Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Hòa Tú

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Hòa Tú

1. TRƯỜNG THPT HỊA TÚ TÀI LIỆU THAM KHẢO HỌC KÌ 1 TỔ TỐN - TIN MƠN TỐN KHỐI 10 I/ LÝ THUYẾT 1/ Đại số b) Mệnh đề chứa biến Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được gọi là những mệnh đề chứa biến. Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x là số thực. Khi đĩ: P(2) là mệnh đề sai, P(1/2) là mệnh đề đúng. 2. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Khơng phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . Mệnh đề P đúng nếu P sai và sai nếu P đúng. Chú ý: Mệnh đề phủ định của P cĩ thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau Ví dụ: P: “ 5 là số vơ tỉ”. Khi đĩ mệnh đề cĩ thể phát biểu : “ khơng phải là số vơ tỉ” hoặc “ là số hữu tỉ”. 3. Mệnh đề kéo theo +Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được là mệnh đề kéo theo +Kí hiệu là P Q. + Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. * P Q cịn được phát biểu là “P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q” Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề P : “ Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật “ Q : “ Tứ giác ABCD là một hình bình hành “ P Q: “ Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành “. Q P “ Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật “. * Trong tốn học, định lí là một mệnh đề đúng, thường cĩ dạng : P Q P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc P(x) là điều kiện đủ để cĩ Q(x) Q(x) là điều kiện cần để cĩ P(x) Hoặc điều kiện đủ để cĩ Q(x) là P(x) điều kiện cần để cĩ P(x) là Q(x) 4. Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương a) Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề P Q. Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của P Q b) Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương đương, 1
2. + Kí hiệu P Q +Mệnh đề P Q đúng khi P Q đúng và Q P đúng và sai trong các trường hợp cịn lại. ( hay P Q đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) Các cách đọc khác: P tương đương Q P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q Điều kiện cần và đủ để cĩ P(x) là cĩ Q(x) Ví dụ 1: Xét các mệnh đề A: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”; B: “36 chia hết 12” Khi đĩ: A đúng; B đúng A B: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết 12”. đúng Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay sai? Giải thích. Xét P:” Tam giác ABC là tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau” Q:” Tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau” Khi đĩ P Q đúng; Q P đúng. Vậy P Q 6. Các kí hiệu  và  Kí hiệu  (với mọi): "x X, P(x) ” hoặc “x X : P(x)” Kí hiệu  (tồn tại) :“x X, P(x)” hoặc “ x X : P(x)” Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “x X, P(x)” Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “x X, P(x)” Ví dụ: Các biết tính đúng/sai của các mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định. a) n *, n2-1 là bội của 3 b) x , x2-x+1>0 c) x , x2=3 d)  n , 2n + 1 là số nguyên tố e) n , 2n ≥ n+2. * Trong tốn học, định lí là một mệnh đề đúng, thường cĩ dạng : P Q P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc P(x) là điều kiện đủ để cĩ Q(x) Q(x) là điều kiện cần để cĩ P(x) Hoặc điều kiện đủ để cĩ Q(x) là P(x) điều kiện cần để cĩ P(x) là Q(x) * Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu P Q +Mệnh đề P Q đúng khi P Q đúng và Q P đúng và sai trong các trường hợp cịn lại. ( hay P Q đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) 2
