Chuyên đề Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopski để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Nội dung text: Chuyên đề Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopski để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1. THÁNG : 5 / 2020 CHUYÊN ĐỀ : ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHIACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Giáo viên báo cáo: Nguyễn Thị Đường A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN : I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy): Với 2 số không âm a;b a2 b2 2ab ( vì (a b)2 0  a2 2ab b2 0  a2 b2 2ab ) a+b 2 ab ( tương tự ) + Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b Từ đẳng thức (1) ta suy ra: + Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 k a = b k 2 + Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) = a = b 4 n + Với a1, a2, a3, ., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + .+ an ≥ n a1.a2 .a3 ...an ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ..= an Từ đẳng thức (2) ta suy ra: n + Nếu a1.a2.a3 . an = k (không đổi ) thì Min(a1+ a2 + a3 + .+ an ) = n k a1 = a2 = a3 = ..= an + Nếu a1+ a2 + a3 + .+ an = k (không đổi ) thì m + Mở rộng của BĐT Cô- si 1. Với 3 số a, b, c không âm a+b+c 33 abc Dấu “=” xảy ra a b c
2. THÁNG : 5 / 2020 2. Với 4 số a, b, c ,d không âm a+b+c+d 44 abcd Dấu “=” xảy ra a b c d 3. Đối với n số không âm: a 1 , a2 ,a3 ,.....,an 0 n Ta có: a1 a2 a3 .... an n a1a2 a3 ...an Dấu “=” xảy ra a1 a2 a3 ... an + Biến dạng : (a b)2 4ab 1 1 4 a b a b m2 n2 p2 (m n p)2 với x;y;z >0 x y z x y z II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski . +Với 4 số a;b;c;d ta có : (ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) a b Dấu ‘ =’ xảy ra khi c d +Tổng quát : Cho hai bộ x1, x2 ,..., xn  y1, y2 ,..., yn 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: x1.y1 x2.y2 ... xn.yn x1 x2 ... xn y1 y2 ... yn x x x Dấu bằng xảy ra 1 2 ... n . y1 y2 yn B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 3 1 1 1 Bài 1 : Cho a;b;c >0 và a b c . Tìm GTNN của S a2 b2 c2 2 b2 c2 a2 Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky) 1 4 1 1 4 (a2 )(12 42 ) (a )2 a2 (a ) b2 b b2 17 b
3. THÁNG : 5 / 2020 Tương tự: 1 1 1 1 4 4 4 S a2 b2 c2 (a b c ) b2 c2 a2 17 a b c 4 4 4 1 1 1 3 51 a b c (16a ) (16b ) (16c ) 15(a b c) 16 16 16 15. a b c a b c 2 2 (Áp dụng BĐT Cô si ) 1 51 51 Suy ra : S . 17 2 2 17 4 16a a 4 16b b 51 4 1 => SMin khi 16c a= b= c = 2 17 c 2 3 a b c 2 a;b;c 0 Bài 2: Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn a+b+c 12 a b c Tìm GTNN của P b c a Bài giải a b c a2 b2 c2 a b b c c a Ta có : P2 ( )2 2( ) b c a b c a c a b Áp dụng BDT Cô si cho 4 số dương : a2 a b a b Ta có : c 4a b c c b2 b c b c a 4b c a a c2 c a c a b 4c a b b
