Chuyên đề Các bài toán rút gọn (Ôn thi vào Lớp 10)

Nội dung text: Chuyên đề Các bài toán rút gọn (Ôn thi vào Lớp 10)

1. TRƯỜNG THCS TIÊN YÊN TỔ : KHTN CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN (ÔN THI VÀO LỚP 10) Người báo cáo : Nguyễn Thị Đường Tổ: Khoa Học Tự Nhiên Năm học : 2023 - 2024
2. CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN – ÔN THI VÀO 10 Người báo cáo: Nguyễn Thị Đường Tổ : Khoa học tự nhiên Ngày báo cáo: 11/2023 --------------------------------------------------------------------- A. Các công thức biến đổi : 2 A nÕu A 0 1. A A A nÕu A < 0 2. AB A. B (Với A 0; B 0 ) A A 3. (Với A 0; B 0 ) B B 4. A2 B A B (Với B 0) 5. A B A2 B (Với A 0; B 0 ) 6. A B A2 B (Với A 0; B 0 ) A 1 7. AB (Với A 0; B 0 ) B B A A B 8. (Với B 0 ) B B C C A B 2 9 (Với A 0;A B ) A B A B 2 C C A B 10 (Với A 0; B 0; A B ) A B A B 3 11 3 A 3 A3 A B. Bài tập vận dụng: Cách tìm ĐKXĐ của một biểu thức trong bài toán rút gọn.
3. Biểu thức- ĐKXĐ: Ví dụ 1. A ĐKXĐ: A 0 Ví dụ: x 2018 ĐKXĐ: x 2018 A x 4 2. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 7 B x 7 A x 1 3. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 A x x 0 4. ĐKXĐ: A 0; B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 x 3 A 0 x 1 0 A B 0 x 1 x 2 0 x 2 5. ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ: B A 0 x 2 x 1 0 x 1 B 0 x 2 0 Cho a > 0 ta có: 2 x 1 6. 2 x a Ví dụ: x 1 x a x 1 x a Cho a > 0 ta có: 7. Ví dụ: x2 4 2 x 2 x2 a a x a Dạng I . Rút gọn biểu thức số : Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: (Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương) M 45 245 80 N 5 8 50 2 18 P 125 4 45 3 20 80 A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3 Hướng dẫn giải M 45 245 42.5 N 5 8 50 2 18 P 5 5 12 5 6 5 4 5 32.5 72 5 42.5 5.2 2 5 2 2.3 2 5 5 3 5 7 5 4 5 6 5 10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2 A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3 2 3 3 3 4 3 2 3 3 32.3 102.3 (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3 3 2 3 3.3. 3 10 3 5 3 : 3 5 3
4. Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán. A2 B A B ( B 0 ) Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: (Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức A2 A ) 2 2 2 2 2 2 a) 3 2 2 3 2 2 b) 5 2 6 5 2 6 c) 2 3 1 3 2 2 2 2 2 2 d) 3 2 1 2 e) 5 2 5 2 f) 2 1 2 5 Giải mẫu: 2 2 a) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6 2 A nÕu A 0 Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A A A nÕu A 0 Kết quả: b) 4 6 c) 1 d) 4 e) 2 5 f) 2 2 4 Bài 3: Rút gọn biểu thức ( Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức) a) A 4 2 3 b) B 8 2 15 c) C 9 4 5 d) D 7 13 7 13 1 e) E 6 2 5 6 2 5 f) F 7 2 10 20 8 2 Hướng dẫn giải 2 a) A 4 2 3 3 1 3 1 2 b) B 8 2 15 15 1 15 1 2 c) C 9 4 5 2 5 5 2 1 d) D 7 13 7 13 14 2 13 14 2 13 2 1 2 2 13 1 13 1 2 2 e) E 6 2 5 6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1 ( 5 1)2 ( 5 1)2 | 5 1| | 5 1| 5 1 5 1 2
