Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Nội dung text: Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. TRƯỜNG THCS TIÊN YÊN TỔ : KHTN CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Người báo cáo : Nguyễn Thị Đường Tổ: Khoa Học Tự Nhiên Năm học : 2024 - 2025
2. Trường THCS Tiên Yên Ngày 30 /10/2024 Tổ: KHTN CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Người báo cáo: Nguyễn Thị Đường PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a n a a{. a ... a ( n 0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n thừa số a 2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số am. a n a m n 3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số am: a n a m n a 0, m n Quy ước a0 1 a 0 n 4.Luỹ thừa của luỹ thừa aam m n 5. Luỹ thừa mộttích a.. b m amm b 6. Một số luỹ thừa của 10: - Một nghìn: 1000 103 - Một vạn: 10000 104 - Một triệu: 1000000 106 - Một tỉ: 1000000000 109 Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n 1000...00 7. Thứ tự thực hiện phép tính: Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau: - Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải. - Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ. - Nếu biểu thức có dấu ngoặc ,  , ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.
3. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI. Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA I.Phương pháp giải. Sử dụng công thức: n 1) a a{. a ... a ( n 0 ); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. thn ừa số a 2) am. a n a m n 3) am: a n a m n a 0, m n Quy ước a0 1 a 0 n 4) aam m n 5) a.. b m amm b II.Bài toán. Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa 2.2.2.2.3.3.3.3 A. 24.34 A. 23.32 A. 42.43 A. 24.34 Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau: 2 a) 342 :3 b) 242 .2 c) 24 Lời giải 2 a) 34 :3 2 3 2 9 b) 242 .2 16.4 64 c) 248 2 256 Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số: a) A 824 .32 b) B 2734 .9 .243 Lời giải a) A 82 .32 4 2 6 .2 20 2 26 b) B 273 .9 4 .243 3 22 Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa: a) 64: 23 b) 243:34 c) 625:53 d) 75 :343 e)100000:103 f) 115 :121 g) 243:33 :3 h) 48 :64:16 Lời giải a) 64: 23 2 6 : 2 3 2 3 b) 243:34 3 5 :3 4 3 1 c) 625:53 5 4 :5 3 5 1
4. d) 75 :343 7 5 :7 3 7 2 e) 100000:103 10 5 :10 3 10 2 f) 115 :121 11 5 :11 2 11 3 g) 243:33 :3 3 5 :3 3 :3 3 1 h) 48 :64:16 4 8 :4 3 :4 4 4 Bài 5.Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n thảo mãn điều kiện: 25 3n 250 Lời giải Ta có: 32 9,3 3 27 25,3 4 81,3 5 243 250 nhưng 36 243.3 729 250 Vậy với số mũ n 3,4,5 ta có 25 3n 250 Bài 6 : Thực hiện phép tính: a) 5.22 18:3 b) 17.85 15.17 23 .3.5 2 c) 233 .17 2 .14 d) 20 30 5 1 e) 75 3.523 4.2 f) 2.52 3:71 0 54:3 3 g) 150 50:5 2.32 h) 5.322 32: 4 Bài 7: Thực hiện phép tính. 2 a) 27.75 25.27 2.3.5 b) 12: 400: 500 125 25.7  c)13.17 256:16 14:7 20210 d) 2.32 :3 182 3. 51:17 e)15 523 .2 : 100.2 f) 523 .2 12.5 170:17 8 Bài 8: Thực hiện phép tính. 3 3 2 2 2 a) 2 5 :5 12.2 b) 5. 