3. Các cách đọc khác: P tương đương Q P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q Điều kiện cần và đủ để cĩ P(x) là cĩ Q(x). §2 TẬP HỢP 1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa . - Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các phần tử của tập hợp đặt trong cặp dấu { }. - Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a A. - Tập hợp khơng chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu  2. Cách xác định tập hợp: cĩ 2cách - Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử cĩ dấu phẩy hoặc dấu chấm phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều cĩ thể dùng dấu ba chấm VD : A = 1; 3; 5; 7 B = 0 ; 1; 2; . . . . ;100  C={1;3;5;...;15;17} - Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu gạch đứng VD : A = x N | x lẻ và x <9 ; B= {x | 2x2-5x+3=0} 3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: A  B hoặc B  A. Khi đĩ A B  x( x A x B) Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3;...;10} Cho A ≠  cĩ ít nhất 2 tập con là  và A. Tính chất: A  A ,  A với mọi A Nếu A  B và B  C thì A  C 4. Tập hợp bằng nhau: A=B A  B và B  A hay A=B  x (x A x B) 1 Ví dụ : C={x R | 2x2-5x+2=0}, D={ ,2 } C=D 2 - Biểu đồ Ven Ta cĩ *     §3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP 1.Phép giao 2. Phép hợp 3. Hiệu của 2 tập hợp AB = x|x A và AB = x| x A hoặc A\ B = x| x A và 3
4. x B x B x B x A x A xA x A  B  x A  B  x A\B  x B x B xB Tính chất Tính chất Tính chất A  A=A A  A=A A\  =A A   =  A  =A A\A=  A  B=B  A A  B= B  A A\B≠B\A 4. Phép lấy phần bù: Nếu A  E thì CEA = E\A = x ,x E và x A Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}. Tính A B, (A B) C, A C, (A B) C, A\ B, A\ C §4 CÁC TẬP HỢP SỐ 1. Các tập số đã học , *, , , 2. Các tập con thường dùng của Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn Tập số thực (- ;+ ) 0 Đoạn [a ; b] x R, a x b //////////// [ Khoảng (a ; b ) x R, a < x < b ////////////( ) ///////// Khoảng (- ; a) x R, x < a )///////////////////// Khoảng(a ; + ) x R, a< x  ///////////////////( ////////////[ ) Nửa khoảng [a ; b) x R, a x < b ///////// Nửa khoảng (a ; b] x R, a < x b Nửa khoảng (- ; a] x R, x a ]///////////////////// Nửa khoảng [a ; ) x R, a x  ///////////////////[ [a ; b]= x R, a x b,.....R+=[0;+ ), R =( ;0] Chú ý 1: Cĩ hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch bỏ phần khơng thuộc khoảng hay đoạn đĩ, hoặc tơ đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn đĩ. Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách ( 2;5), [ 3;1], ([ 1;4] Chú ý 2: -Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đĩ trên cùng một trục số. Phần cịn lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp. -Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đĩ trên cùng một trục số,sau đĩ tiến hành tơ đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tơ đậm trên trục số. -Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tơ đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), phần tơ đậm cịn lại là kết quả cần tìm. Ví dụ: Tính 4
5. a) ( 1;2]  [1;3) = [1;2] 1 b) [ 3; )  ( 1;+ ) =[ 1; ) 2 1 c) ( ;2)  (1;4) =( ;4) 2 d) ( ;2]\(1;4) =( ;1] §5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ 1. Số gần đúng Trong nhiều trường hợp ta khơng thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nĩ. Ví dụ: giá trị gần đúng của là 3,14 hay 3,14159; cịn đối với 2 là 1,41 hay 1,414; Như vậy cĩ sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nĩ. Để đánh giá mức độ sai lệch đĩ, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối. 2. Sai số tuyệt đối: a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng Nếu a là số gần đúng của a thì a=| a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. b) Độ chính xác của một số gần đúng Trong thực tế, nhiều khi ta khơng biết nên ta khơng tính được a. Tuy nhiên ta cĩ thể đánh giá a khơng vượt quá một số dương d nào đĩ. Nếu a ≤ d thì a d≤ ≤ a+d, khi đĩ ta viết =a ± d d gọi là độ chính xác của số gần đúng. Ví dụ: Giả sử = 2 và một giá trị gần đúng của nó là a = 1,41.Ta có : (1,41)2 = 1,9881 < 2 1,41 0. (1,42)2 = 2,0164 > 2 1,42 > 2 2 -1,41 < |1,42-1,41|=0,01. Do đó : a a a 2 1,41 0,01 Vậy sai số tuyệt đối của 1,41 là không vượt quá 0,01. *Sai số tương đối  a d  a , do đĩ . a | a | | a | Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm (nhân với 100%). d Nếu càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính tốn càng cao. | a | * Sai số tuyệt đối khơng nĩi lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đĩ được phản ánh qua sai số tương đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn. 3. Quy trịn số gần đúng 5