4. THÁNG : 5 / 2020 a2 a b a b b2 b c b c c2 c a c a => P2 ( c) ( a) ( b) (a b c) b c c c a a a b b 3(a+b+c) 3.12 =36 Vì P>0 => P 6 PMin 6 Khi a =b =c = 4 Bài 3 : Tìm GTNN của : A x 2 y 3 biết x+y = 6 Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A 0) A2 ( x 2 y 3)2 (12 12 )(x 2 y 3) 2(6 5) 2 =>A 2 5 x x 2 y 3 2 AMin 2 khi x y 6 7 y 2 x2 x2 .... x2 Bài 4: Tìm GTNN của M 1 2 2017 x1(x2 x3 .... x2017 ) Bài giải: 2 2 2 2 2 2 (x1 2016x2 ) (x1 2016x2 ) .... (x1 2016x2017 ) 2016M x1(x2 x3 .... x2017 ) 2 2016.x (x x .... x ) Áp dụng BĐT cô si 2016M 1 2 3 2017 2 2016 x1(x2 x3 .... x2017 ) 2 M 2016 2 x M Khi 1 x x .... x Min 2016 2016 2 3 2017 Bài 5 : Cho a3 b3 2 ;a >0; b >0 . Tìm GTLN của N= a + b Bài giải + Chứng minh BĐT : a3 b3 ab(a b) ; a3 b3 (a b)(a2 b2 ab) (a b)(2ab ab) ab(a b)
5. THÁNG : 5 / 2020 + a3 b3 ab(a b) => 3(a3 b3 ) 3ab(a b) 4(a3 b3 ) a3 b3 3ab(a b) (a b)3 Nên 23 (a b)3 N a b 2 NMax 2 khi a = b = 1 Bài 6 : Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của : ab bc ca P a5 b5 ab b5 c5 bc c5 a5 ca Bài giải + Ta chứng minh BĐT : a5 b5 a3b2 a2b3 a2b2 (a b) +Ta có a5 b5 ab a3b2 a2b3 ab a2b2 (a b) ab ab[ab(a b) 1] ab[ab(a b) abc] a 2 b2 (a b c) abc(a b c) a b c ab. ab. c c a b c ab c Vậy a5 b5 ab ab. hay (1) c a5 b5 ab a b c bc a Tương tự : (2) b5 c5 bc a b c ac b (3) a5 c5 ac a b c Từ (1)(2)(3) Suy ra : ab bc ca a b c P 1 a5 b5 ab b5 c5 bc c5 a5 ca a b c PMax 1 khi a= b= c=1 1 1 Bài 7: Cho a;b >0 ; a+b 1 . Tìm GTNN của : A a b a2 b2 Bài giải 1 +Ta có : 1 a b 2 ab ab 4
6. THÁNG : 5 / 2020 1 1 a a 1 b b 1 15 1 1 + A a b ( ) ( ) ( ) a2 b2 2 2 16a2 2 2 16b2 16 a2 b2 a a 1 b b 1 15 2 3 3 15 2 3( 3 . . 3 . . ) + . . 9 2 2 16a2 2 2 16b2 16 ab 4 4 16 1 4 1 A 9 Khi a =b= Min 2 1 1 Bài 8: Cho xy =1 và x;y >0 . Tìm GTLN của : A x2 y4 x4 y2 Bài giải 2 2 x x 2 2 2 2 1 1 x y x y y y A 2 4 4 2 2 4 4 2 3 3 x y x y x .xy y x xy.y x x x 1 [ 1] y y y t 2 t 2 t 2 t (t 1)2 (t 1) 3 3 1 3 1 1 3 1 t 0 t 1 t(t 1) t 1 t 1 AMax 1 khi t = 1 => x =y = 1 Bài 9: Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 . Tìm GTLN của : 1 1 1 A x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 Bài giải + Ta có : x3 y3 xy(x y) => x3 y3 1 xy(x y) xyz xy(x y z) 1 1 1 + A x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 1 1 1 z x y = xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z) xyz(x y z) yzx(x y z) xzy(x y z) x y z 1 x y z AMax 1 khi x =y = z= 1. Bài 10: Cho a;b;c >0 và a+b+c =2016. Tìm GTNN của :