85 35: 7 :8 90 5 .2 c) 2. 7 33 :3 2 : 2 2 99 100 d) 2:27 2 5:5.2 4 3 4 3.2 5 e) 35 .3 7 :3 10 5.2 4 7 3 : 7 f) 32 . 5 2 3 :11 2 4 2.10 3 g) 62007 6 2006 : 6 2006 h) 52001 5 2000 :5 2000 i) 72005 7 2004 : 7 2004 j) 57 7 5 . 6 8 8 6 . 2 4 4 2 k) 75 7 9 . 5 4 5 6 . 3 3 .3 9 2 l) 52 .2 3 7 2 .2 : 2 .6 7.2 5 Bài 9 : Thực hiện phép tính. a) 142 50 233 .10 2 .5 b) 375: 32 4 5.32 42 14   2 c) 210: 16 3. 6 3.22 3 d) 3 500  5. 409 2 .3 21 1724   Bài 10: Tính giá trị của biểu thức: A 2002.20012001 2001.20022002 Lời giải:
5. A 2002.20012001 2001.20022002 A 2002. 20010000 2001 2001. 20020000 2002 A 2002. 2001.1044 2001 2001. 2002.10 2001 A 2002.2001.1044 2002.2001 2001.2002.10 2001.2002 A 0 Bài 12: Tính: a) A 2 22 2 3 2 4 ... 2 100 b) B 1 5 52 5 3 ... 5 150 c) C 3 32 3 3 ... 3 1000 Lời giải: a) A 2 22 2 3 2 4 ... 2 100 2A 2.2 22 .2 2 3 .2 2 4 .2 ... 2 100 .2 2A 22 2 3 2 4 2 5 ... 2 101 2AA 22 2 3 2 4 2 5 ... 2 101 2 2 2 2 3 2 4 ... 2 100 A 22 2 3 2 4 2 5 ...2 101 22 2 2 3 2 4 ...2 100 A 22101 Vậy A 22101 Dạng 2. SO SÁNH CÁC LŨY THỪA I.Phương pháp giải. Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) Với a,,, b m n N ta có: a b ann b  n N* mn amn a( a 1) a 0 hoặc a 1thì amn a m.0 n Với AB, là các biểu thức ta có : nn AB AB 0 Amn A m n và A 1 mn và 01 A II.Bài toán. Bài 1. So sánh:
6. 2009 1999 a) 33317 và 33323 b) 200710 và 200810 c) 2008 2007 và 1998 1997 Lời giải a) Vì 1 17 23 nên 33317 và 33323 b) Vì 2007 2008 nên 200710 và 200810 c) Ta có : 2008 2007 2009 112009 1998 1997 1999 111999 Vậy 2008 2007 2009 1998 1997 1999 Bài 2. So sánh a) 2300 và 3200 b)9920 và 999910 c)85 và 3.47 e)1010 và 48.505 d) 202303 và 303202 g)199010 1990 9 và 199110 Bài 3. Chứng tỏ rằng : 527 2 63 5 28 Lời giải Ta có : 263 128 9 527 125 9 2563 27 (1) Lại có: 263 512 7 528 625 7 2563 28 (2) Từ (1) và (2) 527 2 63 5 28 Bài 4.So sánh: a)10750 và 7375 b) 291và 535 Lời giải a) Ta thấy : 10750 108 50 4.27 50 2 100 .3 150 (1) 7375 72 75 8.9 75 2 225 .3 150 (2)
7. Từ (1) và (2) 10750 2 100 .3 150 2 225 .3 150 73 75 b) 291 2 90 32 18 535 5 36 25 18 91 18 18 35 91 35 2 32 25 5 Vậy 25 Bài 5. So sách các cặp số sau: a) A 275 và B 2433 b) A 2300 và B 3200 Lời giải 5 300 3.100 100 a) Ta có A 275 3 3 3 15 b) A 2 2 8 B 3200 3 2.100 9 100 53 15 B 33 Vì 89 nên 89100 100 AB Vậy AB Bài 6.So sánh các số sau: a)19920 và 200315 b) 339 và 1121 Lời giải 20 a) 19920 200 20 2 3 .5 2 2 60 .5 40 15 15 200315 2000 15 2.10 3 2 4 .5 3 2 60 .5 45 Vậy 200315 199 20 20 b) 339 3 40 3 2 9 20 11 21 Bài 7. So sánh 2 hiệu: 7245 72 44 và 7244 72 43 Lời giải 7245 72 44 72 44 . 72 1 72 44 .71 7244 72 43 72 43 . 72 1 72 43 .71 Vậy 7245 72 44 72 44 72 43 Bài 8: So sánh 33101 a) A 1 2 224 ... 2 và B 215 b) C 3 32 3 3 ... 3 100 và D 2 Lời giải: a) A 1 2 224 ... 2 2A 1.2 2.2 224 .2 ... 2 .2 2A 2 22 2 3 ... 2 5