6. * Nguyên tắc quy trịn các số như sau: - Nếu chữ số ngay sau hàng quy trịn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đĩ và các chữ số bên phải nĩ bởi 0. - Nếu chữ số ngay sau hàng quy trịn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đĩ và các chữ số bên phải nĩ bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi trịn. Ví dụ 1: Quy trịn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy trịn là 1 chữ số sau nĩ là 6) Ví dụ 2: Quy trịn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui trịn là 1 chữ số sau nĩ là 4) Ví dụ 3: Quy trịn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui trịn là 6 chữ số sau nĩ là 4). Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy trịn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy trịn Ở vd1 ta cĩ a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy trịn là hàng chục) Ở vd2 ta cĩ a=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy trịn là hàng phần trăm 0,01) * Các viết số quy trịn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy trịn a mà khơng nĩi rõ quy trịn đến hàng nào thì ta quy trịn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đĩ. a d Hàng quy trịn Hàng trăm Hàng nghìn Hàng chục Hàng trăm Hàng phần trăm Hàng phần chục . . Ví dụ 1: Cho =1,236±0,002 số quy trịn của 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01) Ví dụ 2: Cho =37975421±150 số quy trịn của 37975421 là 37975000 Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 cĩ sai số tuyệt đối khơng vượt quá 0,01 (d=0,01). Khi đĩ số quy trịn của a là 173,5 * Chú ý: - Kí hiệu khi viết gần đúng là - Khi thực hiện quy trịn thì sai số tuyệt đối tăng lên. - Hàng phần chục, phần trăm, là những số sau đấu phẩy. - Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm, là những số trước dấu phẩy. 4. Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3) Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d khơng vượt quá ( ≤ )nửa đơn vị của hàng cĩ chữ số đĩ (nếu d > nửa đơn vị của hàng cĩ chữ số đĩ thì chữ số đĩ khơng chắc) Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn. Những chữ số đứng bên phải chữ số khơng chắc là khơng chắc. Ví dụ 1: Cho =1379425±300, xác định các chữ số chắc chắn 6
7. 100 1000 Ta cĩ 50 d 500 nên chữ số hàng trăm khơng chắc, chữ số 2 2 hàng nghìn chắc chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn. Ví dụ 2: Một hình chữ nhật cĩ diện tích S = 180,57 cm2 0,06 cm2 . Tìm các chữ số chắc của S. 0,1 1 Ta cĩ 0,05 d 0,06 0,5 nên chữ số hàng phần chục khơng 2 2 chắc, chữ số hàng đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn. 5. Dạng chuẩn của số gần đúng - Nếu số gần đúng là số thập phân khơng nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nĩ đều là chữ chắc chắn. - Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nĩ là A.10k trong đĩ A là số nguyên , k là hàng thấp nhất cĩ chữ số chắc (k N). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn) Khi đĩ độ chính xác d=0,5.10k Ví dụ: Giá trị gần đúng của 5 viết ở dạng chuẩn là 2,236. Nên độ chính xác d=0,5.10-3=0,0005, do đĩ 2,236-0,0005≤ ≤2,236+0,0005 6. Kí hiệu khoa học của một số Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n, 1≤| |<10, n Z 1 (ta cĩ 10 m ) 10m Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là 5,98.1024kg Khối nguyên tử của Hiđrơ là 1,66.10-24g Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1 HÀM SỐ I. Ơn tập về hàm số 1. Hàm số: Cho D  . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi x D là một và chỉ một số y , kí hiệu là y= f(x). Khi đĩ: + x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x; + D gọi là tập xác định (hay miền xác định); + f( x ) là giá trị của hàm số tại x. 2. Cách cho hàm số + Hàm số cho bằng bảng. + Hàm số cho bằng biểu đồ. + Hàm số cho bằng cơng thức: y=f( ) Chú ý: Khi hàm số cho bởi cơng thức mà khơng chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm số y=f( ) là tập hợp tất cả các số thực sao cho biểu thức f( ) cĩ nghĩa”. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số 3 a) y=f( )= x 3 b) y= c) y= xx 11 x 2 7
