Bài giảng Hình học lớp 12 - Chương 1: Ôn tập sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm bậc ba

Nội dung text: Bài giảng Hình học lớp 12 - Chương 1: Ôn tập sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm bậc ba

1. SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BA y= ax32 + bx + cx + d ( a 0) Tổ Toán, trường THPT Hồng Ngư 2, Đồng Tháp
2. I. Kiến thức trọng tâm Cho hàm số bậc ba y= ax32 + bx + cx + d ( a 0) có đạo hàm y =32 ax2 + bx + c khi đó: Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi a 0 yx 0,  2 bc− 3a 0 Hàm số đã cho nghịch biến trên khi và chỉ khi a 0 yx 0,  2 bc− 3a 0
3. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt bc2 −3a 0 Hàm số đã cho không có cực trị khi và chỉ khi y = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bc2 −3a 0
4. ĐỒ THỊ MINH HỌA Dấu của a Điều kiện a 0 a 0 y y y y 2 yCĐ 1 yCĐ y’=0 có hai nghiệm y y x yCT 1 x phân biệt x1 < x2 2 CT CĐ yCT O x x2 x x x 1 O x1 2 xCĐ xCT y y y’=0 có nghiệm kép O x O x y’=0 vô nghiệm
5. II. Phương pháp xét sự biến thiên và tìm cực trị:  Tìm y’  Giải phương trình y’ = 0  Lập bảng biến thiên  Kết luận
6. III. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: x − −1 3 + y − 0 + 0 − + y 2 −1 − Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥; - 1) . B. (-1; + ¥ ) . C. (- 1;3) . D.(3;+¥ ) . Hướng dẫn giải Chọn đáp án C
7. Ví dụ 2: 1 Hàm số y= x32 − x +1 nghịch biến trên khoảng nào? 3 A. (− ;0) B. (0;2) C. (2; + ) D.(− ; + ) Hướng dẫn giải Ta có: y =− x2 2 x 2 x = 0 y =0 x − 2 x = 0 x = 2 Bảng biến thiên x − 0 2 + y + − + y Chọn đáp án B
8. Ví dụ 3: Cho hà m só y = f(x) co ba ng biế n thiên như sau: x − 0 3 + xCĐ xCT y + − + 2 + y − yCĐ −4 y Giá trị cực tiểu của hàm số bằng CT A. 3 B. 2 C. 0 D. −4 Hướng dẫn giải Chọn đáp án D
9. Ví dụ 4: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y= x32 −6 x + 9 x A.(3;0) B. (1;4) C. x =1 D. x = 3 Hướng dẫn giải Ta có: y =3 x2 − 12 x + 9 2 x =1 y =0 3 x − 12 x + 9 = 0 x = 3 Bảng biến thiên x − 1 3 + y + − + + y 4 0 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là (3;0). Chọn đáp án A
10. Ví dụ 5: Cho Hàm số y = x3 + 3x +2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; + ∞) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ∞; + ∞) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞; + ∞) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; + ∞) . Hướng dẫn giải Ta có, f’ (x) = 3 x2 + 3 > 0 với mọi x Chọn đáp án C
11. Ví dụ 6: Hàm số y = x3 - 3x2 +1 có mấy điểm cực trị ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải 2 x = 0 y =0 3 x − 6 x = 0 x = 2 Do đó, Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. Chọn đáp án C
12. Ví dụ 7: Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai? y A. Hàm số đồng biến trên (1;+¥ ) . 1 B. Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;1 - ) −2 O 1 −1 x C. Hàm số nghịch biến trên (- 1;1) . D. Hàm số đồng biến trên (-¥;0) −3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án D
13. Ví dụ 8: Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai? y A. Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị. 1 B. Cực đại của hàm số bằng 1 −2 O 1 x C. Phương trình y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt. −1 D. Điểm cực đại của hàm số bằng 1 −3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án D
14. Ví dụ 9: Cho hàm số fx( )có đạo hàm fx¢( ) xác định, liên tục trên ¡ fx¢ và ( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sauy đây là đúng? 1 1;+¥ . O A. Hàm số đồng biến trên ( ) −1 3 x B. Hàm số đồng biến trên (- 1;3) . C. Hàm số nghịch biến trên (-¥;1) . D. Hàm số đồng biến trên (- ¥;1 - ) và (3;+¥ ) . Hướng dẫn giải Bảng biến thiên x − −1 3 + y + 0 − + y Chọn đáp án D
15. Ví dụ 10: Cho hàm số fx( )có đạo hàm fx¢( ) xác định, liên tục trên ¡ và fx¢( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? y A. Hàm số đạt cực đại tại x = 1. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3. −1 3 x C. Hàm không có cực trị. O 1 D. Hàm số đạt cực đại tại x =-1. Hướng dẫn giải Bảng biến thiên x − −1 3 + y − 0 + 0 − y Chọn đáp án B
16. Ví dụ 11: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ( - ¥ ; + ¥ ) ? A. y=3 x3 + 3 x - 2. B. y=2 x3 - 5 x + 1. x - 2 C. y=+ x423. x D. y = . x + 1 Hướng dẫn giải Đặc trưng hàm trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là không đồng biến trên ( - ¥; + ¥ ). Loại C và D. Xét đáp án A, ta có TXĐ: D =( - ¥; + ¥ ) Đạo hàm: y'= 3 x2 + 3 > 0, " x Î( - ¥ ; + ¥ ) Chọn đáp án A.