8. 2AA 2 22 2 3 ... 2 5 1 2 2 2 ... 2 4 A 22 2 2 3 ...2 5 122 2 ...2 4 A 215 Vậy AB 2 3 100 b) C 3 3 3 ... 3 2 3 100 3C 3.3 3 .3 3 .3 ... 3 .3 2 3 4 101 3C 3 3 3 ... 3 3CC 32 3 3 3 4 ... 3 101 3 3 2 3 3 ... 3 100 2C 32 3 3 3 4 ...3 101 33 2 3 3 ...3 100 2C 3101 3 33101 C 2 Vậy CD Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA I. Phương pháp giải. Khi giải bài toán tìm x có luỹ thừa phải: Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số . Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ . Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa. II. Bài toán. Bài 1.Tìm xN , biết. a) 3x .3 243 b) 2x .162 1024 c) 64.4x 168 d) 2x 16 Bài 2.Tìm x , biết. 3 x 2019 1 a) 7x 11 252 .5 200 b) 4x 2019 c) 2x 1 4 16 d) 2xx 1 46 2 1 Bài 3: Tìm x biết: 10 20 2003 2003 a, 3xx 1 3 1 b, x 66 x x c, 5xx 5 2 650 Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA I.Phương pháp giải. Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ . - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
9. mn a a a 1 mn - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . nn a b n 0 ab Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân ABBC , thì AC . AC BC C 0 A B II.Bài toán. Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa. Bài 1. So sánh các lũy thừa: 32n và 23n Lời giải n Ta có: 32n 392 n n 23n 283 n Vì 98nn nên 32n 23n Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) - Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật. - Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B. - Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng. Với a,,,* m n K N . Ta có: aa aa - Nếu mn thì KK và KK . mn mn aa aa - Nếu mn thì KK và KK .(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù) mn mn 1 * Với biểu thức là tổng các số có dạng (với aN *) ta có vận dụng so sánh sau: a2 1 1 1 1 1 a a 11a2 a a Bài 1. Cho S 1 2 22 2 3 ... 2 9. So sánh S với 5.28 . Lời giải Ta có: S 1 2 22 2 3 ... 2 9 2S 2 22 .... 2 9 2 10 suy ra S 2110 Mà 210 1 2 10 4.2 8 5.2 8 Vậy S 5.28 .
10. 1015 1 1016 1 Bài 2.So sánh hai biểu thức A và B , biết: A và B 1016 1 1017 1 Lời giải 1015 1 1015 1 1016 10 1016 1 9 9 Ta có: A 10A 10. = = 1 . 16 16 16 16 16 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1016 1 1016 1 1017 10 1017 1 9 9 B 10B 10. = = 1 . 17 17 17 17 17 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 99 99 Vì 1016 1 10 17 1 nên 11 1016 1 10 17 1 1016 1 10 17 1 10AB 10 hay AB 232008 232007 Bài 3.So sánh hai biểu thức C và D , biết: C và D 212007 212006 Lời giải 232008 1 1 22008 3 2 2008 3 2 2008 2 1 1 Ta có: C C 1 . 2007 2007 2008 2008 2008 21 22 2 1 2 2 2 2 2 2 232007 1 1 22007 3 2 2007 3 2 2007 2 1 1 D D 1 2006 2006 2007 2007 2007 21 22 2 1 2 2 2 2 2 2 11 Vì 22008 – 2 2 2007 – 2 nên 22008 2 2 2007 2 11 11 22008 2 2 2007 2 11 CD hay CD . 22 Vậy CD . Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết. * Với các số tự nhiên m,, x p và số dương a . + Nếu a 1 thì: am a x a p m x p . + Nếu a 1 thì: am a x a p m x p . * Với các số dương ab, và số tự nhiên m , ta có: amm b a b . Bài 3. Tìm các số nguyên n thoã mãn: 364 n 48 5 72 . Lời giải Ta giải từng bất đẳng thức 364 n 48 và n48 5 72 .
