Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 3: Phương trình bậc hai và định lí Vi-ét

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 3: Phương trình bậc hai và định lí Vi-ét

1. Chủ đề 3 Phương trình bậc hai và định lí Vi-ét A. Phần Lí thuyết I. Phương trình bậc hai 1. Định nghĩa: Phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) được gọi là phương trình bậc hai một ẩn. 2. Cách giải: Để giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) ta xét các trường hợp sau: a, Phương trình bậc hai khuyết c dạng: ax2 + bx = 0 (a, b 0) x(ax + b) = 0 x = 0 hoặc ax + b = 0 b x = 0 hoặc x = a b, Phương trình bậc hai khuyết b dạng: ax2 + c = 0 (a, c 0) c x = a +, Nếu c < 0 thì phương trình vô nghiệm. a c c +, Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm x1,2 = a a c, Phương trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 0) ta dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải: Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 0) ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 0, b = 2b’) b 2 4ac ' b'2 ac Nếu >0 phương trình có hai nghiệm Nếu '>0 phương trình có hai nghiệm b b b' ' b' ' phân biệt: x , x phân biệt: x , x 1 2a 2 2a 1 a 2 a Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: Nếu '= 0 phương trình có nghiệm kép: b b' x x x x 1 2 2a 1 2 a Nếu < 0 phương trình vô nghiệm Nếu ' < 0 phương trình vô nghiệm 3, Giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m, ta xét hai trường hợp: a, Trường hợp 1: Nếu a = 0 với một vài giá trị nào đó của m, ta thay giá trị đó vào phương trình (1). Phương trình (1) có thể: +, Có 1` nghiệm duy nhất. +, hoặc vô nghiệm + hoặc có vô số nghiệm. 2 2 b, Trường hợp 2: Nếu a 0, ta lập biệt số b 4ac ( nếu b = 2b’ thì ' b' ac ) +, Nếu < 0 phương trình vô nghiệm.
2. b b' +, Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x x ( hoặc x x ) 1 2 2a 1 2 a b b +, Nếu >0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x , x 1 2a 2 2a b' ' b' ' hoặc x , x . 1 a 2 a II, Định lí Vi-ét 2 1, Định lí: Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì b S x x 1 2 a tổng và tích hai nghiệm đó là: c P x .x 1 2 a * Đảo lại: Nếu hai số x1, x2 có tổng x1+ x2 = S và tích x1.x2 = P thì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0 (*) 2 Chú ý: Hai số x1, x2 chỉ tồn tại phương trình (*) có nghiệm S 4P. 2, Dấu của nghiệm số phương trình bậc hai: 2 Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Ta có các kết quả sau: +, P = x1.x2 < 0 x1 < 0 < x2 ( hai nghiệm trái dấu) 0 c P 0 +, x > 0 và x > 0 1 2 a b S 0 a 0 c P 0 +, x < 0 và x < 0 1 2 a b S 0 a 3. Áp dụng: a. Tính nhẩm nghiệm: Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) c +, Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 1; x2 a c +, Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 1; x2 a + Nếu x1 + x2 = m+n và x1. x2 =m.n và 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = m, x2 = n hoặc x1 = n, x2 = m. b, Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là u, v +, Lập tổng S = u + v và P = u.v
3. +, Ta có phương trình x2 - Sx + P = 0. III, Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. 