5. 1 2 1 f) F 7 2 10 20 8 5 2 2 5 .2 2 2 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 2 3 5 Bài 4: Rút gọn biểu thức: (áp dụng các kiến thức tổng hợp) 6 2 5 5 2 6 3 4 1 A B 5 1 3 2 5 2 6 2 6 5 1 1 1 1 1 C ... D 7 4 3 1 2 2 3 3 4 99 100 2 3 3 3 4 3 4 1 2 2 E F 2 3 1 5 2 3 2 3 6 3 3 Hướng dẫn giải 6 2 5 5 2 6 5 1 3 2 a) A 2 5 1 3 2 5 1 3 2 3 4 1 3 5 2 4 6 2 b) B 6 5 5 2 6 2 6 5 3 4 5 2 6 2 6 5 2 6 1 1 1 1 c) C ... 1 2 2 3 3 4 99 100 2 1 3 2 4 3 ... 100 99 9 1 1 1 2 d) D 7 4 3 4 4 3 3 (2 3) 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 (2 3)(2 3) 1 3 3 4 3 4 3 3 4 2 3 1 3 4 5 2 3 e) E 2 2 2 3 1 5 2 3 2 3 1 52 2 3 22 11 3 26 13 3 2 3 2 3 11 13 4 2 3 4 2 3 1 2 2 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 .( 2) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 f) F 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3
6. 2 3 4 2 3 2 2. 3 3 1 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 3 3 1 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 Kinh nghiệm: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác. Bài 5: Thu gọn các biểu thức sau: (Luyện dạng đề 01) 1 3 - 3 a) A = 18 - 2 50 + 3 8 b) B = 27 - 6 + 3 3 5 c) C = - 8 - 2 7 + 2 7 + 2 Hướng dẫn giải a) A = 18 - 2 50 + 3 8 = 32.2 - 2 52.2 + 3 22.2 = 3 2 - 10 2 + 6 2 = - 2 1 3 - 3 3 b) B = 27 - 6 + = 32.3 - 6. + 1- 3 = 3 3 - 2 3 + 1- 3 = 1 3 3 3 5 5( 7 - 2) c) C = - 8 - 2 7 + 2 = - 7 - 2 7 + 1 + 2 7 + 2 ( 7 + 2)( 7 - 2) 2 = 7 - 2 - ( 7 - 1) + 2 = 7 - 2 - 7 - 1 + 2 = 7 - 2 - ( 7 - 1)+ 2 = 1( Vì 7 > 1) Bài 6: Thực hiện phép tính: (Luyện dạng đề 02) 1 33 1 a) 48 - 2 75 - + 5 1 2 11 3 b) 6 + 2 5 - 6- 2 5 - 3 8 c) 5 2a - 50a - 2 a3 + 4 32a với a ³ 0
7. Hướng dẫn giải 1 33 1 1 3. 11 4 a) 48 - 2 75 - + 5 1 = 42.3 - 2 52.3 - + 5 2 11 3 2 11 3 22 10 3 - 17 3 = 2 3 - 10 3 - 3 + 5 = - 9 3 + = 3 3 3 b) 6 + 2 5 - 6 - 2 5 - 3 8 = 5 + 2 5 + 1 - 5 - 2 5 + 1 - 3 23 2 2 = ( 5 + 1) - ( 5 - 1) - 2 = 5 + 1 - 5 - 1 - 2 = 5 + 1- 5 + 1- 2( Vì 5 > 1) = 0 c) 5 2a - 50a - 2 a3 + 4 32a = 5 2a - 52.2a - 2 a2.a + 4 42.2a = 5 2a - 5 2a - 2 a a + 16 2a = - 2a a + 16 2a ( Vì a ³ 0) Bài tập tự luyện Tính giá trị của biểu thức: æ1 ö A = ç 28 - 12 - 7÷ 7 + 2 21 ĐS: 0 èç2 ø÷ 2 2 æ 1 1 ö B = ( 3 + 1) + 2 ( 3 - 2) - 4ç - ÷ ĐS: 4 èç 3 - 1 3 + 1ø÷ C = 18 - 3 8 + 6 2 ĐS: 3 2 2 9 16 D = 25 - + 144 ĐS: 12 5 2 81 4 6 2 E = - + ( 3 - 5) ĐS: 3 3 + 6 3 + 1 3 - 3 F = ( 24 - 48 - 6). 6 + 12 2 ĐS: 6 æ ö ç 1 16 ÷ 1 G = ç - + 5÷: 20 ĐS: èç 5 5 ø÷ 5 H = 21+ 3 48 - 21- 3 48 ĐS: 6 2 Hướng dẫn ý H : 21± 3 48 = (2 3 ± 3)
