Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Tiết 54+55, Bài 2: Giới hạn của hàm số

Nội dung text: Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Tiết 54+55, Bài 2: Giới hạn của hàm số

1. I. GIớI HạN HỮU HạN CủA HàM Số TạI MộT ĐIểM 1. Định nghĩa 2. Định lí về giới hạn hữu hạn 3. Các ví dụ
2. I. GIớI HạN HỮU HạN CủA HàM Số TạI MộT ĐIểM 1. Định nghĩa 22xx2 − Xét hàm số: fx ( ) = x −1 x 0,9603 0,9702 0,9801 0,99 0,9999 1,0098 1,0197 1,0296 1,0395 f(x) 1,9206 1,9404 1,9602 1,98 1,9998 2,0196 2,0394 2,0592 2,079
3. I. GIớI HạN HỮU HạN CủA HàM Số TạI MộT ĐIểM 1. Định nghĩa ĐịNH NGHĩA 1 Cho khoảng K chứa điểm xx0 và hàm số yf= ( ) xác định trên KK hoặc trên \ x0. Ta nói hàm số yf= (x ) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( xnn) bất kì, x K \ x0 và xnn→ x0 , ta có f( x ) → L . Kí hiệu: limf ( x )= L hay f ( xn ) → L khi x → x0. xx→ 0 x 2 − 9 Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x )== . Chứng minh rằng lim f ( x )6 . x − 3 x→3
4. x 2 − 9 Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x )== . Chứng minh rằng lim f ( x )6 . x − 3 x→3 +) Lấy dãy (xn ) bất kì, thỏa mãn x n 33 và x n → khi n → + 2 xn − 9 ( xxnn−+33)( ) +) Ta có: f ( xnn )= = = x + 3 xxnn−−33 limf ( xnn ) = lim( x +36 ) = +) Kết luận: limfx ( )= 6 . x→3
5. 2. Định lí về giới hạn hữu hạn ĐịNH Lí 1 a) Giả sử limf ( x )== L và lim g ( x ) M . Khi đó x→→ x00 x x • lim f ( x ) + g ( x ) = L + M ; xx→ 0 • lim f ( x ) − g ( x ) = L − M ; xx→ 0 • lim f ( x ). g ( x ) = L . M ; xx→ 0 f() x L • lim = (nếu M 0 ). xx→ 0 g() x M b) Nếu f ( x ) =0 và lim f ( x ) L , thì L =0 và lim f ( x ) L . xx→ 0 xx→ 0 xx2 +−8 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x )= . Tìm lim f ( x ) 2 x x→3 xx2 ++54 Ví dụ 3. Tính lim x→−1 x +1
6. xx2 +−8 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x )= . Tìm lim f ( x ) 2 x x→3 Bài giải 2 xx2 +−8 lim(xx+−8 ) limfx ( )== lim x→3 xx→→3322xxlim x→3 limx2 + lim x − lim88 lim x .lim x + lim x − lim ==x→3 x → 3 x → 3 x → 3 x → 3 x → 3 x → 3 lim.lim22xx lim.lim x→3 x → 3 x → 3 x → 3 3. 3− 3 − 8 − 1 == 2. 3 3
7. xx2 ++54 Ví dụ 3. Tính lim x→−1 x +1 Bài giải Ta có: xx2 ++54 (xx++14 )( ) lim = lim = lim(x +=4 ) 3 x→−1 x +1 x→−1 x +1 x→−1
8. 3. Giới hạn một bên ĐịNH NGHĩA 2. Cho hàm số y= f ( x ) xác định trên ( x0 ; b ). Số L được gọi là giới hạn bê n phải của hàm số y= f ( x ) khi xn→→ x00 nếu với dãy số ( x n) bất kì, x0 xn b và x n x , ta có f ( x )→ L . Kí hiệu: lim f() x = L n + xx→ 0 Cho hàm số y= f ( x ) xác định trên ( a ; x0 ). Số L được gọi là giới hạn bê n trái của hàm số y= f ( x ) khi xn→→ x00 nếu với dãy số ( x n) bất kì, ax n x0 và x n x , ta có f ( x )→ LL . Kí hiệu: lim f() x = n − x→x0
9. 3. Giới hạn một bên ĐịNH Lí 2. limf ( x )= L khi và chỉ khi lim f ( x ) = lim f ( x ) = L . _ + xx→ 0 x→→ x00 x x 4xx− 3 nếu 0 Ví dụ 4. Cho hàm số fx ( ) = 2 2xx− 1 nếu 0 Tìm limf ( x ), lim f ( x ) và lim f ( x ) (nếu có) x→→ x00−+ x x→0
