Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 54+55, Bài 2: Giới hạn của hàm số

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 54+55, Bài 2: Giới hạn của hàm số

1. I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho khoảng K chứa điểm xx0 và hàm số yf= ( ) xác định trên KK hoặc trên \ x0. Ta nói hàm số yf= (x ) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( xnn) bất kì, x K \ x0 và xnn→ x0 , ta có f( x ) → L . Kí hiệu: limf ( x )= L hay f ( xn ) → L khi x → x0. xx→ 0 x 2 − 9 Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x )== . Chứng minh rằng lim f ( x )6 . x − 3 x→3
2. x 2 − 9 Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x )== . Chứng minh rằng lim f ( x )6 . x − 3 x→3 +) Lấy dãy (xn ) bất kì, thỏa mãn x n 33 và x n → khi n → + 2 xn − 9 ( xxnn−+33)( ) +) Ta có: f ( xnn )= = = x + 3 xxnn−−33 lim(f xn ) = lim( x n +3 ) = lim( x n ) + lim 3 = 3 + 3 = 6 +) Kết luận: limfx ( )= 6 . x→3 * Cỏc bước tớnh giới hạn bằng định nghĩa Bước 1. Lấy dãy (xn ) bất kì, thỏa mãn x n x00 và x n → x khi n → + Bước 2. Tính: f ( xnn ) theo x =limf ( xn ) L (nếu có) Bước 3. Kết luận: limf ( x )= L (nếu có) xx→ 0
3. 2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lớ 1 a) Giả sử limf ( x )== L và lim g ( x ) M . Khi đó x→→ x00 x x • lim f ( x ) + g ( x ) = L + M ; xx→ 0 • lim f ( x ) − g ( x ) = L − M ; xx→ 0 • lim f ( x ). g ( x ) = L . M ; xx→ 0 f() x L • lim = (nếu M 0 ). xx→ 0 g() x M b) Nếu f ( x ) =0 và lim f ( x ) L , thì L =0 và lim f ( x ) L . xx→ 0 xx→ 0 xx2 +−8 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x )= . Tìm lim f ( x ) 2 x x→3 xx2 ++54 Ví dụ 3. Tính lim x→−1 x +1
4. xx2 +−8 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x )= . Tìm lim f ( x ) 2 x x→3 Lưu ý: Ta thay x = x 0 vào fx( ). + Nếu mẫu khỏc 0 thỡ thay vào. + Nếu mẫu bằng 0 thỡ ta phải phõn tớch tử thành nhõn tử để rỳt gọn mẫu. Bài giải xx2 +−8 limfx ( )= lim xx→→332 x 32 +− 3 8 2 == 2. 3 3
5. xx2 ++54 Ví dụ 3. Tính lim x→−1 x +1 Bài giải Ta có: xx2 ++54 (xx++14 )( ) lim = lim = lim(x +=4 ) 3 x→−1 x +1 x→−1 x +1 x→−1 x3 −1 Ví dụ 4. Tính lim x→1 x −1 Bài giải Ta có: 3 2 x −1 (x−11 )( x + x + ) 2 lim = lim = lim(xx+ +1 ) = x→1 x −1 x→1 x −1 x→1
6. 3. GIỚI HẠN MỘT BấN Định nghĩa 2. Cho hàm số y= f ( x ) xác định trên ( x0 ; b ). Số L được gọi là giới hạn bê n phải của hàm số y= f ( x ) khi xn→→ x00 nếu với dãy số ( x n) bất kì, x0 xn b và x n x , ta có f ( x )→ L . Kí hiệu: lim f() x = L n + xx→ 0 Cho hàm số y= f ( x ) xác định trên ( a ; x0 ). Số L được gọi là giới hạn bê n trái của hàm số y= f ( x ) khi xn→→ x00 nếu với dãy số ( x n) bất kì, ax n x0 và x n x , ta có f ( x )→ LL . Kí hiệu: lim f() x = n − x→x0