7. THÁNG : 5 / 2020 M a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Bài giải + Ta có 2 a2 ab b2 3(a b)2 (a b)2 a b Tương tự 2 b2 bc c2 b+c 2 c2 ca a2 c+a Nên suy ra 2M 2 (a+b+c) =2. 2016 =>M 2016 => AMin 2016 khi a =b =c = 2016:3 =672 x y y z z x Bài 11 : Cho x;y;z>0 . Tìm GTNN của : A z x y Bài giải +Ta chứng minh 2(a b) a b +Ta có 2(x y) 2(y z) 2(z x) 2 A z x y x y y z z x x z y z x y 2 2 2 6 z x y z x z y y x + Suy ra A 3 2 AMin 3 2 khi x =y =z a2 b2 c2 Bài 12 : Cho a;b;c >0 và a+b+c =3 . Tìm GTNN của : A a 2b2 b 2c2 c 2a2 m2 n2 p2 (m n p)2 Bài giải: + Chứng minh BĐT : với x;y;z >0 x y z x y z a2 b2 c2 (a b c)2 9 +Ta có : A a 2b2 b 2c2 c 2a2 a b c 2(a2 b2 c2 ) 3 2(a2 b2 c2 )
8. THÁNG : 5 / 2020 9 9 1 (a b c)2 32 3 2. 3 2. 3 3 AMin 1 Khi a=b=c = 1. Bài 13: Cho x;y >0 và x+y+xy =8 . Tìm GTNN của : A x2 y2 Bài giải +Ta có x +y 2 xy 2 =>xy + 2 xy 8 hay xy 1 9 => xy 1 3 =>xy 4 + Ta có 9 xy 2 (x y 1)2 x2 y2 1 2(x y xy) x2 y2 17 Vì xy 4 => 9 –xy 5 => 9 xy 2 25 x2 y2 17 25 Suy ra A 8 Vậy AMin 8 khi x = y =2 1 1 1 Bài 14 : Cho x;y;z >0 và xyz =1 . Tìm GTNN của : A (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 Bài giải + Áp dụng BĐT cô si với 3 số không âm ta có : 1 x 1 x 1 1 3 33 (x 1)2 8 8 64 4 1 3 x 1 => Dấu “ =” xảy ra khi x =1 (x 1)2 4 4 Tương tự đối với y ; z 1 1 1 3 x y z 3 9 33 xyz 3 3 + A 3. (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 4 4 4 4 4
9. THÁNG : 5 / 2020 1 1 1 Bài 15: Cho a 10; b 100 ; c 1000. Tìm GTNN của : A a b c a b c Bài giải Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 9999 999999 A a b c ( a ) ( b ) ( c ) a b c a b c 100 a 10000 b 1000000 c 100 10000 1000000 1 1 1 99 9999 999999 2( ) .10 .100 .1000 =1110.111 10 100 1000 100 10000 1000000 Vậy AMin 1110.111 khi a =10 ; b = 100; c =1000. 20 1 1 1 Bài 16 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z . Tìm GTNN của A x y z 11 x y z Bài giải 1 1 1 1089 1 1089 1 1089 1 689 689 689 Ta có A x y z = ( x ) ( y ) ( z ) ( x y z) x y z 400 x 400 y 400 z 400 400 400 1089 1089 1089 689 20 1489 2 2 2 . 400 400 400 400 11 220 1489 20 Vậy A khi x = y =z = Min 220 33 Bài 17: Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2. Tìm GTLN của: ab bc ca A 2c ab 2a bc 2b ac Bài giải ab ab ab ab 1 1 + Ta có . 2c ab (a b c)c ab (b c)(c a) 2 b c c a + tương tự đối với 2 hạng tử còn lại ab bc ca 1 ab ab bc bc ca ca Ta suy ra A 2c ab 2a bc 2b ac 2 b c c a b a a c c b b a 1 ab ca ab bc bc ca 1 .(a b c) 1 2 b c c a a b 2
