Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 63, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Tiết 63, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Kiểm tra bài cũ: Tính các giới hạn sau: xx2 −+56 a) lim ĐS: 1 x→3 x −3 x +1 b) lim ĐS: x→5 x − 5
2. Tiết: 63 CHƯƠNG V ĐẠO HÀM §1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM fx'( )
3. I. Đạo hàm tại một điểm. 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường S (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s(t) = t2. - Hãy tính vận tốc trung bình của đoàn tàu trong khoảng thời gian [t; t0] với t0 = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,99. Nhận xét những kết quả thu được khi t càng gần t0 =3
4. Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian t;t0 với: t0 = 3 2 s()() t−− s t00 t t t=2; vTB = = = t + t0 = 5 t−− t00 t t tv==2,5;TB 5,5 tv==2,9;TB 5,9 tv==2,99;TB 5,99 Khi t càng gần t0 thì vận tốc trung bình của đoàn tàu trong khoảng thời gian t;t0 càng gần 6 (tức là nếu t rất gần t0 thì vTB rất gần v(t0)
5. a) Bài toán tìm vận tốc tức thời Để biết một bạn lúc gần đến trường bạn ấy đi nhanh chậm đến mức độ nào, ta có các thông tin sau: A.Vận tốc trung bình trong 30 phút cuối của bạn ấy là 6 m/s. B. Vận tốc trung bình trong 15 phút cuối của bạn ấy là 7 m/s. C. Vận tốc trung bình trong 5 phút cuối của bạn ấy là 8 m/s.
6. a) Bài toán tìm vận tốc tức NhËn xÐt: Nếu t càng gần t 0 thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0. V× vËy, ngêi ta coi giíi h¹n (nÕu cã) cña tØ sè s(t )− s ( t ) 0 khi t dÇn ®Õn t0 lµ vËn tèc tøc thêi tt− 0 t¹i thêi ®iÓm t0 cña chuyển động, ký hiÖu lµ v(t0) VËy: s(t )− s ( t0 ) vt()0 = lim tt→ 0 tt− 0
7. Vận tốc tức thời Cường độ dòng Tốc độ phản ứng điện tức thời hóa học tức thời s()() t− s t 0 Q()() t− Q t0 C()() t− C t0 vt(0 )= lim It( )= lim Ct(0 )= lim 0 tt→ tt→ 0 tt→ 0 tt− tt− 0 0 tt− 0 0 f()() x− f x lim 0 xx→ 0 xx− 0 Trong ®ã y = f(x) lµ hµm sè nµo ®ã . NÕu giíi h¹n nµy tån t¹i vµ h÷u h¹n th× to¸n häc gäi ®ã lµ ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x).
8. 2. Định nghĩa ®¹o hµm t¹i mét ®iÓm ®Þnh nghÜa Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a;b) vµ x0 thuéc kho¶ng (a;b). f()() x− f x Nếu tồn tại giới h¹n (hữu hạn) lim 0 xx→ 0 xx− 0 thì giới hạn đó được gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0, kÝ hiÖu lµ f’(x0) hoÆc y’(x0), tức là f()() x− f x0 fx'(0 )= lim xx→ 0 xx− 0
9. f()() x− f x0 fx'(0 )= lim xx→ 0 xx− 0 Chó ý: - Đặt x = x – x0 và gọi là số gia của đối số tại x0. y = f(x) – f(x0) = f( x + x0) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: y fx'(0 )= lim →x 0 x
10. 3) Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Quy t¾c Muèn tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0 theo ®Þnh nghÜa, ta thùc hiÖn 3 bíc sau: Bíc 1: Giả sử x là số gia của đối số x0, tính y = f( x+x0) – f(x0) y Bíc 2: Lập tỉ số x y Bước 3: Tìm lim →x 0 x
11. vÝ dô ¸p dông VÝ dô 1 2 TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x) = x t¹i ®iÓm x0 =2 VÝ dô 2 3 TÝnh ®¹o hµm cña hµmsè y = f(x) = x + 3x t¹i ®iÓm x0=-1
12. VÝ dô 1 2 TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x) = x t¹i ®iÓm x0 =2 Gi¶i •TÝnh y y = f()() x00 + x − f x =(2 + x )22 − 2 =4. xx + ( )2 = xx(4 + ) •T×m giíi h¹n xx(4 + ) lim y = lim →x 0 x →x 0 x lim (4+ x ) = 4 = →x 0 VËy f’(2) = 4
13. VÝ dô 2 3 TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x) = x + 3x t¹i ®iÓm x0= -1 Gi¶i •TÝnh y y = f()() x00 + x − f x =( − 1 + xx )3 + 3( − 1 + ) −(( − 13 ) + 3.( − 1)) =( x )32 − 3.( x ) + 6. x •T×m giíi h¹n 32 lim y = lim ( x ) − 3.( x ) + 6. x →x 0 x →x 0 x lim ( xx )2 − 3. + 6) = 6 = →x 0   Vậy f’(-1) = 6.
14. VÝ dô 3 TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y= f( x ) = 2 x + 1 tại điểm x0 = 0 Đáp số : f’(0) = 1
15. 4) Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. ➢ Chú ý: - NÕu hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm x0. - NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc t¹i ®iÓm x0 th× cha ch¾c tån t¹i ®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã. - NÕu hµm sè y = f(x) gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x0 th× kh«ng tån t¹i ®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã.
16. Ví dụ 4: Cho hàm số: 2 − x nếu x 0 f(x) = x nếu x 0 a)Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 b)Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 a) Tính liên tục: limf ( x )= lim( − x2 ) = 0 xx→→00++ limf ( x )== lim x 0 xx→→00−− limf ( x ) = lim f ( x ) = 0 xx→→00+− limf ( x )== 0 f( 0 ) x→0 Vậy f(x) liên tục tại x = 0
17. b) Tính đạo hàm f( x )−− f (0) x2 lim= lim = lim()0 −x = x→0+xx− 0 x → 0 + x → 0 + f( x )− f (0) x lim== lim 1 xx→→00−−xx− 0 f( x )−− f (0) f ( x ) f (0) lim lim xx→→00+−xx−−00 f( x )− f (0) Vậy, không tồn tại lim x→0 x − 0 Suy ra f(x) không có đạo hàm tại x = 0
18. Nhận xét: Đồ thị là đường liền, nhưng bị “gãy” tại điểm O(0;0). y O x y=x yx=− 2
19. Bµi tËp tr¾c nghiÖm 2 Bµi 1: Sè gia cña hàm số y=x - 1 t¹i ®iÓm x0=1 øng víi sè gia x = -0,1 lµ: A.-1,54 B. -0,19 C. 5,81 D. -2,19 2 Bµi 2: §¹o hµm cña hàm số y=x +2 t¹i x0 = -1 lµ: A. 2 B. 0 C. 1 D. -2
20. Bµi tËp tr¾c nghiÖm y 1 Bµi 3: của hàm số fx()= là: x x x x B. A. − x() + x x x() + x x 1 1 C. D. − x() + x x x() + x x
21. Bµi tËp tr¾c nghiÖm Bài 4. Phương án nào sau đây không sai? A. Nếu hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x0. B. Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x0. C. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại x0. D. Cả A và C đều đúng.
22. Bµi tËp vÒ nhµ ¤n bµi + Lµm bµi tËp 1, 2, 3( SGK, trang 156).
23. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c em!