8. Dạng 2 . Rút gọn biểu thức chứa chữ và bài toán phụ  Cách rút gọn. Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn. x + 2 x - 10 x - 2 1 Bài 1: Cho biểu thức Q = - - (x ³ 0; x ¹ 9) x - x - 6 x - 3 x + 2 1. Rút gọn biểu thức Q 2. Tính giá trị của Q khi x = 16 1 3. Tìm giá trị của x khi Q = 3 1 4. Tìm giá trị của x sao cho Q > 9 5. Tìm giá trị lớn nhất của Q . Hướng dẫn giải 1. Với x ³ 0; x ¹ 9 thì x + 2 x - 10 x - 2 1 x + 2 x - 10 x - 2 1 Q = - - = - - x - 3 x + 2 x - 6 x - 3 x + 2 x ( x - 3)+ 2( x - 3) x - 3 x + 2 x + 2 x - 10 x - 2 1 = - - ( x - 3)( x + 2) x - 3 x + 2 x + 2 x - 10- ( x - 2)( x + 2)- ( x - 3) = ( x - 3)( x + 2) x + 2 x - 10- x + 4- x + 3 = ( x - 3)( x + 2) x - 3 1 = = ( x - 3)( x + 2) x + 2 1 Vậy với x ³ 0; x ¹ 9 thì Q = x + 2 2. Thay x = 16 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 9 ) vào Q ta được:
9. 1 1 1 Q = = = 16 + 2 4 + 2 6 1 Vậy khi x = 16 thì Q = 6 1 1 1 3. Q = Û = Û 3 = x + 2 Û x = 1 Û x = 1( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 9 ) 3 x + 2 3 1 Vậy với x = 1 thì Q = 3 1 1 1 1 1 9- x - 2 7- x 4. Q > Û > Û - > 0 Û > 0 Û > 0 (1) 9 x + 2 9 x + 2 9 x + 2 x + 2 Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 9 nên x + 2 > 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 9 Þ (1)Û 7- x > 0 Û x < 7 Û x < 49 ïì 0 £ x < 49 Kết hợp với điều kiện x ³ 0; x ¹ 9 nên íï îï x ¹ 9 ïì 0 £ x < 49 1 Vậy với íï thì Q > îï x ¹ 9 9 5. Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 9 nên x + 2 ³ 2 với mọi x ³ 0; x ¹ 9 1 1 Þ £ với mọi x ³ 0; x ¹ 9 x + 2 2 1 Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng khi x = 0 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 9 ) 2 3 x 2 2 x 3 3 3 x 5 Bài 2: Cho biểu thức P . x 1 3 x x 2 x 3 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị của P, biết x 4 2 3 ; c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x 0; x 9 . 3 x 2 2 x 3 3 3 x 5 a) P x 1 x 3 x 1 x 3
10. 3 x 2 x 3 2 x 3 x 1 3 3 x 5 x 1 x 3 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3 9 x 15 x 1 x 3 5x 17 x 6 x 1 x 3 5x 15 x 2 x 6 x 1 x 3 5 x 2 x 3 5 x 2 . x 1 x 3 x 1 2 b) Ta có x 4 2 3 3 1 x 3 1 ; 5 3 1 2 5 3 3 5 3 3 2 3 Do đó: P 7 3 9 . 3 1 1 3 2 3 2 2 3 5 x 2 5 x 5 7 c) Ta có P x 1 x 1 7 P 5 x 1. 7 7 Vì 0 nên P có giá trị nhỏ nhất lớn nhất x 1 x 1 x 1 nhỏ nhất x 0 . Khi đó min P 5 7 2 . x 1 2 x 5 x 2 3 x x Bài 3: Cho biểu thức Q : x 2 x 2 4 x x 4 x 4 a) Rút gọn Q; b) Tìm x để Q 2 ; c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm. Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x 0; x 4; x 9 .
