Đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện - Môn: Toán

1. PHÒNG GD&ĐT NAM TRỰC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) 1 - x3 1 - x2 Cho biểu thức B = - x : 2 3 (với x 1 ) 1 - x 1 - x - x + x 1) Rút gọn biểu thức B. 2) Tìm giá trị của x để B < 0. 3) Tính giá trị của biểu thức B với x thỏa mãn: x - 4 = 5 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 2) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 Bài 3: (2,0 điểm) 4 5 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn + 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x2 y2 6 8 thức: Q = 2x2 + + 3y2 + x2 y2 Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. 1) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. 2) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi. 3) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm HA' HB' HC' 1) Tính tổng + + AA' BB' CC' 2) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM và IN theo thứ tự là phân giác của A· IC và A· IB . Chứng minh : AN.BI.CM = BN.IC.AM Bài 6: (2,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt tấm bìa.
2. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM NAM TRỰC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán Bài Nội dung chính Điểm 1) Với x 1 thì: 1 - x 1 + x A = 1 + x + x 2 - x : 1 + x 1 - x + x 2 - x 1 + x 0,5 1 - x 1 + x = x 2 + 1 : 1,0 1 + x 1 - 2 x + x 2 1 - x 1 2 2 = x + 1 : 2 = x + 1 1 - x 0,5 (4,0đ) 1 - x 2) Với x 1 thì B 1 0,25 3) Với x - 4 = 5 x = -1; x = 9 0,5 0,25 Tại x = -1 không thỏa mãn điều kiện x 1 0,25 Tại x = 9 thỏa mãn điều kiện x 1 . Tính được B = - 656 4 3 2 1) x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của PT. Chia cả hai vế của phương trình cho x2 0, ta 0,5 được 3 1 x 2 + 3x + 4 + + = 0 x x 2 2 1 1 0,5 x 2 3 x 4 0 x x 1 1 Đặt x = y thì x2 = y2 – 2, ta được PT: y2 + 3y + 2 = 0 (*) 0,5 x x2 Giải (*) được y1= -1 ; y2 = -2 1 2 0,25 Với y1= -1 ta có x = -1 nên x + x + 1 = 0. PT vô nghiệm 2 x (4,0đ) 1 2 Với y1= -2 ta có x = -2 nên x+1 0 , do đó x = -1 x 0,25 Vậy S= 1 2) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 2x2 4xy xy 2y2 7 2x(x 2y) y(x 2y) 7 0,5 (2x y)(x 2y) 7 Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7 Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1) 0,5 Ta có bảng sau: 2x-y 1 -1 7 -7 x+2y 7 -7 1 -1 0,75 x 1,8(loại) -1,8(loại) 3 -3 y 2,6(loại) -2,6(loại) -1 1
3. Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) (3; 1);( 3;1) 0,25 6 8 Ta có Q = 2x2 + + 3y2 + x2 y2 2 3 4 5 = 2x2 + + 3y2 + + + x2 y2 x2 y2 2 1 2 1 4 5 0,5 = 2 x + 2 +3 y + 2 + 2 + 2 x y x y Ta có 1 3 2 2 2.2 4 Dấu “=” xảy ra khi x2 =1 x =1 ( Vì x > 0) x + 2 0,5 ( 2đ ) x 2 1 2 3 y + 2 3.2 6 . Dấu “=” xảy ra khi y =1 y=1 ( Vì y > 0) y 0,5 4 5 + 9 (gt). Khix =1 ; y =1 thì dấu “=” xảy ra x2 y2 0,25 => Q 4 6 9 = 19 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 19 khi x y =1 0,25 E D A M Q B C P I H 1) Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) 0,5 4 EB ED - Từ đó suy ra EA.EB ED.EC 0,5 (4,0đ) EC EA 2) Kẻ MI vuông góc với BC (I BC) . Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g) 0,5 BM BI BM.BD BI.BC (1) BC BD 0,5 CM CI Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) CM.CA CI.BC (2) BC CA 0,5 Từ (1) và (2) suy ra BM.BD CM.CA BI.BC CI.BC BC(BI CI) BC 2 (không đổi) 3) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) 0,5 BH BD 2BP BD BP BD DH DC 2DQ DC DQ DC 0,25 - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) B· DP D· CQ 0,5 mà B· DP P· DC 90o D· CQ P· DC 90o CQ  PD 0,25
4. 1 HA' .BC S HA' 1) HBC 2 ' 0.5 S 1 ' AA ABC AA .BC 2 S HC S HB ' HAB HAC 1. tương tự: ' ; ' S ABC CC S ABC BB ' ' ' HA HB HC S HBC S HAB S HAC 0.5 Suy ra: ' ' ' 1 AA BB CC S ABC S ABC S ABC 2) Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác: ABC; ABI; AIC BI AB AN AI CM IC ; ; 0.75 IC AC NB BI MA AI 5 BI AN CM AB AI IC AB IC 1 ( 4đ ) Suy ra: . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI.AN.CM IC.NB.MA 0,25 A Giả sử ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba phần bằng J nhau. Nối các điểm chia bởi các đoạn thẳng song K song với các cạnh, tam giác ABC được chia thành 9 tam giác đều có cạnh bằng 1. 0,75 B I C I Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm trên các cạnh BC, CA và AB sao cho IC = JA = KB =1. Ba đường tròn bán 6 kính bằng 1, tâm tương ứng là I, J, K sẽ phủ kín được (2đ) tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ được 3 tam giác nhỏ). Như vậy dùng 3 tấm bìa sẽ phủ kín được tam giác ABC. 0,75 Số tấm bìa ít nhất phải dùng cũng là 3, bởi vì nếu ngược lại sẽ phải có hai trong ba đỉnh của tam giác ABC thuộc một hình tròn bán kính 1. Điều này không thể xảy ra bởi vì cạnh của tam giác ABC bằng 3. 0,5 Nếu học sinh có cách giải khác đáp án mà đúng thì cho điểm tương đương