10. Hớng dẫn học bài ở nhà Bài 3 (SGK / 132). Tính các giới hạn: x 2 −1 4 − x 2 x +−33 a) lim b) lim c) lim x→−3 x +1 x→−2 x + 2 x→6 x − 6
11. 1 fx()= x − 2 y O 2 x
12. a) Cho hàm số y= f() x xỏc định trờn khoảng ( a ; + ) . Ta núi hàm số y = f () x cú giới hạn là số L khi x → + nếu với dóy số () x bất kỡ, xa và , ta cú f() x→ L n n xn → + n Kớ hiệu: lim f ( x ) = L hay f () x → L khi x → + x→+ b) Cho hàm số y= f() x xỏc định trờn khoảng ( − ; a ) . Ta núi hàm số y= f() x cú giới hạn là số L khi x → − nếu với dóy số ()xn bất kỡ,xa n và x n → − , ta cú f () xn → L Kớ hiệu: lim f ( x ) = L hay f () x → L khi x → − x→−
13. 43x + fx()= x − 2 limfx ( ) limfx ( ) x→− x→+ Giải. Hàm sụ́ đó cho xỏc định trờn (− ;2) và trờn (2; + ) •Giả sử () x n là mụ̣t dóy sụ́ bất kỳ thỏa món xn 2và x → − 3 4 + 43xx+ Ta cú: lim()limfx =nn = lim = 4 n x −1 2 n 1− xn Vọ̃y: 43x + limfx ( )== lim 4 xx→− →− x − 2 • Tương tự ta cú: 43x + limfx ( )== lim 4 xx→+ →+ x − 2
14. a) Với c, k là cỏc hằng số và k nguyờn dương, ta luụn cú: c lim cc= ; lim cc = ; c ; lim= 0 limk = 0 x→+ x→− x→+ xk x→− x b) Định lý 1 vờ̀ giới hạn hữu hạn của hàm số khi xx→ 0 võ̃n cũn đỳng khi x → + hoặc x → − Vớ dụ 2: Tỡm −2xx2 − 3 + 1 lim x→− 31x2 + Giải : 31 2 −2 − + Ta cú: −2xx − 3 + 12 − 2 lim== lim xx xx→− 2 →− 1 3x + 13+ 3 x2
15. Nhúm 1: Tớnh : −−x 1 a) lim x→− 25− x HOẠT ĐỘNG NHểM Nhúm 2: Tớnh : −+xx322 b) lim x→+ xx43−+31 1 −−1 −−x 11 a) lim== lim x xx→− →− 2 2− 5x − 5 5 x 12 32 −+ −+xx2 2 b) lim== limxx 0 xx→+ 43 →+ 31 xx−+31 1−+ xx4
16. Qua bài học cỏc em cõ̀n nắm được. 1. Định nghĩa 3. fx() 2. Quy tắc tỡm lim x→ gx() 1. Làm bài tọ̃p 3 SGK trang 132. 2. Chuõ̉n bị bài mới.
17. GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
18. 1. Định nghĩa: - Giới hạn hữu hạn của hàm số tại mụ̣t điểm - Giới hạn mụ̣t bờn 2. Định lớ vờ̀ giới hạn hữu hạn: a) Giả sử lim f ( x ) = L , lim g ( x ) = M .Khi đú: xx→ o xx→ o lim f ( x )+ g ( x ) = L + M xx→ o lim f ( x )− g ( x ) = L − M xx→ o lim f ( x ). g ( x ) = L . M xx→ o f() x L lim = xx→ o g() x M b) Nếu fx ( ) 0 và lim f ( x ) = L , thỡ xx→ o L 0 và limf ( x )= L . xx→ o
19. 1. Định nghĩa: - Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vụ cực 2. Chỳ ý: -Định lớ vờ̀ giới hạn hữu hạn của hàm số khixx → o võ̃n cũn đỳng khi x → + hoặc x → +
20. 1. Giới hạn vụ cực • Định nghĩa: (Giới hạn − của hàm số y = f () x khi x dần tới dương vụ cực) Cho hàm số y = f () x xỏc định trờn khoảng (a ; + ). Ta núi hàm số cú giới hạn là − khi x → + nếu với dóy số bất kỡ, xa n và x n → + , ta cú fx()n → − Kớ hiệu: lim fx ( ) = − hay fx () → − khi x → + x→+ • Cỏc định nghĩa: lim fx ( ) = + , lim fx ( ) = + , x→+ x→− limfx ( )= − , limfx ( )= + , limfx ( )= + , limfx ( )= + , − xx→ + x→− xx→ o xx→ o o phỏt biểu tương tự.