7. 3. GIỚI HẠN MỘT BấN Định lớ 2 limf ( x )= L khi và chỉ khi lim f ( x ) = lim f ( x ) = L . _ + xx→ 0 x→→ x00 x x 4xx− 1 nếu 0 Ví dụ 4. Cho hàm số fx ( ) = 2 2xx− 1 nếu 0 Tìm limf ( x ), lim f ( x ) và lim f ( x ) (nếu có) x→→ x00−+ x x→0 Bài giải Ta có: limf ( x )= lim 2 x 2 − 1 = − 1 xx→→00−−( ) limf ( x )= lim (4 x − 1) = − 1 xx→→00++ = limf ( x ) = lim f( x) = −1 xx→→00+− Suy ra: limfx ( ) =−1 x→0
8. Kiến thức cần ghi nhớ: 1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 2. Định lí về giới hạn hữu hạn 3. Cách giải một số bài tập đơn giản về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
9. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1 . Dùng định nghĩa, tìm giới hạn sau: x +1 a) lim x→4 32x − Bài 2. Tính các giới hạn: x 2 −1 4 − x 2 x +−33 a) lim b) lim c) lim x→−3 x +1 x→−2 x + 2 x→6 x − 6
10. 1 fx()= x − 2 y O 2 x
11. a) Cho hàm số y= f() x xỏc định trờn khoảng ( a ; + ) . Ta núi hàm số y = f () x cú giới hạn là số L khi x → + nếu với dóy số () x bất kỡ, xa và , ta cú f() x→ L n n xn → + n Kớ hiệu: lim f ( x ) = L hay f () x → L khi x → + x→+ b) Cho hàm số y= f() x xỏc định trờn khoảng ( − ; a ) . Ta núi hàm số y= f() x cú giới hạn là số L khi x → − nếu với dóy số ()xn bất kỡ,xa n và x n → − , ta cú f () xn → L Kớ hiệu: lim f ( x ) = L hay f () x → L khi x → − x→−
12. 43x + fx()= x − 2 limfx ( ) limfx ( ) x→− x→+ Giải. Hàm sụ́ đó cho xỏc định trờn (− ;2) và trờn (2; + ) •Giả sử () x n là mụ̣t dóy sụ́ bất kỳ thỏa món xn 2 và x →− 3 4 + 43xx+ Ta cú: lim()limfx =nn = lim = 4 n x −1 2 n 1− x 43x + n Vọ̃y: limfx ( )== lim 4 xx→− →− x − 2 • Tương tự ta cú: 43x + limfx ( )== lim 4 xx→+ →+ x − 2
13. a) Với c, k là cỏc hằng số và k nguyờn dương, ta luụn cú: c lim cc= ; lim cc = ; c ; lim= 0 limk = 0 x→+ x→− x→+ xk x→− x b) Định lý 1 vờ̀ giới hạn hữu hạn của hàm số khi xx→ 0 vẫn cũn đỳng khi x → + hoặc x → − Vớ dụ 2: Tỡm −2xx2 − 3 + 1 lim x→− 31x2 + Giải : 31 2 −2 − + Ta cú: −2xx − 3 + 12 − 2 lim== lim xx xx→− 2 →− 1 3x + 13+ 3 x2
14. Nhúm 1: Tớnh : −−x 1 a) lim x→− 25− x HOẠT ĐỘNG NHểM Nhúm 2: Tớnh : −+xx322 b) lim x→+ xx43−+31 1 −−1 −−x 11 a) lim== lim x xx→− →− 2 2− 5x − 5 5 x 12 32 −+ −+xx2 2 b) lim== limxx 0 xx→+ 43 →+ 31 xx−+31 1−+ xx4
15. Qua bài học cỏc em cõ̀n nắm được. 1. Định nghĩa 3. fx() 2. Quy tắc tỡm lim x→ gx() 1. Làm bài tọ̃p 3 SGK trang 132. 2. Chuõ̉n bị bài mới.
16. GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
17. III. GIỚI HẠN Vễ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn vụ cực • Định nghĩa Cho hàm số y= f() x xỏc định trờn khoảng (a ; + ). Ta núi hàm số cú giới hạn là − khi x → + nếu với dóy số bất kỡ, xa n và xn → + , ta cú fx()n → − Kớ hiệu: limfx ( ) = − hay khi x → + x→+ fx()→ − • Cỏc định nghĩa: lim fx ( ) = + , limfx ( ) = + , x→+ x→− limfx ( )= − , limfx ( )= + , limfx ( )= + , limfx ( )= + , x→− xx→ − + o xx→ o xx→ o phỏt biểu tương tự.
18. • NHẬN XẫT limf () x= + lim( − f ()) x = − xx→+ →+
19. 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim x k = + với k nguyờn dương. x→+ b) lim x k = − nếu k là số lẻ. x→− c) lim x k = + nếu k là số chẵn. x→−
20. 3. Một vài qui tắc về giới hạn vụ cực a) Qui tắc tỡm giới hạn của tớch f(x).g(x) limfx ( ) limgx ( ) limf ( x ). g ( x ) xx→ o xx→ o xx→ o + + L 0 − − − L 0
21. fx() b) Qui tắc tỡm giới hạn của thương gx() fx() limfx ( ) limgx ( ) Dấu của lim xx→ xx→ o o g(x) xx→ o gx() L Tựy ý 0 + + L 0 − 0 - + L 0 - ( Dấu của g(x) xột trờn mụ̣t khoảng K nào đú đang tớnh giới hạn, với xx 0 )
22. CHÚ í + Cỏc qui tắc trờn vẫn đỳng cho cỏc trường hợp xx→ o , − xx→ o , x → + và x → − .
23. 4 Vớ dụ 1: Tớnh lim (x− x2 + x − 1) x→+ Giải 4 1 1 1 Ta cú: 24 lim (x− x + x − 1) = lim x 1 −2 + 3 − 4 xx→+ →+ x x x 4 1 1 1 =limx . lim 1 −2 + 3 − 4 xx→+ →+ x x x Vỡ: lim x 4 = + x→+ 1 1 1 lim 1−2 + 3 − 4 = 1 0 x→+ x x x 4 1 1 1 Suy ra: 24 lim (x− x + x − 1) = lim x 1 −2 + 3 − 4 = + xx→+ →+ x x x
24. 35x − Vớ dụ 2: Tớnh lim x→2 (x − 2)2 Giải Ta cú: lim(x −= 2)2 0 x→2 lim(3x − 5) = 1 0 x→2 (x − 2)2 0 35x − Vọ̃y: lim= + . x→2 (x − 2)2
25. 23x − Vớ dụ 3: Tớnh lim x→1− x −1 Giải Ta cú: lim(x −= 1) 0 x→1− lim(2x − 3) = − 1 0 x→1− Ta lại cú: xx 1 − 1 0. 23x − Do đú: lim= + . x→1− x −1
26. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1: Tớnh lim (4xx52−+ 3 1) x→− A. + B. − Đỏp ỏn: B C. 0 D. 4
27. Bài 2: Tớnh lim 4xx42−+ 3 1 x→− A. + B. 0 Đỏp ỏn: A C. − D. 1
28. 27x − Bài 3: Tớnh lim x→1− x −1 A. 2 C. 0 B. − D. + Đỏp ỏn: D
29. Bài 4: Tớnh 1− x lim x→4 (x − 4)2 A. + B. − Đỏp ỏn: B C. 5 D. 0
30. DẶN Dề 1. Nắm định nghĩa 4 fx() 2. Nắm qui tắc tỡm giới hạn f(x).g(x); gx() 3. Làm cỏc bài tọ̃p 3e, 4,5 và 6 (SGK, tr132,133)