1. 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 3 = 1 3 ― 1 3 = 1 3 ― 1 3 = 2 = 2 = ― 2 2 1 2. = ― ― 4 : 5 ― 3 5 + 3 3 + 2 2 5 + 3 2( 5 ― 3 = ― ― 4 .( 3 + 2) 5 ― 3 5 ― 3 2 5 + 3 2( 5 ― 3) = ― ― 4 .( 3 + 2) 2 2 = [ 5 + 3 ― 5 ― 3 ―4].( 3 +2) = ( 5 + 3 ― 5 + 3 ― 4) .( 3 + 2) = (2 3 ― 4) .( 3 + 2) = 2.( 3 ― 2).( 3 + 2) = 2(3 ― 4) = ―2 Bài tập áp dụng 3. Rút gọn: 2 2 1. = ― 3 + 5 3 ― 5 1 1 2 2. = + ― 3 : 2 ― 1 2 + 1 2 2 + 3 3. 1.4/ Rút gọn nhờ phân tích tử và mẫu thành nhân tử Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau 3 ― 3 3( 3 ― 1) 1. = = = 3 3 ― 1 3 ― 1 3 ― 6 2 + 8 3 ― 3.2 2 + 4.2 3(1 ― 2) 2 + 2 2 2. = ― = ― = ― 1 ― 2 1 + 2 1 ― 2 1 + 2 1 ― 2 1 + 2 2(1 + 2) = 3 ― = 3 ― 2 1 + 2 3
4. Bài tập áp dụng 4. Rút gọn: 3 + 3 3 ― 3 1. = 2 + . 2 ― 3 + 1 3 ― 1 5 + 7 5 11 + 11 2. = + 5 1 + 11 3 6 2 8 3. = 1 2 1 2 5 5 4. D = (1 5) . 2 5 5 5 5 5 5. E = 2 . 2 5 1 5 1 21- 7 10 - 5 1 6. A = ( + ) : 3 - 1 2 - 1 7 - 5 II. Tính giá trị của một biểu thức chứa biến 3 Ví dụ 1: Cho biểu thức = 1 Tính giá trị của A khi x = 25 Giải: A xác định ↔ ≥ 0; ≠ 1 Ta có x = 25( thỏa mãn) thay vào A ta có: 25 + 3 28 = = = 7 25 ― 1 5 ― 1 Vậy với x = 25 thì A = 7 Ví dụ 2: Cho biểu thức với = 2 ≥ 0; ≠ 4 a. Tính giá trị của B khi x = 9 b. Tính giá trị của B khi x = 7 ― 4 3 Giải; a. Tính giá trị của B khi x = 9 Với thì ≥ 0; ≠ 4 = 2 Ta có x = 9 (thỏa mãn), thay vào B ta có: 9 3 = = = 1 9 ― 2 3 ― 2 Vậy với x = 9 thì B = 1 b. Tính giá trị của B khi x = 7 ― 4 3 Với thì ≥ 0; ≠ 4 = 2 Ta có x = 7 ― 4 3 (thỏa mãn) 2 2 x = 4 ― 4 3 +3 = 22 ―2.2. 3 + ( 3) = (2 ― 3) 2 → = (2 ― 3) = |2 ― 3| = 2 ― 3(푣ì 2 ― 3 > 0) 4
5. 2 3 2 3 Thay vào B ta có: = = = 3(2 3) = 3 2 3 2 3 2 3 3 3 Vậy với x = 3 thì B 3 2 3 7 ― 4 = 3 Bài tập áp dụng 5. 1 1. Cho biểu thức A = . Tính giá trị của A khi x = 16 1 푣ớ푖 ≥ 0 2. Cho biểu thức B = . Tính giá trị của B khi x = 9. 1 푣ớ푖 ≥ 0; ≠ 1 4 3. Cho biểu thức C = . Tính giá trị của C khi x 6 4 2 2 2 4. Cho biểu thức D = . Tính giá trị biểu thức D khi x=2. 1 III. Một số dạng toán liên qua đến biểu thức chứa căn. Dạng 1. Giải bất phương trình x 1 Ví dụ: Cho biểu thức K= ( x ≥ ;풙 ≠ ) x 3 Tìm x để K < 1 x 1 Giải: Với x ≥ 0; ≠ 9 thì K= x 3 x 1 x 1 4 Ta có K 0) x 3 x 3 3 ↔ < 3↔ < 9↔ < 9 Kết hợp < 9 với điều kiện Với x ≥ 0; ≠ 9 ta có 0 ≤ < 9 thỏa mãn. • Chú ý: khi chỉ khi A và B cùng dấu > 0 khi chỉ khi A và B trái dấu < 0 Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Ví dụ 1: Cho biểu thức P= với x ≥ 0;x ≠ 1 x 2 x 3 1 x x 3 1. Rút gọn P 2 2. Chứng minh P ≤ 3 HD Giải: 2 5 1. Rút gọn P = với 3 x ≥ 0;x ≠ 1 2 2. Chứng minh P ≤ 3 2 5 Với thì P = x ≥ 0;x ≠ 1 3 2 2 5 2 3(2 5 ) 2( 3) 6 15 2 6 Xét hiệu 푃 ― 3 = 3 ― 3 = 3( 3) = 3( 3) 2 ―17 푃 ― = 3 3( + 3) Với x ≥ 0;x ≠ 1 thì ≥ 0 nên - 17 ≤ 0 và 3( + 3) > 0 5