8. 2x 1 khi x 0 Ví dụ 2: Cho y 2 x khi x 0 a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Tính f( 1), f(1), f(0). 3. Đồ thị hàm số Đồ thị của hàm số y=f( ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi D. II. Sự biến thiên của hàm số Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đĩ: f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2 K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2 K ; x1 f(x2) Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK) III. Tính chẵn lẻ của hàm số + f gọi là chẵn trên D nếu x D x D và f( x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. + f gọi là lẻ trên D nếu x D x D và f( x) = f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng. (Ban CB đến III) * Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta cĩ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p) Đối xứng qua trục hồnh thì x khơng đổi y’= -y Đối xứng qua trục tung thì y khơng đổi x’= - * Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy : + Lên trên q đơn vị được A1(x ; y+q) + Xuống dưới q đơn vị được A1(x ; y q) + Sang trái p đơn vị được A1(x p ; y) + Sang phải p đơn vị được A1(x+p ; y) x §2 HÀM SỐ y= ax + b 1. Hàm số bậc nhất Hàm số dạng y = ax + b , a;b và a≠ 0. Hệ số gĩc là a Tập xác định: D = Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên a < 0 hàm số nghịch biến trên Bảng biến thiên: 8
9. Đồ thị hàm số: là một đường thẳng. Đồ thị khơng song song và trùng với các trục tọa độ, cắt trục tung tại điểm (0;b) và cắt trục hồnh tại (-b/a;0). 2. * Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta cĩ: (d) song song (d’) a=a’ và b≠b’ (d) trùng (d’) a=a’ và b=b’ (d) cắt (d’) a≠a’. (d)(d’) a.a’= 1 2. Hàm số hằng y=b Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm cĩ tọa độ (0;b). Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm cĩ tọa độ (a;0) 3. Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b| Muốn vẽ đồ thị hàm số y ax b ta làm như sau: + Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b + Xĩa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hồnh Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | | (Xem SGK tr.42) y x 1 nếu 0 x 2 1 Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)= x 4 nếu 2 x 4 B D 2 C 2x 6 nếu 4 x 5 A Đồ thị (hình) O y x Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4| Hàm số đã cho cĩ thể viết lại như sau : 4 2x 4 nếu x 2 y= x 2x 4 nếu x 2 Đồ thị (hình) O 2 4 x Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nĩ đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (- 1;2).Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số y g()() x f x . Giải Hàm số bậc nhất cĩ dạng y ax b,0 a . 9
10. ba 42 Đồ thị hàm số qua điểm A , B 24 a b b Vẽ đồ thị hàm g( x ) 2 x 4 , ta vẽ đồ thị hai hàm số 2x 4 nếu x 2 y trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox. 2x 4 nếu x 2 Vẽ đồ thị hàm Bảng biến thiên. y -4 -2 o x x -2 g(x) 0 -4 §3 HÀM SỐ BẬC HAI 1. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi cơng thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0 + Tập xác định D= b + Đỉnh I ( ; ) với = b2 4ac 2a 4a + Trục đối xứng là đường x = 2. Sự biến thiên a > 0 a < 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ; ) và đồng biến trên khoảng ( (- ; ) và đồng biến trên khoảng ( ; + ) ; + ) Bảng biến thiên Bảng biến thiên x x - - + + y + y + - - 4a 3. Cách vẽ đồ thị 10