11. x 1 2 x 5 x 2 3 x x a) Q : x 2 x 2 4 x x 4 x 4 x 1 x 2 2 x x 2 5 x 2 x 3 x : 2 x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 2x 4 x 5 x 2 x 2 . x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x x 2 . x 2 x 2 x 3 x 2 x x 2 x 2 x 2 . x 2 x 2 x 3 x x 3 x 2 b) Q 2 2 x 3 x 2 2 x 6 x 8 x 8 x 64 .(Thỏa mãn ĐKXĐ). x 2 c) Q 0 0 x 3 x 3 0 (vì x 2 0 ) x 3 x 9. Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q 0 khi 0 x 9 và x 4 . a 3 a 2 Bài 4: Cho biểu thức B với a 0; a 9 a 3 a 3 a 9 a) Rút gọn B. b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên Hướng dẫn giải a) Với a 0; a 9 ta có: a 3 a 2 a 3 a 2 B = a 3 a 3 a 9 a 3 a 3 ( a 3)( a 3) a( a 3) 3( a 3) a 2 ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3)
12. a 3 a 3 a 9 a 2 11 a 3)( a 3) a 9 11 b) Để B Z Z 11(a 9) (a 9) Ư (11) a 9 Ư (11) 1;11; 1; 11 . Khi đó ta có bảng giá trị a 9 -11 -1 1 11 a -2 8 10 20 Không thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Vậy a 8;10;20 thì B Z x 2 x x 1 1 2x 2 x Bài 5: Cho biểu thức A ( Với x 0, x 1) x x 1 x x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên. Hướng dẫn giải x 2 a) A . x x 1 b) Cách 1: Với x 0, x 1 x x 1 x 1 1. x 2 x 2 1 Vậy 0 A 1 2. x x 1 x 1 x 1 x 2 Vì A nguyên nên A = 1 1 x 1( Không thỏa mãn). x x 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên. Cách 2: Dùng miền giá trị x + 2 A = Û Ax+ (A - 1) x + A - 2 = 0 x + x + 1 Trường hợp 1: A 0 x 2 x  1 Trường hợp 2: A 0 (A 1)2 4A(A 2) 3A2 6A 1 0 A2 2A 0 3 4 4 A2 2A 1 (A 1)2 A 1;2doA Z, A 0 3 3 Với A = 1 => x = 1 ( loại) x 2 Với A = 2 2 x 0 ( loại). x x 1
13. x - 3 x - 2 9- x Bài 6: Cho biểu thức P = + - với x ³ 0; x ¹ 4 2- x 3+ x x + x - 6 a) Rút gọn P 7 b) Tìm x để P = 12 1 c) Tìm x để P > 2 1 d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. P e) Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của x để P nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn giải x - 3 x - 2 9- x a) Với x ³ 0; x ¹ 4 thì P = + - 2- x 3+ x x + 3 x - 2 x - 6 x - 3 x - 2 9 - x = + - 2 - x 3 + x x ( x + 3)- 2( x + 3) x - 3 x - 2 9 - x = + - 2 - x 3 + x x ( x + 3)- 2( x + 3) x - 3 x - 2 9 - x = - + - x - 2 3 + x ( x + 3)( x - 2) 2 - ( x - 3)( x + 3)+ ( x - 2) - 9 + x = ( x + 3)( x - 2) 2 2 9 - x + ( x - 2) - 9 + x ( x - 2) x - 2 = = = ( x + 3)( x - 2) ( x + 3)( x - 2) x + 3 x - 2 Vậy với x ³ 0; x ¹ 4 thì P = x + 3 7 x - 2 7 b) P = Û = Û 12 x - 24 = 7 x + 21 Û 5 x = 45 12 x + 3 12 Û x = 9 Û x = 81 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 4 )
