Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 56, Bài 3: Hàm số liên tục (Tiết 2) - Lê Thi Vân Anh

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 56, Bài 3: Hàm số liên tục (Tiết 2) - Lê Thi Vân Anh

1. TRƯỜNG THPT PLEIKU GV: Lờ Thị Võn Anh
2. Tuần 29- Tiết 56 Bài:HÀM SỐ LIấN TỤC ( Tiết 2) Giỏo viờn : Lờ Thị Võn Anh Trường THPT Pleiku-Gia Lai
3. Kiểm tra bài cũ side tổng hợp Cho các hàm số: 2x nếu x − 1 x+1 nếu x -1 g(x)= (C ) h(x) = (C ) 2 2 2 3 f(x) = -x (C1 ) -3 nếu x=-1 x nếu x>-1 y y y (C3) -1 0 -1 x o x 1 -1 -1 M -2 o x  -3 (C2) (C1) a.T ìm lim f(x); lim g(x); lim h(x) (nếu có ).Tính f(-1); g(-1); h(-1). x→− 1 x →− 1 x →− 1 b. So sánh giá trị tại điểm x = -1 và giới hạn khi x → -1 ( nếu có ) của từng hàm số. c. Nêu nhận xét về đồ thị của của mỗi hàm số khi đi qua điểm x = -1.
4. Tiết 58: Hàm số liên tục Bài học ngày hôm nay chúng ta nghiên cứu ba phần: Phần 1: Hàm số liên tục tại một điểm. Phần 2: Hàm số liên tục trên một khoảng. Phần 3: Một số định lý cơ bản.
5. Tiết 58: Hàm số liên tục I. Hàm số liên tục tại một điểm. Định nghĩa1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K. Hàm số y= f(x) được gọi là liên tục tại x nếu lim f(x) = f(x0 ). o xx→ 0 ❖ Hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x0 đợc gọi là gián đoạn tại điểm đó. x Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = tại điểm x =4. x-2 0 Lời giải: + TXĐ của hàm số D = R\ 2 Suy ra x0 = 4 D. x + Limf(x) = Lim = 2.  xx→→44x-2  Lim f(x) = f(4) +Ta có f(4)=2.  x→4 Vậy: Hàm số f(x) liờn tục tại x0 = 4
6. Tiết 58: Hàm số liên tục I. Hàm số liên tục tại một điểm. II. Hàm số liên tục trên một khoảng. Định nghĩa 2: ❖ f(x) lieõn tuùc trong (a;b) f(x) lieõn tuùc taùi moùi x0 (a;b). f(x) liên tục trên (ab , ) ❖ f(x) lieõn tuùc treõn [a;b] =limf ( x ) f ( a ) + xa→ limf ( x )= f ( b ) xb→ − y y Nhận xét: Đồ thị hàm số y= f(x) liên tục trên một a b a 0 b x khoảng là 0 một đờng x liền trên khoảng đó. H.1 (Hình H.1) H.2
7. Tiết 58: Hàm số liên tục I. Hàm số liên tục tại một điểm. II. Hàm số liên tục trên một khoảng. III. Một số định lý cơ bản. Định lý1: a) Hàm số đa thức liờn tục trờn toàn bộ tập xác định. b) Hàm số phõn thức hữu tỉ, cỏc hàm số lượng giỏc liờn tục trờn từng khoảng của tập xỏc định của chỳng. Định lý 2: Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liờn tục tại x0 thỡ: a. Cỏc hàm số y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tục tại x 0. f(x) b. Hàm số y= liên tục tại x nếu g(x ) 0. g(x) 00
8. Tiết 58: Hàm số liên tục III. Một số định lý cơ bản Ví dụ 2: Xét tính liên tục Định lý1: của các hàm số sau trên TXĐ của chúng. a) Hàm số đa thức liờn tục trờn toàn x2 -2x bộ tập xác định. nếu x 2 a, f(x) = x - 2 b) Hàm số phõn thức hữu tỉ, cỏc hàm -3 nếu x = 2 số lượng giỏc liờn tục trờn từng khoảng của tập xỏc định của chỳng. x2 -x-6 Định lý2: khi x>-2 b, g(x)= x+2 Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liờn tục 2x-1 khi x -2 tại x0 thỡ: a. Cỏc hàm số y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tục tại x 0. 2x+6 - x+8 nếu x 2 c, h(x)= x - 2 f(x) b. Hàm số y= liên tục tại x00 nếu g(x ) 0. a nếu x = 2 g(x)
9. Tiết 58: Hàm số liên tục Hãy nhận xét về dấu của tích f(a).f(b) trong các trờng hợp sau? y y y 0 a b f(b) f(b) x f(a) f(a) 0 a b x f(a) 0 a b x f(b) H.1 H.3 H.5 y y y f(b) 0 a b f(b) x f(a) a x f(a) 0 b f(a) 0 a b x f(b) H.2 H.4 H.6 f(a).f(b) > 0. f(a).f(b) > 0. f(a).f(b) < 0.
10. Tiết 58: Hàm số liên tục end III. Một số định lý cơ bản Định lý3: Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thỡ tồn tại ớt nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c) = 0 . y f(b) Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thỡ phơng trình f(x) = 0 có ớt nhất một nghiệm nằm trong (a;b). a x 0 b Ví dụ 3: f(a) a.CMR phơng trình 5 b.CMR phơng trình x + x – 1 = 0 c.CMR phơng trình x4 + x2 + x – 2 = 0 có nghiệm thuộc x3 + mx – 1 = 0 (0,1). có hai nghiệm thuộc (-3,2). Luôn có một nghiệm dơng với mọi m.
11. Tiết 58: Hàm số liên tục a.T ìm lim f(x) (nếu có )?Tính f(-1)? Cho hàm số: x1→− b. So sánh giá trị tại điểm x = -1 và giới 2 f(x) = - x (C1) hạn khi x → -1 ( nếu có ) của hàm số. c. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số khi đi y qua điểm x = -1. -1 0 Trả lời x -1 a. lim f(x)= -1 và f(-1) = -1. x1→− b. lim f(x)= f(-1) = -1. (C1) x1→− c. Đồ thị của hàm số là một nét liền khi đi qua điểm x = -1. NEXT side 14 Side 2
12. Tiết 58: Hàm số liên tục Cho hàm số: a.T ìm lim g(x) (nếu có )?Tính g(-1)? x1→− 2x nếu x − 1 g(x)= (C2 ) b. So sánh giá trị tại điểm x = -1 và giới -3 nếu x=-1 hạn khi x → -1 ( nếu có ) của hàm số. y c. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số khi đi qua điểm x = -1. -1 Trả lời o x a. lim g(x)= -2 và g(-1) = -3. M -2 x1→−  -3 (C2) b. lim g(x) g(-1). x1→− c. Đồ thị của hàm số bị đứt khi đi qua điểm x = -1. NEXT side 14 Side 2
13. Tiết 58: Hàm số liên tục Cho hàm số: a.T ìm lim h(x) (nếu có )?Tính h(-1)? x+1 nếu x -1 x1→− h(x) = (C3 ) x2 nếu x>-1 b. So sánh giá trị tại điểm x = -1 và giới hạn khi x → -1 ( nếu có ) của hàm số. y c. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số khi đi (C3) qua điểm x = -1. 1 Trả lời -1 a. lim h(x) = 1; lim h(x) = 0. x→− 1+− x →− 1 o x Suy ra lim h(x) không tồn tại. Và h(-1) = 0. x1→− b. Không thể so sánh đợc. c. Đồ thị của hàm số bị đứt khi đi qua điểm x = -1. NEXT side 14 Side 2
14. Tổng hợp kết quả side 2 2x nếu x − 1 x+1 nếu x -1 2 g(x)=Hàm số liờn tục tại (C 2 ) h(x) = (C3 ) f(x) = - x (C -3 nếu x=-1 x2 nếu x>-1 1) x = -1 y y y (C3) -1 0 x -1 1 o x -1 -1 o x M -2 Hàm- 3số liờn tục tại x = -1 (C1) (C2) Limf(x)= f(− 1 ). x1→− a. lim h(x) = 1; lim h(x) = 0. a. lim f(x)= -1 và f(-1) = -1. a. lim g(x)= -2 và g(-1) = -3. +- x1→− x→ -1 x→→ -1 x -1 lim h(x) không . Và h(-1) = 0. b. lim f(x) = f(-1) = -1. b. lim g(x) g(-1). x1→− x1→− x1→− b. Không thể so sánh đợc. c. Đồ thị của hàm số là c. Đồ thị của hàm số một nét liền khi đi qua bị đứt khi đi qua điểm c. Đồ thị của hàm số bị đứt điểm x = -1. x = -1. khi đi qua điểm x = -1.