6. 2 17 2 Suy ra nên 푃 ― 3 = 3( 3) ≤ 0 푃 ≤ 3 Chú ý: Để chứng minh BĐT dạng A > B ( A < B; A ≤ ; ≥ ) PP1: B1: Xét hiệu A – B B2: Thực hiện thu gọn biểu thức A – B B3: Xét dấu của hiệu A - B Nếu A – B > 0 thì A > 0 Nếu ― ≥ 0 thì ≥ Nếu A – B < 0 thì A < B Nếu A- ≤ 0 thì A ≤ PP2: Dùng pP biến đổi tương đương, BĐT cuối cùng đúng thì BĐT ban đầu cũng đúng. 3 x x 3 x 3 x 2 Ví dụ 2. Cho biểu thức P = với x ≥ 0;x ≠ 1 x x 2 x 2 x 1 1. Rút gọn P 2. So sánh P với 3 HD giải: 3 x 8 1. Rút gọn P = x 2 2. So sánh P với 3 3 x 8 Với C thì P = x 2 3 8 3 8 3( 2) 3 8 3 6 2 Xét hiệu P – 3 = 2 ―3 = 2 = 2 = 2 2 Có 2 > 0; với nên P – 3 = +2 > 0 x ≥ 0;x ≠ 1 2 > 0 Suy ra P > 3 Vậy với x ≥ 0;x ≠ 1 thì P > 3 Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN Sẽ hướng dẫn trong các bài cụ thể Dạng 4: Tìm giá trị nguyên x 1 Ví dụ 1: Cho biểu thức K= ( x ≥ ;풙 ≠ ) x 3 x 1 풙 ퟒ ퟒ Có K = = = + x 3 풙 풙 Với x là số nguyên không chính phương thì là số vô tỉ 4 Để K có giá trị nguyên thì có giá trị nguyên 3 ― 3 푙à 푠ố 푛 ê푛 푙à 푠ố ℎí푛ℎ ℎươ푛 ↔ ↔ 4 ℎ푖 ℎế푡 ℎ표 ― 3 ― 3 ∈ Ư(4) = { ―4; ― 2; ― 1;1;2;4} ― 3 -4 -2 -1 1 2 4 x KXĐ 1 4 16 25 49 TM TM TM TM TM Vậy ∈ {1;4;16;25;49} thỏa mãn đề bài. 6
7. 2(x 4) x 8 Ví dụ 2: Cho biểu thức: B với x ≥ 0, x ≠ 16. x 3 x 4 x 1 x 4 a. Rút gọn B. b. Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. HD giải: 3 x 1. Rút gọn B với x ≥ 0, x ≠ 16. x 1 3 x 2. Với x ≥ 0, x ≠ 16 thì B x 1 Với x ≥ 0, x ≠ 16 thì ≥ 0 nên 3 ≥ 0 và +1 > 0 3 x Suy ra B ≥ 0 x 1 3 3 3 3( 1) 3 Lại có: B = = ― 1 1 1 3 3 B 3 3 (vì 0 x 0, x 16) . x 1 x 1 Suy ra: 0 ≤ B < 3 B {0; 1; 2} (vì B Z). - Với B = 0 x = 0 (thỏa mãn) 3 x 1 - Với B = 1 1 3 x x 1 x . (thỏa mãn) x 1 4 3 x - Với B = 2 2 3 x 2( x 1) x 4.(thỏa mãn) x 1 1 Vậy để B Z thì x {0; ; 4}. 4 Lưu ý: Khi giải bài toán tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị nguyên. + Nếu tìm x nguyên để biểu thức P có giá trị nguyên thì làm như ví dụ 1 + Nếu tìm x để biểu thức P có giá trị nguyên thì ta thường dùng phương pháp chặn đoạn, a<P<b và P lấy các giá trị nguyên nằm trong khoảng (a; b) IV. Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan 1 1 x Ví dụ 1: : Cho biểu thức P = : (với x > 0, x 1) x - x x 1 x - 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức P. 1 b) Tìm các giá trị của x để P > . 2 Giải: a) Rút gọn biểu thức P. Với x > 0, x 1 thì: 1 1 x P = : x - x x 1 x - 2 x 1 2 1 x x 1 P . x x 1 x x 1 x 7
8. 2 1 x x 1 x 1 x 1 x - 1 P . x x 1 x x. x x 1 b) Tìm các giá trị của x để P > . 2 1 Với x > 0, x 1 thì P = 1 1 1 1 1 2( 1) 1. 2 2 Ta có P > ↔ > ↔ ― > 0↔ > 0↔ > 0 2 2 2 2 2 2 vì 2x > 0 với x > 0, x 1 ↔ 2 > 0↔ ― 2 > 0 ↔ > 2 Kết hợp > 2 với điều kiện x > 0, x 1 ta có x > 2 thỏa mãn Vậy với x > 2 thì P > 1 . 2 x x 1 1 x 2 x 1 Ví dụ 2: Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 1. x 1 x 1 x x 1 x x 1 1. Rút gọn biểu thức B. 2. Tìm x sao cho biểu thức C=-A.B nhận giá trị nguyên. Giải: 1. Rút gọn biểu thức B. Với x 0, x 1 thì: 1 x 2 x 1 B x 1 x x 1 x x 1 1 + 2 + 1 = ― ― ― 1 ( ― 1)( + + 1) + + 1 1( + + 1) 1( + 2) ( + 1)( ― 1) = ― ― ( ― 1)( + + 1) ( ― 1)( + + 1) ( ― 1)( + + 1) 1( + + 1) ― 1( + 2) ― ( ― 1) = ( ― 1)( + + 1) + + 1 ― ― 2 ― + 1 = ( ― 1)( + + 1) ― + ― ( ― 1) = = ( ― 1)( + + 1) ( ― 1)( + + 1) ― = + + 1 Vậy với x 0, x 1 thì = 1 2. Tìm x sao cho biểu thức C=-A.B nhận giá trị nguyên x x 1 Với x 0, x 1 thì A 푣à = x 1 1 Ta có C= - A.B 8