11. n48 3 64 16 16 n34 3 Ta có: 16 n3 81 16 suy ra n 4 (với n ¢ ) (1). n48 5 72 24 24 n23 5 Mặt khác 24 n2 125 24 n2 125 11 n 11 (với n ¢ ) (2). Từ (1) và (2) 4 n 11 . Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11. Bài 4. Tìm xN , biết: x 4 x x 1 x 2 18 a) 16 128 . b) 5 .5 .5 100.............0:1444442444443 2 . 18chu so 0 Lời giải x 4 a) Ta có:16 128 x 4 2247 224x 28 4x 28 x 7 x 0,1,2,3,4,5,6 . x x 1 x 2 18 b) Ta có: 5 .5 .5 100.............0:1444442444443 2 18chu so 0 53x 3 10 18 : 2 18 3x 3 18 55 3x 3 18 x 5 Nên x 0,1,2,3,4,5 . Bài 5: Tìm số tự nhiên xy, sao cho 10x y2 143. Lời giải Ta có: 10xx yy22 143 10 143 Nếu xy 0 12 thỏa mãn.
12. Nếu x 0 10x có chữ số tận cùng là 0 . Khi đó, 10x có chữ số tận cùng là 3 . Mà y2 là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3 . Do đó không tồn tại xy, thỏa mãn. Vậy xy 0; 12. Bài 6: a) Số 58 có bao nhiêu chữ số? b) Hai số 22003 và 52003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? Lời giải a) Ta có: 58 (5 4 ) 2 625 2 600 2 360000 108 100000000 100000000 58 400000 28 256 250 360000 58 400000. Do đó 58 có 6 chữ số. b) Giả sử 22003 có a chữ số và 52003 có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được ()ab chữ số. Vì 10aa 1 2 2003 10 và 10bb 1 5 2003 10 10a 1 .10 b 1 2 2003 .5 2003 10 a .10 b 10a b 2 10 2003 10 a b . Do đó: 2003 a b 1 a b 2004 . Vậy số đó có 2004 chữ số. Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau: a) n 835 . 15 . b) m 416 . 5 25 . Lời giải a) Ta có: 3 n 83 . 15 5 2 3. 3.5 5 2 9 . 3 5 . 5 5 24 . 3 5 . 2.5 5 1 6.243 .10 5 3888. 10 5. Số 3888.105 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. Vậy số n có 9 chữ số. b) Ta có: 16 m 416 . 5 25 2 2 . 5 25 2.325 25 2 7 . 2 25 .5 25 128.10 25. Số 128.1025 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Vậy số m có 28 chữ số. Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết Bài 1: Chứng minh rằng: 2 11 5 15 a. A 1 3 3 ... 3 chia hết cho 4 e) B 16 2 chia hết cho 33
13. 2 3 8 b. C 5 5 5 ... 5 chia hết cho 30 g) D 45 99 180 chia hết cho9 2 3 119 28 c. E 1 3 3 3 ... 3 chia hết cho 13 h) F 10 8 chia hết cho 72 8 20 2 3 60 d. G 82 chia hết cho 17 I) H 2 2 2 ... 2 chia hết cho 3,7,15 Lời giải a. A 1 3 32 ... 3 11chia hết cho 4 A 1 3 32 . 1 3 ... 3 10 . 1 3 2 10 A 4 3 .4 ... 3 .4 A 4. 1 32 ... 3 10 M 4 đpcm b. B 165 2 15chia hết cho 33 5 B 224 15 20 15 B 22 B 215 . 1 2 5 15 B 2 .33M 33 đpcm c. C 5 52 5 3 ... 5 8 chia hết cho 30 C 5 52 5 2 . 5 5 2 ... 5 6 . 5 5 2 26 C 30 5 .30 ... 5 .30 C 30. 1 526 ... 5 M 30 đpcm d. D 45 99 180 chia hết cho 9 Ta có: 45MMM 9;99 9;180 9 nên D 45 99 180M 9 (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng) e. E 1 3 32 3 3 ... 3 119 chia hết cho 13 E 1 3 32 3 3 . 1 3 3 2 ... 3 117 . 1 3 3 2 3 117 E 13 3 .13 ... 3 .13 E 13. 1 33 ... 3 117 M 13 đpcm