11. b -Xác định đỉnh : I ; ; b2 4 ac (khơng cĩ ' ) 2a 4a b 2 ( Sau khi tính xI = yI = ax bx c . Khi đĩ I(xI ; yI ) 2a II b -Vẽ trục đối xứng x 2a - Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng) - Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đĩ lại 2 (Đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c cũng là một parapol)y Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x2+4x-3 1 Tập xác định : R A Đỉnh :I(2;1) O 2 x Trục đối xứng :x = 2 x y= -x2+4x-3 Bảng biến thiên : - 2 + 1 Điểm đặc biệt : y= -x2+4x-3 - - x = 0 y = -3 y = 0 x = 1 hoặc x = 3 Ví dụ 2: dựa vào ví 1 vẽ đồ thị hàm số y = |-x2+4x-3| 2 Cách vẽ : vẽ y= -x +4x-3 sau đĩ lấy đối xứng phần âm qua trục Ox 2 5 -2 Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai y 2 x2 bx c biết đồ thị của nĩ 1) Cĩ trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ là 4. 2) Cĩ đỉnh là (-1;-2) 3) Cĩ hồnh độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2). Giải bb 1) Trục đối xứng xb 14 24a Cắt trục tung tại (0;4) 4 yc (0) 11
12. bb xb 14 24a 2) Đỉnh b2 4 ac 16 8 c yc 20 48a bb 3) Hồnh độ đỉnh xb 28 24a Đồ thị qua điểm (1;-2) 2 y (1) 6 c c 4. Tìm tọa độ giao điểm Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) y f (x) là ngiệm của hệ phương trình . Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là y g(x) phương trình hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2). Ta cĩ: + Nếu (*) vơ nghiệm thì (C1) và (C2) khơng cĩ giao điểm. + Nếu (*) cĩ n nghiệm thì (C1) và (C2) cĩ n giao điểm. + Nếu (*) cĩ nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau. 12
13. Chương III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I. Khái niệm phương trình 1. Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) lần lượt cĩ tập xác định Df và Dg . Đặt D = Df  Dg , mệnh đề chứa biến x D cĩ dạng : f(x) = g(x) được gọi là phương trình một ẩn , x gọi là ẩn số của phương trình.  D : tập xác định của phương trình.  Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình .  Tập hợp các x0 như trên gọi là tập nghiệm của phương trình.  Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nĩ.  Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nĩi phương trình vơ nghiệm. Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = x và g(x)= x . Khi đĩ : D f x 0 | x R Dg { x 0| x R } và = được gọi là phương trình theo ẩn số x. 2. Điều kiện của một phương trình là: điều kiện xác định của phương trình Ví dụ: Tìm điều kiện của phương trình x 1 a) 3 x2 b) x 3 c) x 2= x 2 x x2 1 3. Phương trình nhiều ẩn Phương trình cĩ từ hai ẩn trở lên gọi là phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z = 0 Đối với phương nhiều ẩn các khái niệm về tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương trình hệ quả, cũng tương đương với phương trình một ẩn. 4. Phương trình chứa tham số Phương trình f(x) = g(x) cĩ chứa những chữ cái ngồi các ẩn được gọi là phương trình chứa tham số. Ví dụ : (m+1)x + 2 = 0 chứa tham số m ax+2 = | x-1| chứa tham số a. Việc tìm tập nghiệm của phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương trình đĩ. II. Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương 1. Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau (cĩ thể là rỗng). Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D. Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết : f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x). 15 Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 và 3x =0 tương đương nhau vì cùng cĩ 2 nghiệm duy nhất x= 5 . 2 13
14. Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương nhau. 2. Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D. (ta dùng dấu " " để chỉ sự tương đương của các phương trình) Ví dụ: 2x-5=0 3x =0 15 2 14