14. 7 Vậy với x = 81 thì P = 12 1 x - 2 1 x - 2 1 2 x - 4- x - 3 x - 7 c) P > Û > Û - > 0 Û > 0 Û > 0 (3) 2 x + 3 2 x + 3 2 2( x + 3) x + 3 Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 4 nên x + 3> 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 4 Nên (3)Û x - 7 > 0 Û x > 7 Û x > 49 Kết hợp với điều kiện x ³ 0; x ¹ 4 . 1 Vậy x > 49 thì P > 2 1 x + 3 x - 2 + 5 5 d) Ta có = = = 1+ P x - 2 x - 2 x - 2 1 5 nguyên Û nguyên Û 5M( x - 2) Û x - 2 là Ư (5)= {± 1;± 5} P x - 2 Lập bảng: x - 2 -1 1 -5 5 x 1 3 -3 7 x 1 9 49 Thỏa mãn Thỏa mãn Loại Thỏa mãn 1 Vậy x Î {1;9;49} thì nguyên. P x - 2 x + 3- 2 2 e) Ta có P = = = 1- x + 3 x + 3 x + 3 2 Vì > 0 nên P < 1 với mọi x ³ 0; x ¹ 4 x + 3 2 2 2 2 2 2 1 Mà x + 3 ³ 3 Þ £ Þ - ³ - Þ 1- ³ 1- = x + 3 3 x + 3 3 x + 3 3 3 1 Do đó £ P < 1. Vậy không có giá trị hữu tỷ nào của x để P nguyên. 3 1 x 1 1 x Bài 7: Cho biểu thức P 1 : , (với x 0 và x 1). x x x x
15. a) Rút gọn biểu thức P . b) Tính giá trị của biểu thức P tại x 2022 4 2018 2022 4 2018 . Hướng dẫn giải 1 x 1 a) Ta có 1 x x x 1 1 x x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Và nên P . . x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 2 2 b) Có x 2022 4 2018 2022 4 2018 2018 2 2018 2 2018 2 2018 2 2018 2 2018 2 4 thỏa mãn điều kiện x 0 và x 1. 4 1 3 + Vậy giá trị của biểu thức P tại x 4 là: . 4 2 x 2 3 20 2 x Bài 8: Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 25 . x 5 x 5 x 25 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 1 b) Chứng minh rằng B . x 5 c) Tìm tất cả các giá trị của x để A B. x 4 . Hướng dẫn giải a) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 9 2 3 2 5 Khi x 9 ta có A 9 5 3 5 2 1 b) Chứng minh rằng B . x 5 3 20 2 x 3 20 2 x Với x 0, x 25 thì B x 5 x 15 x 5 x 5 x 5 3 x 5 20 2 x 3 x 15 20 2 x x 5 1 (đpcm) x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
16. c) Tìm tất cả các giá trị của để A B. x 4 . Với x 0, x 25 Ta có: A B. x 4 x 2 1 . x 4 x 2 x 4 (*) x 5 x 5 Nếu x 4, x 25 thì (*) trở thành : x 2 x 4 x x 6 0 x 3 x 2 0 Do x 2 0 nên x 3 x 9 (thỏa mãn) Nếu 0 x 4 thì (*) trở thành : x 2 4 x x x 2 0 x 1 x 2 0 Do x 2 0 nên x 1 x 1 (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x 1 và x 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2(x + 4) x 8 Bài 9: Cho biểu thức B = + - với x ³ 0;x ¹ 16 x - 3 x - 4 x + 1 x - 4 a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị của x để B = 1 3 c) Tính giá trị của x sao cho B không vượt quá 2 d) Tìm giá trị của B khi x thỏa mãn đẳng thức 2x - 1 = x e) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. Hướng dẫn giải 2(x + 4) x 8 a) Với x ³ 0;x ¹ 16thì B = + - x + x - 4 x - 4 x + 1 x - 4 2(x + 4) x 8 2(x + 4) x 8 = + - = + - x ( x + 1)- 4( x + 1) x + 1 x - 4 ( x - 4)( x + 1) x + 1 x - 4 2x + 8+ x ( x - 4)- 8( x + 1) 2x + 8+ x - 4 x - 8 x - 8 3x - 12 x = = = = ( x - 4)( x + 1) ( x - 4)( x + 1) ( x - 4)( x + 1) 3 x ( x - 4) 3 x 3 x = Vậy với x ³ 0;x ¹ 16 thì B = ( x - 4)( x + 1) x + 1 x + 1