10. THÁNG : 5 / 2020 2 A 1 => A 1 Khi a =b=c = Max 3 1 1 Bài 18 : Cho a;b>0 và a+b 1 . Tìm GTNN của : A a2 b2 ab a2 b2 Bài giải 1 1 1 1 29 1 1 Ta có A (a2 ) (b2 ) ab ( ) ( ) 16a2 16b2 32a2 32b2 32 a2 b2 1 1 1 1 29 2 2 2 ab .2 2 2 . 16 16 32 a b 32 a2b2 1 29 1 29 =1 ab 1 2 ab. 2 16ab 16ab 16ab 4(a b) 1 29 35 =1+ 2 4 4 35 35 1 A => A Khi a =b = 4 Min 4 2 x2 y2 z2 Bài 19: Cho x;y;z >0 và x+y+z =2 . Tìm GTNN của : A y z z x x y Bài giải Áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương: x2 x2 2 k 2 (y z) 2 .k 2 (y z) 2kx ;(k>0) với Điểm rơi x y z y z y z 3 1 => k 2 4 x2 y2 z2 x2 1 y2 1 z2 1 +Ta có A (y z) (x z) (y x) - y z z x x y y z 4 z x 4 x y 4 1 x2 1 y2 1 z2 1 1 (x y z) 2 . (y z) 2 . (x z) 2 . (y x) (x y z) 2 y z 4 x z 4 y x 4 2 1 1 =(x+y+z)- (x y z) = (x y z) =1 2 2
11. THÁNG : 5 / 2020 2 Suy ra Min A= 1 khi x y z . 3 Bài 20: Cho các số x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0; thỏa mãn 1 1 1 1 x 1 y 2 z 3 1 Tìm GTNN của : A x y z x y z 1 1 1 9 + Ta có : 1 x y z 3 x 1 y 2 z 3 x y z 6 m2 n2 p2 (m n p)2 (Áp dụng BĐT : với x;y;z >0) x y z x y z + Áp dụng BĐT cô si : x y z 1 8(x y z) x y z 1 8.3 10 A ( ) 2 . 9 x y z 9 9 x y z 9 3 Vậy Min A = 10 Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0) 3 Bài 21 : Cho xyz =1 ; x +y +z = 3 . Tìm GTNN của : P x16 y16 z16 Bài giải m2 n2 p2 (m n p)2 + Áp dụng BĐT: với x;y;z >0; một cách liên tục x y z x y z 2 (x4 y4 z4 )2 (x8 y8 z8 )2 3 (x4 y4 z4 )4 Ta có : P x16 y16 z16 1 1 1 3 33 4 8 8 (x2 y2 z2 )2 (x y z)2 32 3 (x2 y2 z2 )8 3 3 3 33 37 37 37 Suy ra Min P = 3 khi x =y =z = 1. 2 2 2 Bài 22: Cho a;b;c > 0 thỏa mãn a+b +c = 3. Tìm GTNN của: A 1 a2 1 b2 1 c2
12. THÁNG : 5 / 2020 Bài giải 2 2 a(a 1)2 + Ta có : 2 2 a 2 2 a 2 2 a 2 a 1 a 1 a 1 a 2 Tương tự ta có : 2 b 1 b2 2 2 c 1 c2 2 2 2 Nên suy ra : A 2-a + 2- b + 2 – c = 6 – (a+b+c) =6 -3 =3 1 a2 1 b2 1 c2 Min A = 3 khi a = b= c = 1. 1 1 Bài 23. Cho x>0;y>0 và x + y = 1 .Tìm GTNN của : A 1 2 1 2 x y Bài giải 1 1 1 1 1 1 1 1 (x 1)(y 1) Ta có : A 1 2 1 2 = 1 1 1 1 = 1 1 . x y x y x y x y xy 1 1 ( y)( x) 1 1 = 1 1 . = 1 1 x y xy x y 1 1 1 1 x y 1 1 2 =1 1 1 1 xy x y xy xy xy xy xy (x y)2 1 Mặt khác Áp dụng BĐT : xy 4 4 2 1 =>A 1 9 . Vậy Min A = 9 . Khi x = y = 1 2 4 Bài 24 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx 3 . Tìm GTNN của : x4 y4 z4 A y 3z z 3x x 3y Bài giải + Ta chứng minh : (x y z)2 3(xy yz zx) 9