17. Ví dụ 12: Cho hàm số y = - x 32 - mx + ( 4 m + 9 ) x + 5 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ . A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Vì a = -1<0 nên ycbt Ûb2 -30 ac £ Û( -mm)2 -3.( - 1) .( 4 + 9) £ 0 Ûmm2 +12 + 27 £ 0 Û -93 £m £ - ¾m ¾Î ¢ ¾®m ={ -9; - 8; ; - 3} . Chọn đáp án D.
18. Ví dụ 13: Cho hàm số y = ( m 2 - 1 ) x 3 + ( m - 1 ) x 2 - x + 4 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ . A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải ém =-1 am=0 Û2 - 1 = 0 Û ê TH1: ê ëm = 1 ⚫ Với m = 1 , ta có yx = - + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên Do đó, ta nhận m = 1. ⚫ Với m =- 1 , ta có y = - 24 x 2 - x + là phương trình của một parabol nên hàm số không thể luôn nghịch biến trên Do đó, ta loại m = -1.
19. Ví dụ 13: Cho hàm số y = ( m 2 - 1 ) x 3 + ( m - 1 ) x 2 - x + 4 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ . A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải ïì m =-1 TH2: am¹0 Û2 - 1 ¹ 0 Û íï Khi đó: îï m = 1 ì 2 ì a < 0 ï m -<10 ï Û ï YCBT Û í í 2 2 2 ï mm-1 + 3 - 1 £ 0 îï b-£30 ac îï ( ) ( ) ïì -11 <m < ïì -11 <m < ï 1 Û íï Û í 1 Û - £m < 1 ï 4mm2 - 2 - 2 £ 0 ï - £m £ 1 2 îï ï 2 ¾m ¾Î ¢ ¾®m = 0 î Kết hợp TH1 và TH2, ta có: m = 0, m = 1. Chọn đáp án C.
20. Ví dụ 14: Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y= x32 -36 mx + mx + m có hai điểm cực trị là A. (0;2) . B. (- ¥;0) È( 2; + ¥ ) . C. (0;- 6) . D.(- ¥; - 6) È( 0; + ¥ ) . Hướng dẫn giải 2 YCBTÛ b2 -30 ac > Û( -3mm) - 3.1.6 > 0 Û9mm2 - 18 > 0 Ûmm 2 Chọn đáp án B.
21. Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=( m -3) x32 - 2 mx + 3 không có cực trị là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải TH1: a=0 Û m - 3 = 0 Û m = 3. Với m = 3 , ta có yx = - 63 2 + là phương trình của một parabol nên luôn có một cực trị. Do đó, ta loại m = 3. TH2: a¹0 Û m - 3 ¹ 0 Û m ¹ 3. YCBTÛ b2 -30 ac £ Û( -2mm)2 - 3.( - 3) .0 > 0 Û£40m2 Û=m 0 Kết hợp TH1 và TH2, ta có: m = 0. Chọn đáp án B.
22. ☺ CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!