2 Giả sử phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0) cóa hai nghiệm x1, x2. Ta có các hệ thức sau: 2 2 2 +, x1 + x2 = (x2 + x2) - 2x1x2 2 2 +, (x2 - x2) = (x2 + x2) - 4x1x2 3 3 3 +, x1 + x2 = (x2 + x2) - 3x1x2(x2 + x2) 1 1 x x +, 1 2 x1 x2 x1 x2 x x x 2 x 2 (x x ) 2 2x x +, 1 2 1 2 1 2 1 2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 *Chú ý: Giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thỏa mãn diều kiện 0 . IV, Một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai. 1, Phương trình tích: Là phương trình dạng A(x).B(x) = 0 * Cách giải: A(x).B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0. giải hai phương trình này rồi lấy tập hợp các nghiệm thu được chính là nghiệm của phương trình tích ban đầu. 2, phương trình chứa ẩn ở mẫu: * Cách giải: B1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. B2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu. B3: Giải phương trình vừa tìm được. B4: Đối chiếu các giá trị vừa tìm được của ẩn với ĐKXĐ để loại giá trị không thỏa mãn. Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho. 3, Phương trình vô tỉ: * Cách giải: PP1: Nâng lên lũy thừa PP2: Đưa về phương trình chứa trong dấu giá trị tuyệt đối PP3: Đặt ẩn phụ PP4: Phương pháp hệ phương trình PP5: PP bất đẳng thức B. Bài tập Phần cơ bản Dạng 1. Giải phương trình bậc hai Phương pháp 1: Sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) Phương pháp 2: Sử dụng ứng dụng nhẩm nghiệm của định lí Vi-et. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau; 1. 2 ― 5 ― 14 = 0 ( = 1 ≠ 0,; = ―5; = ―14) ∆ = 2 ― 4 = ( ―5)2 ― 4.1.( ―14) ∆ = 25 + 56 = 81 > 0→ ∆ = 81 = 9
4. ― + ∆ ― ( ―5) + 9 → = = = 7 1 2 2.1 ― ― ∆ ― ( ―5) ― 9 = = = ―2 2 2 2.1 Vậy phương trình có hai nghiệm 1 = 7; 2 = ―2 2. 2 ― 4 + 4 = 0( = 1 ≠ 0,; = ―4; = 4; ′ = ―2) ∆′ = ′2 ― = ( ―2)2 ― 1.4 = 4 ― 4 = 0 ′ ( 2) Phương trình có nghiệm kép 1 = 2 = = 1 = 2 Vậy phương trình có nghiệm kép 1 = 2 = 2 3. 3 2 ― 5 + 2 = 0( = 3 ≠ 0; = ―5; = 2) Có a + b + c = 3 + (-5) + 2 = 0 2 → = 1; = = 1 2 3 2 Vậy phương trình có hai nghiệm 1 = 1; 2 = 3 4. 2 + 3 + 2 = 0 ( = 1 ≠ 0,; = 3; = 2) Có a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0 ― ―2 → = ―1; = = = ―2 1 2 1 Vậy phương trình có hai nghiệm 1 = 1; 2 = ―2 5. 2 + 5 + 3 = 0( = 1 ≠ 0,; = 5; = 3) ∆ = 2 ― 4 = 52 ― 4.1.3 ∆ = 25 ― 12 = 13 > 0→ ∆ = 13 ― + ∆ ―5 + 3 ―5 + 13 → = = = 1 2 2.1 2 ― ― ∆ ―5 ― 3 ―5 ― 13 = = = 2 2 2.1 2 5 13 5 13 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 = 2 ; 2 = 2 Bài tập áp dụng 1: Giải các phương trình sau: a. 2 ― 4 + 3 = 0 e. 4 2 ― 5 ― 1 = 0 b. 2 2 + 3 ― 14 = 0 f. 2 + 5 ― 6 = 0
5. c. 3 2 + 7 + 4 = 0 g. 2 ― 5 ― 6 = 0 d. 2 ― 7 + 12 = 0 h. 2 2 + ― 6 = 0 Dạng 1. Giải phương trình bậc hai chứa tham số Bước 1: Thay giá trị của tham số vào phương trình. Bước 2: Giải phương trình như dạng 1 Ví dụ 2: 1. Cho pt: 2 ―2 + 1 + = 0 (1) (m là tham số). Giải phương trình với m = 2 Giải: Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có: 2 ― 2.2 + 1 + 2 = 0 ↔ 2 ―4 + 3 = 0 ( = 1 ≠ 0; = ―4, = 3) (Lưu ý: Có 3 cách giải, học sinh tự giải tiếp như dạng 1) 2. Cho pt: 2 ―2( ― 2) + 1 + = 0 (2) (m là tham số). Giải phương trình với m = 1 Giải: Thay m = 1 vào phương trình (2) ta có: 2 ― 2(1 ― 2) + 1 + ( ― 1) = 0 ↔ 2 +2 = 0 ( = 1 ≠ 0; = 2) ↔ ( + 2) = 0 ↔ = 0 ℎ표ặ + 2 = 0 ↔ = 0 ℎ표ặ = ―2 Với m = 1 thì phương trình có hai nghiệm x = 0; x = -2. Bài tập áp dụng 2: 1. Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số). Giải phương trình trên khi m = 6. 2. Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1). Giải phương trình đã cho khi m = 3. 3. Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x 2 - 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số). Giải phương trình đã cho khi m = 2. 4. Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0. Giải phương trình với m = -2. 5. Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) (m là tham số). a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 6. Cho phương trình 2x 2 2m 1 x m 1 0 với m là tham số. Giải phương trình khi m = 2.
6. Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm Cách giải: Xét phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 ( a 0) (1) Bước 1: Tính biệt số ∆ (ℎ표ặ ∆′) Bước 2: Để phương trình có hai nghiệm thì ta cho ∆ ≥ 0( ℎ표ặ ∆′ ≥ 0) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ta cho ∆ > 0( ℎ표ặ ∆′ > 0) Bước 3: Giải bất phương trình vừa lập để tìm giá trị của tham số Ví dụ 3: 1. Cho phương trình: 2 ―2 + 1 ― + 2 = 0 (1) (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Giải: Xét phương trình: 2 2 ―2 + 1 + = 0( = 1 ≠ 0; = ―2 , = 1 ― + ; ′ = ― ) ∆′ = ′ ― = ( ― )2 ― 1(1 ― + 2) = 2 ― 1 + ― 2 ∆′ = ― 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆′ > 0 ↔ ― 1 > 0↔ > 1 Vậy với m > 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 2. Cho phương trình ẩn x: x2 – 2(m – 2)x + m2 - 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm. Xét phương trình: x2 – 2(m – 2)x + m2 - 2 = 0 = 1 ≠ 0; = ―2( ― 2); = 2 ― 2 ∆ = 2 ― 4 = ⌈ ―2( ― 2)⌉2 ― 4( 2 ― 2) ∆ = 4( 2 ― 4 + 4) ― 4 2 + 8 ∆ = 4 2 ― 16 + 16 ― 4 2 + 8 = ―16 + 24 Để phương trình có hai nghiệm thì ∆ ≥ 0 ―24 ↔ ― 16 + 24 ≥ 0↔ ― 16 ≥ ―24↔ ≤ (푣ì ― 16 < 0) ―16 3 ↔ ≤ 2 3 Vậy với thì phương trình có hai nghiệm. ≤ 2 Bài tập áp dụng 3: 1. Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 3m 0 ( m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 2. Cho phương trình: mx2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 3. Cho phương trình: x2 2(m 1)x m2 m 1 0 (m là tham số).
7. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . 4. Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm. Dạng 4: Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số Cách giải: Xét phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 ( a 0) (1) Cách 1: - Tính biệt số - Chứng minh 0 thì phương trình (1) luôn có nghiệm. - Chứng minh 0 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Cách 2. Chứng minh tích a.c < 0 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. 2 Ví dụ 4: Cho phương trình 2x m 3 x m 0 (1) với m là tham số. 1) Giải phương trình khi m = 2. 2) Chứng tỏ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Giải: 1. Giải phương trình khi m = 2. (Học sinh tự giải) 2. Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi m Xét phương trình 2 2 ― ( + 3) + = 0(1) ( = 2 ≠ 0; = ― ( + 3); = ) ∆ = 2 ― 4 = [ ― ( + 3)]2 ― 4.2. ∆ = 2 + 6 + 9 ― 8 ∆ = 2 ― 2 + 1 + 8 ∆ = ( ― 1)2 +8 > 0 với mọi m. Vậy với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 5: Cho phương trình 2 ―2( + 3) + 2 ― 1 = 0(1) với k là tham số. a. Giải phương trình (1) với k = -2 b. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k. Giải: a. Giải phương trình (1) với k = -2 (Học sinh tự giải) b. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k. Xét phương trình 2 ―2( + 3) + 2 ― 1 = 0(1) = 1 ≠ 0; = ―2( + 3); = 2 ― 1; ′ = ― ( + 3) ∆′ = ′2 ― = [ ― ( + 3)]2 ― 1.(2 ― 1) ∆′ = 2 + 6 + 9 ― 2 + 1 ∆′ = 2 + 4 + 10 ∆′ = 2 + 2.2. + 22 + 6 ∆′ = ( + 2)2 + 6 > 0 푣ớ푖 ∀
8. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. Ví dụ 6: Cho phương trình: x2 ― (2m ― 1)x + m2 ―m ― 6 = 0 (m là tham số). 1. Giải phương trình với m = -2. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Giải: 1. Giải phương trình khi m = -2. (Học sinh tự giải) 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Xét phương trình: x2 ― (2m ― 1)x + m2 ―m ― 6 = 0 = 1 ≠ 0; = ― (2 ― 1); = 2 ― ― 6 ∆ = 2 ― 4 = [ ― (2 ― 1)]2 ― 4.1,( 2 ― ― 6) ∆ = 4 2 ― 4 + 1 ― 4 2 + 4 + 24 = 25 > 0 푣ớ푖 ∀ Vậy với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Bài tập áp dụng 4: 1. Cho phương trình: x2 2(1 m)x 3 m 0 , m là tham số a. Giải phương trình với m =0 b. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 2. Cho phương trình x2 mx m 2 0 (1) (x là ẩn số) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m 3. Cho phương trình : x2 (m 5)x 3m 6 0 (x là ẩn số). Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m. 4. Cho phương trình: x2 (2m 1)x 3 0 (m là tham số). a. Giải phương trình với m = -1 b. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. 5. Cho phương trình x2 (m 2)x m 1 0 (1) ( m là tham số) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi m 6. Cho phương trình x2 2mx 2m 3 0 , với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Phần nâng cao Dạng 5. Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số. Ví dụ 5: Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 ( m là tham số) a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm HDGiải: Câu a: HS làm theo dạng 4
9. Câu b. Vì phương trình luôn có có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m, nên theo (2 1) 1 + 2 = định lí Vi-et ta có: 2 = 1 1 2 2 Để phương trình có hai nghiệm đều âm thì 1 < 0; 2 < 0 > 0 ↔ 1 2 1 + 2 < 0 ― 1 > 1 > 0 ― 1 > 0 > 1 ↔ 2 ↔ ↔ ↔ 1↔ > 1 ―(2 ― 1) ―2 + 1 < 0 2 2 Vậy với m > 1 thỏa mãn đề bài 2 Ví dụ 6: Cho phương trình: x - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau. HDGiải: Câu a: HS làm theo dạng 4 Câu b. Vì phương trình luôn có có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m, nên theo + = 2( ― 1) định lí Vi-et ta có: 1 2 1 2 = ― 3 Để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau thì hai nghiệm là hai số đối nhau < 0 ― 3 < 0 < 3 < 3 ↔ 1 2 ↔ ↔ ↔ ↔ = 1 1 + 2 = 0 2( ― 1) = 0 ― 1 = 0 = 1 Vậy m = 1 thỏa mãn đề bài. Dạng 6. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào tham số Ví dụ 7: Cho phương trình bậc hai x2 2 m 1 x m 2 0 . Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phận biệt x1 , x2 với mọi giá trị của m. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào m. HD Giải: Bước 1: Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phận biệt x1 , x2 với mọi giá trị của m (HS tự giải) Bước 2: Lập hệ thức Vi-et. 1 + 2 = 2( ― 1) 1 2 = + 2 Bước 3: (Có 2 cách để làm mất m trong hệ trên) Cách 1: (Dùng phương pháp cộng) Cách 2: (Dùng phương pháp thế) 1 + 2 = 2( ― 1) 1 + 2 = 2( ― 1) 1 2 = + 2 1 2 = + 2 + = 2 ― 2(1) Từ (2) ta có: ↔ 1 2 2 1 2 = 2 + 4(2) 1 2 ― 2 = Trừ (1) cho (2) ta có: Thay vào (1) ta có: 1 + 2 ― 1 2 = ―6 1 + 2 = 2( 1 2 ― 2 ― 1) Vậy hệ thức 1 + 2 ― 1 2 = ―6 ↔ 1 + 2 = 2 1 2 ― 6 Không phụ thuộc vào giá trị của m ↔ 1 + 2 ― 1 2 = ―6
10. Vậy hệ thức 1 + 2 ― 1 2 = ―6 Không phụ thuộc vào giá trị của m Dạng 7. Các bài tập về hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bâc hai chứa tham số. Cách giải: Bước 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm hoặc chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m (HS tự giải) Bước 2: Lập hệ thức Vi-et. Bước 3: Giải quyết theo yêu cầu của bài toán Ví dụ 8: Cho phương trình x2 –( m +1)x + m = 0 (1) 1. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 2. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1).Tìm m để x1 + 2x2 = 5. HD Giải: 1. HS tự giải 2. Vì phương trình luôn có hai nghiệm 1; 2 với mọi m, nên theo hệ thức Vi –et ta có: 1 + 2 = + 1 (2) 1 2 = (3) ó 1 + 2 2 = 5↔ 1 = 5 ― 2 2 (4) ℎ (4)푣à표 (2)푡 ó:5 ― 2 2 + 2 = + 1 ↔ ― 2 = ― 4↔ 2 = 4 ― (5) Thay (5) vào (4) ta có: 1 = 5 ― 2(4 ― )↔ 1 = 2 ― 3 (6) Thay (5), (6) vào (3) ta có: (4 ― )(2 ― 3) = 8 ― 12 ― 2 2 + 3 ― = 0 ↔ ― 2 2 + 10 ― 12 = 0 ↔ 2 ― 5 + 6 = 0 Giải phương trình ta được = ; = Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 2(m 1)x m2 m 1 0 (m là tham số). a) Giải phương trình với m 0 . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 1 1 4 . x1 x2 HD giải: a. HS tự giải b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 1 1 4 x x 1 2 . Xét phương trình: 2 ―2( + 1) + 2 + ― 1 = 0 = 1 ≠ 0; = ―2( + 1); = 2 + ― 1; ′ = ―( + 1)) ∆′ = ′2 ― = [ ― ( + 1)]2 ― 1.( 2 + ― 1) ∆′ = 2 + 2 + 1 ― 2 ― + 1 = + 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆′ > 0↔ + 2 > 0↔ > ―2 Vậy với m > -2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1; 2.