15. Tiết 58: Hàm số liên tục side 7 x2 -2x Ví dụ 2: Xét tính liên tục nếu x 2 của các hàm số sau trên a, f(x) = x-2 TXĐ của chúng. -3 nếu x = 2 Lời giải ❖ Tập xỏc định: D = R. x2 -2x Nếu x 2 thì f(x) = (hàm phân thức h ữ u tỷ ). x-2 - Hàm số liên tục trên hai khoảng (- , 2) và (2, + ). ❖ Xột tớnh liờn tục của hàm số tại x = 2. + Ta cú f(2) = -3. x2 −−22x x(x ) + Lim f(x)=Lim =Lim =Lim x = 2. x→22 x →x-2 x → 2 x-2 x → 2 - Suy ra : Limf(x) f(2). x→2 - Hàm số khụng liờn tục tại x = 2 . Kết luận: Hàm số liờn tục trờn (- ; 2) ; (2;+ ) và giỏn đoạn tại x = 2 .
16. Tiết 58: Hàm số liên tục side 7 Ví dụ 2: Xét tính liên tục x2 -x-6 của các hàm số sau trên khi x>-2 b, g(x)= x+2 TXĐ của chúng. 2x-1 khi x -2 Lời giải ❖ Tập xỏc định: D = R. x2 - x - 6 Nếu x > -2 thì g(x) = (hàm phân thức h ữ u tỷ ). x+2 - Hàm số liên tục trên khoảng (-2, + ). Nếu x < -2 thì g(x) = 2x-1 (hàm đa thức). - Hàm số liên tục trên khoảng (- , -2). ❖ Xột tớnh liờn tục của hàm số tại x = -2. + Lim g(x)=Lim(2x-1) = -5 và g(-2) = -5. xx→−22−− →− x2 - x - 6 (x-3)(x+2) + Lim g(x)= Lim = Lim = Lim (x-3)=-5. x→−22++ x →−x+2 x →− 2++ x+2 x →− 2 - Suy ra : Limg(x) = g(-2).Hàm số liờn tục tại x = -2 . x→−2 Kết luận: Hàm số liờn tục trờn R.