21. • NHẬN XẫT limf () x= + lim( − f ()) x = − xx→+ →+
22. 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim x k = + với k nguyờn dương. x→+ b) lim x k = − nếu k là số lẻ. x→− c) lim x k = + nếu k là số chẵn. x→−
23. 3. Một vài qui tắc về giới hạn vụ cực a) Qui tắc tỡm giới hạn của tớchf (x).g(x) limfx ( ) limgx ( ) limf ( x ). g ( x ) xx→ o xx→ o xx→ o + + L 0 − − − L 0
24. fx() b) Qui tắc tỡm giới hạn của thương gx() fx() limfx ( ) limgx ( ) Dấu của lim xx→ xx→ o o g(x) xx→ o gx() L Tựy ý 0 + + L 0 − 0 - + L 0 - ( Dấu của g(x) xột trờn mụ̣t khoảng K nào đú đang tớnh giới hạn, với xx 0 )
25. CHÚ í + Cỏc qui tắc trờn võ̃n đỳng cho cỏc trường hợp xx → o , − xx→ o , x → + và x → − .
26. 4 Vớ dụ 1: Tớnh lim (x− x2 + x − 1) x→+ Giải 4 1 1 1 Ta cú: 24 x− x + x −11 = x −2 + 3 − 4 x x x Vỡ: lim x 4 = + x→+ 1 1 1 lim 1−2 + 3 − 4 = 1 0 x→+ x x x 4 1 1 1 Nờn ta cú: 24 lim (x− x + x − 1) = lim x 1 −2 + 3 − 4 = + xx→+ →+ x x x
27. 35x − Vớ dụ 2: Tớnh lim x→2 (x − 2)2 Giải Ta cú: lim(x −= 2)2 0 x→2 lim(3x − 5) = 1 0 x→2 (x − 2)2 0 Vọ̃y: 35x − lim= + . x→2 (x − 2)2
28. 23x − Vớ dụ 3: Tớnh lim x→1− x −1 Giải Ta cú: lim(x −= 1) 0 x→1− lim(2x − 3) = − 1 0 x→1− Ta lại cú: xx 1 − 1 0. Do đú: 23x − lim= + . x→1− x −1
29. ❖ Cỏch tớnh giới hạn hàm số bằng mỏy tớnh bỏ tỳi (Casio fx-570, Vinacal) Nhọ̃p Để tớnh limfx ( ) tiến hành như sau: Nhọ̃p xx→ 0 fX() Xx= 10−8 − Casio fx-570: 0 B1: Nhọ̃p vào mỏy tớnh biểu thức fX() B2: Bấm phớm CALC. Mỏy tớnh hỏi X = ? , ta nhọ̃p vào giỏ trị xấp xỉ bằng x0 như −8 −−59 Xx= 0 10 (hoặc 10 ,10 , ). Sau đú nhấn phớm “ = ”.
30. − Vinacal: B1: Bấm tổ hợp phớm SHIFT_6_5, màn hỡnh hiện lim( ) |x→ B2: Nhọ̃p fx() và x0 vào mỏy tớnh. Sau đú nhấn phớm “ = ”.
31. Nhọ̃p −8 Xx= 0 10
32. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1: Tớnh lim (4xx52−+ 3 1) x→− A. + B. − Đỏp ỏn: B C. 0 D. 4
33. Bài 2: Tớnh lim 4xx42−+ 3 1 x→− A. + B. 0 Đỏp ỏn: A C. − D. 1
34. 27x − Bài 3: Tớnh lim x→1− x −1 A. 2 C. 0 B. − D. + Đỏp ỏn: D
35. Bài 4: Tớnh 1− x lim x→4 (x − 4)2 A. + B. − Đỏp ỏn: B C. 5 D. 0