15. * Các phép biến đổi tương đương của phương trình: Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) cĩ tập xác định D. nếu h(x) xác định trên D thì phương trình: f (x) g(x) f (x) h(x) g(x) h(x) f (x) g(x) f (x)h(x) g(x)h(x) nếu h(x) 0 với mọi x D Hệ quả : Nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một phương trình sang vế kia và đổi dấu của nĩ thì ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. * Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luơn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nĩ, ta được phương trình tương đương. Ví dụ 1: 3. Phương trình hệ quả a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x) nếu tập nghiệm của nĩ chứa tập nghiệm của phương trình f(x)=g(x). Khi đĩ ta viết: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x) b) Phép biến đổi cho phương trình hệ quả : Khi bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả. * Chú ý: Phương trình hệ quả cĩ thể cĩ thêm nghiệm khơng phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đĩ là nghiệm ngoại lai. Khi đĩ ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các nghiệm ngoại lai. x 2 x 2 3 x 7 Ví dụ 1: Giải phương trình (1) x 2 x 2 x2 4 Điều kiện pt(1) là x≠ 2 và x≠2 (1) (x+2)2+(x 2)2= 3x+7 Hoặc: Với điều kiện x≠ 2 và x≠2 thì (1) (x+2)2+(x 2)2= 3x+7 (???) Ví dụ 2: a) |x 2|=x+1 (x 2)2=(x+1)2 b) x 1=x x 1= x2. Ví dụ 3: Giải phương trình xx 2 (3) Giải Điều kiện x≥ 0. Bình phương hai vế phương trình (3) x2 4x+4 = x x2 5x+4=0 (3') Phương trình (3') cĩ nghiệm x=1 hoặc x=4 Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 khơng phải là nghiệm của (3) và x=4 là nghiệm. Vậy pt(3) cĩ ngiệm duy nhất x=4. §2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I. Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai 1. Phương trình bậc nhất Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0 15
16. b a ≠ 0: Phương trình cĩ nghiệm duy nhất x= a a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vơ nghiệm a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x (vơ số nghiệm) * Chú ý: + Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương trình về dạng ax+b = 0 . + khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b . + Khi a 0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1) Giải Phương trình (1) (m - 1)x = m2 + m – 2 (1a) Ta xét các trường hợp sau đây : + Khi (m-1) ≠ 0 m ≠ 1 nên phương trình (1a) cĩ nghiệm duy nhất mm2 2 x = = m – 2 ;nên pt(1) cĩ nghiệm duy nhất m 1 +) Khi (m – 1) = 0 m = 1 . phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm đúng với mọi x R; nên pt(1) đúng với mọi x R. Kết luận : m ≠ 1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2}) m = 1 : đúng  x R (Tập nghiệm là S = R) Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải Ta cĩ (2)  mx-m = 2x+1  (m-2)x = m+1 (2a) (cĩ dạng ax+b =0) Biện luận: m 1 + nếu m-2 0 m 2 thì (2a) cĩ nghiệm duy nhất x m 2 + nếu m-2= 0 m = 2 thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vơ nghiệm, nên (2) vơ nghiệm. Kết luận: m 2 thì (2) cĩ nghiệm m=2 thì (2) vơ nghiệm. Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3) Giải Ta cĩ: (3) m2x-x = 2m-2  (m2-1)x = 2(m-1) (3a) Biện luận: + Nếu m2-1 0  m 1 thì (3a) cĩ nghiệm duy nhất 2(m 1) 2 x ; nên (3) cĩ nghiệm duy nhất. m2 1 m 1 16
17. + Nếu m2-1=0  m= - với m=1 :(3a) cĩ dạng 0x= 0, (3a) đúng với mọi x R (phương trình cĩ vơ số nghiệm), nên (3) cĩ vơ số nghiệm. - với m=-1: (3a) cĩ dạng 0x=-4; (3a)vơ nghiệm, nên (3) vơ nghiệm. Kết luận: 2 + m≠1 và m≠ -1 thì (3) cĩ nghiệm duy nhất x m 1 + m =1 thì (3) cĩ vơ số nghiệm + m= -1 thì (3) vơ nghiệm. Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : mx m 3 1(*) x 1 Giải Với x -1 thì (*)  mx-m-3 = x+1  (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x -1 m 4 m 4 3 + Nếu m 1 thì (**) cĩ nghiệm x 1 1 m m 1 m 1 2 + Nếu m=1: (**) 0x=4, vơ nghiệm Kết luận : 3 m 4 m 1 và m thì (*) cĩ nghiệm x= 2 m 1 1 m 3 thì (*) vơ nghiệm 2 Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m: mx 1 3x m 2 (1) Giải mx 1 3x m 2 (2) Ta cĩ (1) mx 1 -3x - m 2 (3) + giải và biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3 . nếu m 3 thì (2) cĩ nghịêm x=1 . nếu m=3 thì (2)0x = 0 =>(2) cĩ vơ số nghiệm + giải và biện luận (3) (3)(m-3)x=-m+3 m 1 . nếu m -3 thì (3) cĩ nghiệm x= m 3 . nếu m = -3 thì (3) 0x=4, vơ nghiệm Kết luận: 1 - với m 3 và m -3 : (1) cĩ hai nghiệm x1=1 và x2 = - với m=3: (1) cĩ vơ số nghiệm 17
18. - với m=-3:(1) cĩ nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) ) 2. Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai) Giải và biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = 0 a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0 a ≠ 0 . Lập = b2 4ac (hoặc ’=b’2-ac) Nếu > 0: phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x = b v x = b 2a 2a b Nếu = 0 : phương trình cĩ nghiệm kép : x = 2a Nếu < 0 : phương trình vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = 0 Giải Phương trình cho đã cĩ dạng phương trình đã học. Biện luận: 1 . Nếu m = 0 ( thay m = 0 vào phương trình ta được -2x+1= 0 => x= 2 . Nếu m 0 , tính ' = m+1, khi đĩ : + nếu < 0  m < -1  pt vơ nghiệm + nếu = 0  m = -1  pt trình cĩ nghiệm kép x1=x2 = 0 + nếu > 0  m > -1  pt cĩ hai nghiệm phân biệt x1,2 = m 1 m 1 m * Kết luận: Ví dụ 2: Định m để phương trình mx2-2(m-2)x+m-3 = 0 cĩ nghiệm 3. Định lí Vi ét 2 Nếu phương trình bậc hai ax +bx+c = 0 (a 0) cĩ hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm đĩ là: b c S = x1+x2 = P = x1.x1 = a a Ngược lại, nếu hai số u, v cĩ S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0. Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x2-19x+84 = 0 ,pt này cĩ hai nghiệm x1 7  hoặc vậy hai số cần tìm là 7 và 12. x2 12 * Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 cĩ nghiệm là S2 4P . Đây cũng là điều kiện để tồn tại hai số cĩ tổng là S, tích P. * Ứng dụng 2 2 2 2 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 S 2P 18
19. 1 1 S x1 x2 P 3 3 3 3 x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) S 3PS 2 44 2 2 2 2 2 2 2 xx12 x1 x 2 2 x 1 x 2 =(S 2P) 2P 2 Ví dụ 1: Cho phương trình x 4x+m 1= 0. Xác định m để phương trình 22 cĩ hai nghiệm xx12 =10. Điều kiện pt cĩ nghiệm '≥0 5 m≥0 m≤5 2 S 2P = 10 m =4. 2 Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x -4x+m-1= 0 cĩ hai nghiệm x1, 3 3 x2 thỏa xệ thức x1 x2 40 Giải Phương trình cĩ nghiệm  ' 0 m 5 Theo giả thiết S3-3PS=40  64-12(m-1)=40  m= 4 (nhận) * Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm x1,x2 thì: x1< 0 < x2  P < 0 (hai nghiệm trái dấu) P 0 x1 x2 < 0  0 ( hai cùng âm) S 0 P 0 0 < x1 x2  0 (hai cùng dương) S 0 Ví dụ: cho phương trình x2+5x+3m-1 = 0 (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. Giải a) pt(1) có hai nghệm trái dấu c 1  P < 0  0 3m 1 0  m < a 3 P 0 b) để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  0  S 0 3m 1 0 25 12m 4 0 5 0 19
20. 1 m 3 29 1   m vậy khi thì pt(1) có hai nghiệm âm 29 12 3 m 12 phân biệt. II. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai 1. Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải: + đặt t=x2, đk: t≥ 0. + Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện x Ví dụ: Giải phương trình x4 8x2 9 = 0 Đặt y = x2 , y 0. Khi đó: 2 y -1 (loại) 2 (*) y -8y-9 = 0  với y = 9  x = 9  x = 3. y 9 Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = 0. Định m để : a) Phương trình vô nghiệm. b) Phương trình có đúng một nghiệm. c) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. d) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. e) Phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt. 2. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối. Các dạng cơ bản Dạng 1: |f(x)| = c (với c R) Nếu c<0 phương trình vơ nghiệm f() x c Nếu v≥0 thì |f(x)| = c f() x c Ví dụx : a) 3x 5 3 b) x 35 Dạng 2: |f( )|= |g( )|. Sử dụng phép biến đổi tương đương f()() x g x Cách 1: |f( )|= |g( )| f()() x g x Cách 2: |f( )|= |g( )| [f(x)]2 = [g(x)]2 (bình phương hai vế) Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x 2| Giải 20