17. Tiết 58: Hàm số liên tục side 7 Ví dụ 2: Xét tính liên tục 2x+6 - x+8 của các hàm số sau trên nếu x 2 TXĐ của chúng. c, h(x)= x-2 Hớng dẫn a nếu x = 2 ❖ Tập xỏc định: D = [-3, + ). Nếu x 2. + H àm số u(x) = 2x+6 - x+8 liên tục trên nửa khoảng [-3, + ). v(x) = x-2 liên tục trên nửa khoảng [-3, 2) và khoảng (2, + ). Suy ra: Hàm số h(x) liên tục trên nửa khoảng [-3, 2) và khoảng (2, + ). ❖ Xột tớnh liờn tục của hàm số tại x = 2. + Ta cú h(2) = a. 2x+6 - x+8 x− 2 1 10 + Lim h(x)=Lim =Lim =Lim = . x→22 x →x-2 x → 2(x-2)( 2x+6 + x+8) x → 2 2x+6 + x+8 20 10 N ếu a = hàm số liên tục trên nửa khoảng [-3, + ). 20 10 N ếu a hàm số gián đoạn tại điểm x = 2. 20
18. Tiết 58: Hàm số liên tục Ví dụ 3: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn a. CMR phơng trình [a;b] và f(a).f(b) < 0, thỡ phơng trình f(x) = 0 x5 + x – 1 = 0 có ớt nhất một nghiệm nằm trong (a;b). có nghiệm thuộc (0,1). Lời giải ❖ Xét hàm số f(x) = x5 + x – 1. TXĐ: D = R. ❖ Hàm số liên tục trên R. Suy ra hàm số liên tục trên đoạn [0,1]. f(0) = -1 + Ta có f(0).f(1)= -1 < 0. f(1) = 1 ❖ Suy ra: Phơng trình có nghiệm thuộc (0,1). end side 9
19. Tiết 58: Hàm số liên tục side 9 Ví dụ 3: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn b. CMR phơng trình [a;b] và f(a).f(b) < 0, thỡ phơng trình f(x) = 0 x4 + x2 + x – 2 = 0 có ớt nhất một nghiệm nằm trong (a;b). có hai nghiệm thuộc (-3,2). Lời giải ❖ Xét hàm số g(x) = x4 + x2 + x – 2 . TXĐ: D = R. ❖ Hàm số liên tục trên R. Suy ra hàm số liên tục trên đoạn [-3,0]; [0,2]. g(-3) = 85 . Trên [-3,0]. Ta có g(-3).g(0)= -170 < 0. g(0) = -2 - Suy ra: Phơng trình có nghiệm thuộc (-3,0). g(0) = -2 . Trên [0,2]. Ta có g(0).g(2)= -40 < 0. g(2) = 20 - Suy ra: Phơng trình có nghiệm thuộc (0,2). ❖ Vậy phơng trình có hai nghiệm thuộc khoảng (-3,2). end
20. Tiết 58: Hàm số liên tục Ví dụ 3: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn c. CMR phơng trình [a;b] và f(a).f(b) 0: Ta xét hàm số h(x) = x3 + mx – 1 liên tục trên đoạn [0,1]. h(0) = -1 + Ta có → h(0).h(1)= - m 0 ) . h(1) = m + Suy ra: Phơng trình có nghiệm thuộc (0,1). ❖ Với m 1. 2 end side 9
21. Củng cố-BTVN : The end - Nắm chắc định nghĩa hàm số tại một điểm vận dụng định nghĩa vào giải bài toán xét tính liên tục tại một điểm. Kiến - Nắm định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn. Tính chất đồ thị của hàm số liên tục. thức: - Hiểu nội dung các định lý, biết vận dụng vào giải các bài toán xét tính liên tục trên một khoảng, đoạn và chứng minh sự có nghiệm của phơng trình. Kĩ năng: Giải thành thạo các dạng toán. Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập. Dạng 3: CM sự có nghiệm của phơng trình.
22. Bài tập Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số. 3x2 -4x+1 1- 2x-3 nếu x 1 nếu x 2 a. f(x)= x-1 b. g(x)= 2-x 5 nếu x = 1 1 nếu x = 2 tại điểm x = 1. tại điểm x = 2. Bài 2: Tìm a để hàm số liên tục trên R. 2x-2 3 3x +− 2 2 nếu x 1 nếu x > 2 a. f(x)= x3 -1 b. g(x)= x-2 ax - 1 nếu x = 1 2a - 3x nếu x 2 Bài 3: CMR phơng trình sinx – x + 1 = 0 luôn có nghiệm. Bài 4: CMR phơng trình x5 – 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng năm nghiệm phân biệt. Bài 5: Tìm m để phơng trình x3 – 3x2 + 2(2m -2)x + m - 3 = 0 có đúng ba nghiệm thỏa mãn x1 < -1 < x2 < x3.
23. các thầy cô giáo mạnh khoẻ !