Bài giảng Đại số lớp 11 - Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Nội dung text: Bài giảng Đại số lớp 11 - Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

1. TÍNH TUẦN HỒN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Điện tâm đồ
2. 1. Tính tuần hoàn của hàm số y f(x+2L)f(x+3L)f(x)f(x+L) (C): y=f(x) x x x+L x+2L x+3L L L L f(x) = f(x+L)= f(x+2L)= f(x+3L)=
3. 1. Tính tuần hoàn của hàm số y f(x+3L)f(x+2L)f(x)f(x+L) (C): y=f(x) x x x+L x+2L x+3L f(x) = f(x+L) = f(x+2L) = f(x+3L)= Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác dịnh trên tập D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu ta tìm được 1 số dương L sao cho với mọi x D ta có : 1/ x ± L D 2/ f(x ± L) = f(x) Số nhỏ nhất trong các số L thỏa 2 điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn.
4. 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác * Hàm số y=sinx và y=cosx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T=2 Chứng minh: định nghĩa hsố tuần hoàn ? Lấy số L=2 . Miền xác định của hàm số y=sinx là R Nhận xét : nếu x R thì x+2 R và x-2 R và : sin(x+2 )= sinx và sin(x-2 )= sinx , x R Ta chứng minh số 2 là chu kỳ của nó: Giả sử số L thỏa điều kiện định nghĩa và : 0< L< 2 . Suy ra : x R : sin(x± L) = sinx Với x= /2 ta có : sin( /2+L)=1 . Suy ra /2+L = /2+K2 . Vậy L= k2 (k Z) (*) Nhưng vì 0<L<2 nên (*) không thể xảy ra được. Vậy số nhỏ nhất thỏa định nghĩa là T=2
5. * Hàm số y=tgx và y=cotgx là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T= Chứng minh: tương tự như đối với hàm số y=sinx π Chú ý rằng : D=+ R \  kπ 2
6. 3/ Đồ thị của hàm số tuần hoàn Ta vẽ đồ thị (C0) của hàm số trong 1 khoảng có độ dài bằng chu kỳ T, chẳng hạn đoạn [0;T] Gọi v là vectơ có độ dài bằng T và cùng phương với Ox Lần lượt tịnh tiến liên tiếp (C0) theo vectơ v , 2v, 3v ta được toàn bộ đồ thị của hàm số. y (C0): y=f(x) x v
7. 4. Khảo sát các hàm số lượng giác 4.1. Hàm số y=sinx x R: sin(-x)= -sinx : hàm số sin là 1 hàm số lẻ Vì hàm số y =sinx tuần hoàn và có chu kỳ T=2 nên ta chỉ cầân khảo sát nó trên đoạn [0;2 ] x 0 /2 3 /2 2 1 y 0 0 0 -1 y v 1 π π 3π 2π x 2 2 -1
8. 4.2. Hàm số y=cosx (tương tự) x R: cos(-x)= cosx : hàm số cos là 1 hàm số chẵn Vì hàm số y =cosx tuần hoàn và có chu kỳ T=2 nên ta chỉ cầân khảo sát nó trên đoạn [- /2 ; 3 /2] x - /2 0 /2 3 /2 1 y 0 0 -1 0 y v 1 3π −π π 2 x 2 π 2 -1
9. 4.3 Hàm số y=tgx π Hàm số y=tgx xác định với mọi x : xk +π 2 x /2+k : tg(-x)= -tgx : hàm số tang là 1 hàm số lẻ Vì hàm số tang là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T= . Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T, chẳng hạn khoảng (- /2 ; /2) x - /2 0 /2 + y 0 −
10. Đồ thị hàm số y = tgx y 3π π π 3π − − 2 2 2 2 2π x
11. 4.4 Hàm số y=cotgx Hàm số y=cotgx xác định với mọi x :xk π x k :cotg(-x)= -cotgx : hàm số cotang là 1 hàm số lẻ và là 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ T= . Do đó ta chỉ cần khảo sát nó trên 1 khoảng có chiều dài bằng T, chẳng hạn khoảng (0; ) x 0 /2 + y 0 −
12. Đồ thị hàm số y=cotgx y −π π 2π x π π 3π − 2 2 2