17. 3 x 1 1 b) B = 1 Û = 1 Û 3 x = x + 1 Û 2 x = 1 Û x = Û x = x + 1 2 4 1 ( thỏa mãn x ³ 0;x ¹ 16). Vậy x = thì B = 1 4 3 3 3 x 3 3 x 3 6 x - 3 x - 3 c) B không vượt quá Û B £ Û £ Û - £ 0 Û £ 0 2 2 x + 1 2 x + 1 2 2( x + 1) 3 x - 3 x - 1 Û £ 0 Û £ 0 (*) 2( x + 1) x + 1 Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0;x ¹ 16nên x + 1> 0 với mọi x ³ 0;x ¹ 16 Suy ra (*)Û x - 1£ 0 Û x £ 1 Û x £ 1 Kết hợp với điều kiện x ³ 0;x ¹ 16 3 Vậy 0 £ x £ 1thì B không vượt quá 2 d) Ta có 2x - 1 = x ( x ³ 0;x ¹ 16) Û 2x - 1= x2 Û x2 - 2x + 1= 0 Û (x - 1)2 = 0 Û x = 1( thỏa mãn x ³ 0;x ¹ 16) 3 1 3 3 Þ B = = Vậy 2x - 1 = x thì B = 1 + 1 2 2 3 x 3 x + 3- 3 3 3 e) B = = = 3- 0 với x ³ 0;x ¹ 16) x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0;x ¹ 16nên x + 1³ 1với mọi x ³ 0;x ¹ 16 3 3 3 Þ £ 3 Þ - ³ - 3 Þ 3- ³ 0 x + 1 x + 1 x + 1 Suy ra 0 £ B < 3 Mà B Î Z nên B Î {0;1;2} 3 x TH1: B = 0 Û = 0 Û x = 0 ( thỏa mãn) x + 3 3 x 3 9 TH2: B = 1 Û = 1 Û 3 x = x + 3 Û x = Û x = ( thỏa mãn) x + 3 2 4 3 x TH3: B = 2 Û = 2 Û 3 x = 2 x + 6 Û x = 6 Û x = 36( thỏa mãn) x + 3 ïì 9 ïü Vậy x Î íï 0; ;36ýï thì B Î Z îï 4 þï
18. æ ö çx + 2 x - 2 x - 1 1 ÷ Bài 10: Cho biểu thức P = 1:ç - + ÷ với x > 0 èç x x + 1 x - x + 1 x + 1ø÷ a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết x = 7- 4 3 c) Tìm x để P = 2 x - 1 d) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P = m e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Hướng dẫn giải æ ö çx + 2 x - 2 x - 1 1 ÷ a) Với x ³ 0 thì P = 1:ç - + ÷ èç x x + 1 x - x + 1 x + 1ø÷ é ù ê x + 2 x - 2 x - 1 1 ú = 1: ê - + ú ê x + 1 x - x + 1 x - x + 1 x + 1ú ëê( )( ) ûú ( x + 1)(x - x + 1) ( x + 1)(x - x + 1) = = x + 2 x - 2- x + 1+ x - x + 1 x + x ( x + 1)(x - x + 1) x - x + 1 = = x ( x + 1) x x - x + 1 Vậy với x > 0thì P = x 2 b) Với x = 7- 4 3 = 4- 2.2. 3 + 3 = (2- 3) thỏa mãn điều kiện x > 0 2 Þ x = (2- 3) = 2- 3 = 2- 3 ( vì 2 > 3 ) x - x + 1 7- 4 3 - 2- 3 + 1 6- 3 3 Þ P = = = = 3 x 2- 3 2- 3 Vậy với x = 7- 4 3 thì P = 3 x - x + 1 c) P = 2 x - 1 Û = 2 x - 1 Û x - x + 1= 2x - x Û x = 1 (thỏa mãn x > 0) x Vậy với x = 1thì P = 2 x - 1 x - x + 1 d) P = = m Û x - x + 1= m x Û x - (m + 1) x + 1= 0 (1) x Vì 1¹ 0nên (1) là phương trình bậc hai.