9. + + 1 ― = ― . = + 1 + + 1 + 1 Với x 0, x 1 thì ≥ 0, +1 > 0 nên ≥ 0 Mặt khác ta có: 1 1 1 1 1 1 (Vì ) = 1 = 1 = 1 ― 1 = 1 ― 1 0 Vậy 0 ≤ < 1. Mà C nhận giá trị nguyên nên C = 0 Ta có C = 0 (thỏa mãn) ↔ 1 = 0↔ = 0↔ = 0 Vậy x = 0 thỏa mãn đề bài. Bài tập áp dụng 1 1 x Bài 1. Cho biểu thức A : , với x > 0. x x x 1 x 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của x để A = 3 2 x 4 3 x 1 2 Bài 2. Cho hai biểu thức A và B với x ≥ 0, x ≠ 1. x 1 x 2 x 3 x 3 a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 b. Chứng minh B . x 1 A x c. Tìm tất cả giá trị của x để 5 B 4 x 1 x x Bài 3. Cho biểu thức A = : Với x > 0 x 4 x 4 x 2 x x 2 1. Rút gọn biểu thức A. 1 2. Tìm tất cả các giá trị của x để A 3 x a 3 3 a 6 a T Bài 4. Cho biểu thức , với a 0, a 4, a 9 a 9 a 4 a 2 a) Rút gọn T. b) Xác định các giá trị của a để T > 0 Bài 5. Cho biểu thức: x 4 1 1 P 1 : với x 0; x ; x 1; x 4 . x 3 x 2 2x 3 x 1 4 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P 2019 . 10 c) Với x 5, tìm giá trị nhỏ nhất của T P . x 1 x 1 Bài 6. Cho biểu thức P : ( với x > 0 và x ≠ 1). x2 x x x x x 9
10. 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị của x sao cho 3P = 1+ x. x 2 5 1 Bài 7. Cho biểu thức A Với x 0,x 4 x 3 x x 6 x 2 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của của biểu thức A khi x 6 4 2 a 1 a a a a Bài 8. Cho biểu thức: P = với a > 0, a 1 2 2 a a 1 a 1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm a để P > - 2 x x 26 x 19 2 x x 3 Bài 9. P = Với 풙 ≥ ;풙 ≠ x 2 x 3 x 1 x 3 x 16 a) Rút gọn P = b) Tính P tại x= 7- 4 3 c) Tìm GTNN của P x 3 d) Tìm x để P = 7 e) Tìm x Z để P Z f ) Tìm x để P < x g) Tìm GTNN của P x 3 x 1 5 x 2 Bài 10: Cho hai biểu thức P và Q với x>0, x 4 x 2 x 2 x 4 1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9. 2) Rút gọn biểu thức Q. P 3) Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Q 2x 1 1 x 2 Bài 11. Cho biểu thức A= : 1 x x 1 x 1 x x 1 2 3 a) Rút gọn A b) Tính A biết x= 2 c) Tìm x Z để A Z d) Tìm GTNN của A e)Tìm x để A=1/3 g) So sánh A với 1 h) Tìm x để A > 1/2 4 x 1 15 x 2 x 1 Bài 12. Cho hai biểu thức A và B : với x 0, x 25. 25 x x 25 x 5 x 5 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 . 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất. x x x 1 1 2 x Bài 13. Cho biểu thức E = : với > 0; ≠ 1 x 2 x 1 x 1 x x x a)Rút gọn E b)Tìm x để E > 1 c)Tìm GTNN của E với x > 1 d)Tìm x Z để E Z e)Tính E tại 2x 1 5 g)Tìm x để E = 9/2 10