14. f. F 1028 8 chia hết cho 72 Ta thấy: 72 8.9 Ta có: 28 10 8M 9vì tổng các chữ số bằng 9 1028 8M 8vì có tận cùng là 008 Mà 8;9 1nên 1028 8M 8.9 72 (đpcm) g. G 828 20 chia hết cho 17 8 G 223 20 24 20 G 22 G 220 . 2 4 1 20 G 2 .17M 17 đpcm h. H 2 22 2 3 ... 2 60 chia hết cho 3,7,15 Ta có: H 2. 1 2 23 . 1 2 ... 2 59 .(1 2) 3 59 H 2.3 2 .3 ... 2 .3 H 3. 2 23 ... 2 59 M 3 Ta có: H 2. 1 2 22 2 4 . 1 2 2 2 ... 2 28 . 1 2 2 2 4 58 H 2.7 2 .7 ... 2 .7 H 7. 2 24 ... 2 58 M 7 Ta có: H 2. 1 2 22 2 3 2 5 . 1 2 2 2 2 3 ... 2 57 . 1 2 2 2 2 3 5 57 H 2.15 2 .15 ... 2 .15
15. H 15. 2 25 ... 2 57 M 15 Vậy H chia hết cho 3; 7;15. BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1. So sánh: a) 2435 và 3.275. b) 6255 và 1257 . Bài 2: So sánh: a) 9920 và 999910. b) 3500 và 7300. c) 202303 và 303202. d) 111979 và 371320. Bài 3: So sánh: a) 85 và 3.47. b) 1010 và 48.505. c) 23430 30 30 và 3.2410 . d) 199010 1990 9 và 199110. Bài 4: So sánh các số sau:19920 và 200315 . Bài 5: So sánh: a) 7812 78 11 và 7811 78 10 . b) A 7245 72 44 và B 7244 72 43 . Bài 6: So sánh các số sau: 339 và 1121. Bài 7. Chứng tỏ rằng: 527 2 63 5 28. Bài 8: Chứng minh rằng: 251995 863. Bài 9: Chứng minh rằng: 271999 714 . Bài 10. So sánh: 3200 và 2300 . Bài 11: So sánh: 7150 và 3775 . Bài 12: So sánh các số: a) 5020 và 255010 . b) 99910 và 9999995 . Bài 13:Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ;3 75 và 550 . Bài 14: So sánh 2 số: 123456789 và 567891234 . Bài 15: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so sánh m với 10.98 . Bài 16: Cho A 1 2012 20122 2012 3 2012 4  2012 71 2012 72 và B 201273 1. So sánh A và B. 310 .11 3 10 .5 210 .13 2 10 .65 Bài 17: So sánh hai biểu thức: B và C . 394 .2 28 .104 37 73 Bài 18: So sánh: M và N . 8834 8834 1930 5 1931 5 Bài 19: So sánh M và N biết: M và N . 1931 5 1932 5 1 1 1 1 1 1 Bài 20: So sánh và . 1012 102 2 103 2 104 2 105 2 222 .3.5 .7
16. 1 1 1 1 1 Bài 21: So sánh A 1 . 1 . 1 ....... 1 và . 22 3 2 4 2 100 2 2 Bài 22: Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 3n 234 . b) 8.16 2n 4. Bài 23: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 . 9 15 2nn . 3 18 16 . 2 16 . Bài 24: Cho A 3 32 3 3  . 3 100 . Tìm số tự nhiên n , biết 2A 3 3n . Bài 25: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2mn 2 256 . Bài 26: Tìm số nguyên dương n biết: a) 64 2n 256 . b) 243 3n 9 . Bài 27: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n200 6 300 . Bài 28: Tìm n N biết: a) 32 2n 512. b*) 318 n 12 20 8. * Một số hình ảnh: