Đề khảo sát năng lực học sinh môn Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát năng lực học sinh môn Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (5,0 điểm) a) Thực hiện phép tính: A= 100 +( 230 .3 − 21) :( − 3) + 2023 1 1 1 1 B= 1 − 1 − 1 − ... 1 − 2 3 4 2023 −5 − 30 − 1 1 5 b) Tìm số nguyên x sao cho: +1x + + + 7 7 6 3 6 Bài 2 (4,0 điểm) a) Ba khối 6, 7 và 8 của một trường THCS lần lượt có 132 học sinh, 156 học sinh, 108 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Hỏi có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có học sinh nào lẻ hàng? b) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Hỏi số đó chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 3 (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên x biết: 52x− 3−= 2.5 2 5 2 .3 6n+ 7 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số là phân số tối giản. 3n+ 2 c) Cho P= 1 + 3 + 32 + 3 3 + 3 4 + ... + 3 2022 . Chứng tỏ P không là số chính phương. Bài 4 (2,0 điểm) Một khu vườn có dạng hình vuông, sau khi mở rộng 2 m về cả bốn phía, mỗi phía thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 80 m2 (như hình vẽ). Người ta mua cây hoa hồng về trồng xung quanh khu vườn mới, mỗi cây cách nhau 1m. Tại 2 m 2 m một góc vườn, người ta làm một cổng ra vào rộng 2 m sao cho mỗi bên cổng đều trồng một cây. Tính số tiền phải trả để mua cây hoa hồng, biết mỗi cây hoa hồng có 2 m giá 120 000 đồng. Bài 5 (3,0 điểm) a) Cho đoạn thẳng AB có độ dài 6 cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho 2 AM= AB . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng MB. Tính độ dài đoạn thẳng AN. 3 b) Cho 30 điểm phân biệt trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng khác. Qua hai điểm vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng ? Bài 6 (1,0 điểm). Tìm ba số nguyên tố a, b, c biết a2+ b 2 + c 2 = 1398 ---HẾT--- Họ và tên học sinh:........................................ Số báo danh:...........................
2. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán 6 Câu Nội dung Điểm a) Thực hiện phép tính: A= 100 +( 230 .3 − 21) :( − 3) + 2023 1 1 1 1 1 B= 1 − 1 − 1 − ... 1 − (5,0đ) 2 3 4 2023 b) Tìm số nguyên x sao cho:−5 − 30 − 1 1 5 +1x + + + 7 7 6 3 6 A= 100 +( 230 .3 − 21) :( − 3) + 2023 A= 100 +( 8.3 − 21) :( − 3) + 1 0,75 A= 100 + 3:( − 3) + 1 A= 100 +( − 1) + 1 A= 100 0,75 Vậy A = 100 1 1 1 1 1a B= 1 − 1 − 1 − ... 1 − 2 3 4 2023 (3,0đ) 0,75 1 2 3 2022 B= . . ... 2 3 4 2023 1.2.3...2022 B = 2.3.4...2023 1 B = 0,75 2023 1 Vậy B = 2023 −5 − 30 − 1 1 5 +1x + + + 7 7 6 3 6 −5 − 30 − 1 5 1 + +1x + + 7 7 6 6 3 1,0 1b 21 (2,0đ) (−5) + 1 x + 33 −4 x 1 Vì xZ nên x − 3; − 2; − 1;0;1 1,0 Vậy a) Ba khối 6, 7 và 8 của một trường THCS lần lượt có 132 học sinh, 156 2 học sinh, 108 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số (4,5đ) hàng dọc của mỗi khối như nhau. Hỏi có thể xếp nhiều nhất thành mấy
3. Câu Nội dung Điểm hàng dọc để mỗi khối đều không có học sinh nào lẻ hàng? b) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Hỏi số đó chia cho 91 dư bao nhiêu? Gọi số hàng dọc nhiều nhất mỗi khối có thể xếp được là x (hàng) Ta có: 132 x ;156 x ;108 x 0,5 Nên x là ƯCLN(132, 156, 108) 2a 0,75 Ta có: 132= 22 .3.11 ; 156 = 2 2 .3.13 ; 108 = 2 2 .3 3 (2,0đ) 2 ƯCLN (132, 156, 108) = 2 .3= 12 0,5 x= 12 Vậy mỗi khối có thể xếp được nhiều nhất 12 hàng dọc. 0,25 Gọi số tự nhiên cần tìm là x. 0,5 Ta có: x : 7 (dư 5) và x :13(dư 4) Nên x+ 9 7 và x+ 9 13 0,5 2b x+ 9 là BC(7, 13) (2,0đ) x + 9 là bội của 91 x+ 9 91 0,5 x :91(dư 82) 0,5 Vậy x chia cho 91 dư 82. a) Tìm số tự nhiên x biết: b) Chứng minh rằng vớ2xi −m 3ọi số 2tự nhiên 2 n thì phân số là phân số 3 5−= 2.5 5 .3 (5,0đ) tối giản. 6n+ 7 c) Cho P= 1 + 3 + 32 + 3 3 + 3 4 + ... + 3 2022 . Chứng t3nỏ P+ không 2 là số chính phương. 52x− 3−= 2.5 2 5 2 .3 0,5 52x− 3=+ 5 2 .3 2.5 2 52x− 3=+ 5 2 (3 2) 3a 52x− 3= 5 2 .5 1,0 (2,0đ) 552x− 3= 3 2x−= 3 3 x3= 0,5 Vậy x = 3 Gọi ƯC của 6n + 7 và 3n + 2 là d (dN *) 0,25 Ta có: 6n+ 7 d và 3n+ 2 d +6n 7 d và 2(3n+ 2) d 0,5 và 6n+ 4 d 3b (6n + 7) −( 6n + 4) d 0,25 (1,5đ) 6n + 7 − 6n − 4 d 3d d là ước của 3 0,5 d 1; 3 Vì 3n + 2 không chia hết cho 3 nên d = 1
4. Câu Nội dung Điểm Vậy chứng tỏ phân số đã cho tối giản với mọi số tự nhiên n. P= 1 + 3 + 32 + 3 3 + 3 4 + ... + 3 2022 3P= 3 + 32 + 3 3 + 3 4 + ... + 3 2022 + 3 2023 2P=− 32023 1 0,5 312023 − 3c P = (1,5đ) 2 505 Có 32023= 3 2020 .3 3 =( 3 4) .27 = 81 505 .27 = ...1. 27 = ...7 0,5 P có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 Vì số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 3 và 8 0,5 Vậy chứng tỏ P không là số chính phương. Một khu vườn có dạng hình vuông, sau khi mở rộng về cả bốn phía, mỗi phía thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 80 m2 (như hình vẽ). Người ta mua cây hoa hồng về trồng xung quanh khu vườn mới, mỗi cây cách nhau 1m. Tại một góc vườn, người ta làm một cổng ra vào rộng 2 m sao cho mỗi bên cổng đều trồng một cây. Tính số tiền phải trả để mua cây hoa hồng, biết mỗi cây hoa hồng có giá 120 000 đồng. Chia phần đất tăng thêm thành 4 hình chữ nhật bằng nhau có một cạnh là 2m như hình vẽ: 4 (2,0đ) 0,5 2 m 2 m Diện tích một hình chữ nhật là 80 : 4 = 20 (m2) 2 m 0,5 Chiều dài một hình chữ nhật là 20 : 2 = 10 (m) Cạnh khu vườn hình vuông mới là 10 + 2 = 12 (m) 2 m 0,5 Chu vi của khu vườn hình vuông mới là 12 . 4 = 48 (m) Số cây hoa hồng để trồng là 48 : 1 – 1 = 47 (cây) 0,5 Số tiền phải trả để mua cây hoa hồng là 47 . 120000 = 5 640 000 (đồng). a) Cho đoạn thẳng AB có độ dài 6 cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB 2 AM= ABsao cho . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng MB. Tính độ 3 5 dài đoạn thẳng AN. (3,0đ) b) Cho 30 điểm phân biệt trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng khác. Qua hai điểm vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? 5a A M N B 0,25 (1,5đ)
5. Câu Nội dung Điểm 22 Có AM= AB = .6 = 4(cm) 0,25 33 Vì M nằm giữa A và B nên AM + MB = AB 0,5 Thay số và tính được MB = 2 cm. 11 Vì N là trung điểm của MB nên MN= MB = .2 = 1(cm) 0,25 22 Vì M nằm giữa A và N nên AM + MN = AN 0,25 Thay số và tính được AN = 5 cm. Giả sử trong 30 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chọn một điểm nối với 29 điểm còn lại vẽ được 29 đường thẳng. 0,5 Làm như thế với 30 điểm vẽ được 29.30 đường thẳng. Như vậy mỗi đường thẳng đã được tính hai lần. 5b 0,5 Thực vẽ được (29.30) : 2 = 435 (đường thẳng) (1,5đ) Qua 5 điểm thẳng hàng chỉ vẽ được 1 đường thẳng. 0,25 Với 5 điểm không thẳng hàng vẽ được (4.5) : 2 = 10 (đường thẳng) Số đường thẳng giảm đi là 10 – 1 = 9 (đường thẳng) 0,25 Vậy vẽ được số đường thẳng là 435 – 9 = 426 (đường thẳng). Tìm ba số nguyên tố a, b, c biết a2+ b 2 + c 2 = 1398 Vì tổng là số chẵn nên phải có ít nhất một số hạng là số chẵn. 0,5 Giả sử a2 là số chẵn a chẵn =a2 b22 + c = 1394 là số chẵn b22 ; c cùng tính chẵn lẻ 0,25 6 22 (1,0đ) + Nếu b ; c cùng chẵn thì b = c = 2 (loại) + Nếu cùng lẻ Vì là các số chính phương nên chữ số tận cùng có thể là 1, 5, 9 22 Mà b+= c 1394 nên b2 hoặc c2 phải có tận cùng là 5. 0,25 Giả sử b2 có tận cùng là 5. Vì b là số nguyên tố nên b = 5 Thay a = 2 , b = 5 tìm ra c = 37. Vậy 3 số cần tìm là 2; 5; 37. * Lưu ý: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học 5a, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. - HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25 điểm. tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.