13. THÁNG : 5 / 2020 Hay x y z 3 + Áp dụng BĐT cô si cho 4 số dương ta có : x4 y 3z 1 1 x4 y 3z 1 1 4 4 . . . x y 3z 16 4 4 y 3z 16 4 4 x4 y 3z 1 1 y 3z 1 Nên : x x y 3z 16 4 4 16 2 y4 z 3x 1 Tương tự : y z 3x 16 2 z4 x 3y 1 z x 3y 16 2 Suy ra x4 y4 z4 A y 3z z 3x x 3y y 3z 1 z 3x 1 x 3y 1 3 3 3 3 3 x y z (x y z) .3 16 2 16 2 16 2 4 2 4 2 4 Vậy Min A = 3 . Khi x =y =z = 1 . 4 Bài 25: Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = 1. Tìm GTNN của : A x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 Bài giải (x y)2 3(x y)2 + Ta có : x2 xy y2 (x y)2 xy (x y)2 4 4 3(x y) ( Áp dụng BĐT : (a b)2 4ab ). Nên suy ra : x2 xy y2 2 3(y z) 3(z x) + Tương tự : y2 yz z2 ; z2 zx x2 2 2 Vậy A x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 3(x y) 3(y z) 3(z x) 3(x y z) 3 2 2 2
14. THÁNG : 5 / 2020 1 =>Min A = 3 . Khi x =y =z = 3 1 1 1 Bài 26: Cho x;y;z>0 thỏa mãn 3 . Tìm GTNN của : x y z 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2 A xy yz xz Bài giải + Áp dụng BĐT Bunhicosky 2 2 2 2 2 2 (2x y )( 2 1 ) ( 2. 2x y.1) (2x y) 2 2 2 2 1 2x y 1 (2 x y) 1 2 1 => 2x y .(2 x y) . 3 xy 3 xy 3 y x 2y2 z2 1 2 1 Tương tự ta có : yz 3 z y 2z2 x2 1 2 1 zx 3 x z Do đó : 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2 A xy yz xz 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 .3 .3. 3 3 3 y x z y x z 3 x y z 3 Vậy Min A = 3 Khi x = y= z = 3 . Bài 27: Cho a;b;c > 0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của : a3 b3 c3 A (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 b)(1 a) Bài giải +Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương : a3 b 1 c 1 a3 b 1 c 1 3 33 . . a (1 b)(1 c) 8 8 (1 b)(1 c) 8 8 4
15. THÁNG : 5 / 2020 b3 a 1 c 1 3 Tương tự : b (1 a)(1 c) 8 8 4 c3 a 1 b 1 3 c (1 a)(1 b) 8 8 4 Ta có : a3 b3 c3 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 3 (a b c) (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 b)(1 a) 8 8 8 8 8 8 4 a3 b3 c3 1 3 (a b c 3) (a b c) (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 b)(1 a) 4 4 a3 b3 c3 3 1 1 3 A (a b c) (a b c 3) (a b c) (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 b)(1 a) 4 4 2 4 1 3 1 3 3 .33 abc .3.1 2 4 2 4 4 Vậy Min A = 3 , Khi a = =b = c= 1 . 4 C. BÀI TẬP : 1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 1 1 1 Tìm GTNN của A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) a b c 2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1 2 3 Tìm GTNN của B = ab a 2 b 2 3. Cho a,b,c > 0 a b c a) Tìm GTNN của C = b c c a a b a b c b c c a a b b) Tìm GTNN của D = b c c a a b a b c 3 4. Cho x,y,z và x + y + z = 1 4 Tìm GTLN E = 4x 3 4y 3 4z 3
16. THÁNG : 5 / 2020 5. Cho a,b,c 0 và a + b + c = 1 Tìm GTLN của F = a b a c b c