Bài giảng Đại số lớp 11 - Chương 5, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Chương 5, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. I. II. ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TẠI MỘT TRÊN MỘT ĐIỂM KHOẢNG
2. 1. Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm I. Đạo hàm tại một điểm Quãng đường chuyển động là một hs theo thời gian: s = s(t) 1. Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm a) Bài toán tìm vận tốc tức thời Trong quãng thời gian t = |t – t0|, ôtô đi được quãng đường: s = s(t) – s(t0). s()() t− s t Vận tốc trung bình: s 0 vtb == t t− t0 Khi đó, giới hạn hữu hạn (nếu có) s()() t− s t lim 0 tt→ 0 tt− 0 đgl vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.
3. I. Đạo hàm 1. Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm tại một điểm Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số theo thời 1. Các bài toán dẫn tới khái gian t: Q = Q(t). niệm đạo hàm b) Bài toán tìm cường độ tức thời Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian ∆t = t – t0 là: Q Q()() t− Q t0 Itb == t t− t0 Khi đó, giới hạn hữu hạn (nếu có) Q()() t− Q t lim 0 tt→ 0 tt− 0 đgl cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0.
4. Vận tốc tức thời Cường độ dòng điện tức thời s()() t− s t0 Q()() t− Q t vt( )= lim 0 0 It(0 )= lim tt→ 0 tt→ tt− 0 0 tt− 0 f()() x− f x lim 0 xx→ 0 xx− 0 Trong ®ã y = f(x) lµ hµm sè nµo ®ã . NÕu giíi h¹n nµy tån t¹i vµ hữu hạn thì to¸n häc gäi ®ã lµ ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x).
5. I. Đạo hàm 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm tại một điểm 1. Các bài toán Cho y = f(x) xác định trên (a;b) và x0 (a;b). Nếu tồn dẫn tới khái tại giới hạn (hữu hạn) f()() x− f x0 niệm đạo hàm lim xx→ xx− 2. Định nghĩa 0 0 đạo hàm tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của y = f(x) tại x0 một điểm và kí hiệu f (x0) f()() x− f x y y'( x )= f '( x ) = lim0 = lim 00x→ x x →0 0 x− x0 x Chú ý: Đạo hàm của ∆x = x − x : số gia của đối số 0 hàm số f(x) = 2x tại x0 tại x0 = 1 là: ∆y = f(x) − f(x0) : số gia của 2 −2 lim = 2 hàm số →1 −1
6. I. Đạo hàm 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa tại một điểm B1: Giả sử x = x – x . 1. Các bài toán 0 dẫn tới khái Tính y = f(x0 + x) – f(x0). y niệm đạo hàm B2: Lập tỉ số . 2. Định nghĩa x đạo hàm tại y một điểm B3: Tìm lim . x→0 x 2 VD: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x +1 tại x0 = 3 B1: ∆ = 3 + ∆ − 3 = 3 + ∆ 2 + 1 − 10 = ∆ 2 + 6∆ . ∆ ∆ 2+6∆ B2: = = ∆ + 6 ∆ ∆ ∆ B3: lim = lim ∆ + 6 = 6 ∆ →0 ∆ ∆ →0 Vậy ′ 3 = 6
7. I. Đạo hàm 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tại một điểm tục của hàm số 1. Các bài toán dẫn tới khái Định lí 1: niệm đạo hàm Nếu hàm số = ( ) có đạo hàm tại 0 thì nó 2. Định nghĩa liên tục tại điểm đó. đạo hàm tại Chú ý: một điểm a) Nếu hàm số = ( ) gián đoạn tại 0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. b) Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó 4. Quan hệ giữa Hàm số f(x) = x2+1 sự tồn tại của đạo hàm và có đạo hàm tại x0 = tính liên tục 3 nên f(x) liên tục tại của hàm số x0 = 3
8. 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm I. Đạo hàm tại một điểm 5. Ý nghĩa hình Cho hàm số ( ) có học của đạo đồ thị (C), một điểm hàm 0 ( 0; ( 0)) cố a) Tiếp tuyến định thuộc (C). của đường cong Với mỗi điểm phẳng ( ; ( )) ≠ 0 di động trên (C) Đường thẳng 0 là cát tuyến của (C) Khi → 0 thì di chuyển trên (C) tới 0 và ngược lại. Giả sử 0 có vị trí giới hạn, k/h 0 đgl tiếp tuyến của (C) tại 0; 0 là tiếp điểm.
9. 5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm I. Đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y = ( ) xác định trên khoảng ( ; ) 5. Ý nghĩa hình và có đạo hàm tại ∈ ( ; ); có đồ thị (C) học của đạo 0 hàm Định lí 2: b) Ý nghĩa hình Đạo hàm của hàm số y = ( ) tại điểm 0 là hệ số góc học của đạo của tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ; ( )) hàm 0 0 0 0 ′ c) Phương trình = ( 0) tiếp tuyến Định lí 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số = ( ) tại điểm 0 ( 0; ( 0)) là: ′ − 0 = ( 0)( − 0) trong đó 0 = ( 0)
10. 6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm I. Đạo hàm tại một điểm ′ 6. Ý nghĩa vật Vận tốc tức thời: 푣 푡0 = 푠 (푡0) lí của đạo hàm ′ a)Vận tốc tức Cường độ tức thời: (푡0) = 푄 (푡0) thời b) Cường độ Ví dụ: Một chất điểm chuyển động có phương tức thời trình 푠 = 푡2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 푡0 = 2 giây là: A. 2 m/s B. 5m/s C. 3m/s D. 4m/s
11. I. Đạo hàm ĐỊNH NGHĨA tại một điểm Cho hàm số y = ( ) được gọi là có đạo hàm trên II. Đạo hàm khoảng ( ; ) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên một trên khoảng thị (C) khoảng Hàm số = 2 có đạo hàm ′ = 2 trên khoảng (−∞; +∞) 1 Hàm số = có 1 đạo hàm ′ = − 2 trên khoảng −∞; 0 và (0; +∞)
12. Bài 3a (SGK 156): Tính (bằng định nghĩa) đạo 2 hàm của số y=x + x tại điểm x0 =1 . LG: Giả sử x là số gia của đối số x0=1, tính y = f( x+1) – f(1) 2 Vy=( D x +1) + ( D x + 1) - (12 + 1) =( Dxx)2 +3 D = Dxx( D + 3) Dy =Dx + 3 Dx Dy lim =lim( Dx + 3)= 3 Dx® 0 Dx Dx® 0 Þ f '( 1)= 3
13. Củng cố 1. Định nghĩa và công thức tính đạo hàm theo ĐN 2. Các ý nghĩa của đạo hàm 3. Công thức tiếp tuyến 4. Định nghĩa đạo hàm trên một khoảng 5. Làm bài tập 5, 6 SGK/T156