19. Đặt t = x (t > 0) (1) trở thành t 2 - (m + 1)t + 1= 0 (2) Ta có D = (m + 1)2 - 4 = m2 + 2m- 3 = m2 - m + 3m- 3 = m(m- 1)+ 3(m- 1)= (m- 1)(m + 3) Phương trình (1) có nghiệm Û Phương trình (2) có nghiệm dương TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm dương ïì 1¹ 0 ï ï D = (m- 1)(m + 3)³ 0 ïì m- 1³ 0 Û íï Û íï Û m ³ 1 ï S = m + 1> 0 îï m + 1> 0 ï îï P = 1> 0 TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu Û S = 1< 0 ( vô lý) Þ Loại TH3: Phương trình (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 Với t = 0thay vào (2) ta được 02 - (m + 1).0 + 1= 0 Û 1= 0 ( vô lý )Þ Loại Vậy m ³ 1 là giá trị cần tìm. x - x + 1 1 e) P = = x + - 1 x x 1 Vì x > 0nên x > 0; > 0 . x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x; ta được: x 1 1 x + ³ 2 x. = 2 x x 1 Dấu “=” xảy ra Û x = Û x = 1( thỏa mãn x > 0) x Þ P ³ 2- 1= 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1 khi x = 1 æ ö æ ö ç x ÷ ç x + 2 x - 3 x - 2 ÷ Bài 11: Cho biểu thức P = ç1- ÷:ç + + ÷ èç x + 1ø÷ èç x + 3 2- x x + x - 6ø÷ với x ³ 0; x ¹ 4 a) Rút gọn P
20. 3- 5 b) Tính giá trị của P biết x = 2 c) Tìm x Î Z để P Î Z d) So sánh P với 1 e) Tìm các giá trị của x để P = x - 3. Hướng dẫn giải a) Với x ³ 0; x ¹ 4 æ ö æ ö ç x ÷ ç x + 2 x - 3 x - 2 ÷ P = ç1- ÷:ç + + ÷ èç x + 1ø÷ èç x + 3 2- x x + x - 6ø÷ æ ö x + 1- x ç x + 2 x - 3 x - 2 ÷ = :ç + + ÷ x + 1 èç x + 3 2- x x + 3 x - 2 x - 6ø÷ é ù 1 ê x + 2 x - 3 x - 2 ú = : ê + + ú x + 1 ê x + 3 2- x x x + 3 - 2 x - 3 ú ëê ( ) ( )ûú é ù 1 ê x + 2 x - 3 x - 2 ú = : ê - + ú x + 1 ê x + 3 x - 2 x + 3 x - 2 ú ëê ( )( )ûú 1 ( x + 2)( x - 2)- ( x - 3)( x + 3)+ x - 2 = : x + 1 ( x + 3)( x - 2) 1 x - 4- x + 9 + x - 2 1 ( x + 3)( x - 2) = : = . x + 1 ( x + 3)( x - 2) x + 1 x + 3 x - 2 x - 2 = . Vậy với x ³ 0; x ¹ 4 thì P = x + 1 x + 1 2 3- 5 6- 2 5 5- 2. 5.1+ 1 ( 5 - 1) b) Với x = = = = thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 4 2 4 4 4 2 ( 5 - 1) 5 - 1 5 - 1 Þ x = = = ( vì 5 > 1) 4 2 2 5 - 1 - 2 x - 2 5 - 5 (5- 5)( 5 - 1) Þ P = = 2 = = x + 1 5 - 1 5 + 1 5 + 1 5 - 1 + 1 ( )( ) 2