Chuyên đề Rút gọn biểu thức - Đinh Thị Thu Lê

Nội dung text: Chuyên đề Rút gọn biểu thức - Đinh Thị Thu Lê

1. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức CHUYấN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC A. NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần chỳ ý: 1. Những hằng đẳng thức đỏng nhớ: 1. (A+B)2 = A2 +2AB +B2 2. (A – B)2 = A2 –2AB +B2 3. A2 –B2 = (A-B )(A+B) 4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 5. (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 6. A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) 2.Cỏc cụng thức biến đổi căn thức: 1. A cú nghĩa khi A≥0 2. A 2 A 3. AB A . B ( Với A 0 ; B 0 ) A A 4. ( Với A 0 ; B > 0 ) B B 5. A2 B A B ( Với B 0 ) 6. A B = A2 B ( Với A 0 ; B 0 ) A B = - A2 B ( Với A < 0 ; B 0 ) A 1 7. AB ( Với AB 0 và B 0 ) B B A A B 8. ( Với B > 0 ) B B 9. C C ( A  B ) 2 2 (với A 0, A B ) A B A B C C( A  B) 10. (với A 0, B 0, A B) A B A B 3. Cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử: Bằng cỏch phõn tớch thành nhõn tử ta cú thể rỳt gọn nhõn tử chung ở cả tử và mẫu của một phõn thức. 4. Cỏc tớnh chất cơ bản của một phõn thức. Sử dụng cỏc tớnh chất này ta cú thể nhõn với biểu thức liờn hợp của tử ( hoặc mẫu) của một phõn thức, giản ước cho một số hạng khỏc 0, đổi dấu phõn thức,... đưa phõn thức về dạng rỳt gọn. * Cỏc dạng bài tập: - Rỳt gọn biểu thức số. - Rỳt gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rỳt gọn đế: + Tớnh giỏ trị của biểu thức khi biết giỏ trị của biến; + Giải phương trỡnh, bất phương trỡnh ( so sỏnh biểu thức với một số); GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
2. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức + Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức; + Tỡm giỏ trị nguyờn của biểu thức ứng với cỏc giỏ trị nguyờn của biến. DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Cỏc vớ dụ: + Vớ dụ 1: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: a/ 20 45 3 18 72 . b/ ( 28 2 3 7 ) 7 84 . 2 c/ 6 5 120 . Giải: a/ 20 45 3 18 72 = 22.5 32.5 3 32.2 62.2 = 2 5 3 5 9 2 6 2 = 2 3 5 (9 6) 2 15 2 5 . b/ 28 2 3 7 7 84 = 22.7. 7 2 3. 7 7. 7 22.21. = 2.7 2 21 7 2 21 = 14 7 2 2 21 21. 2 c/ 6 5 120 = 6 2 30 5 22.30 = 6 5 2 30 2 30 11 Vớ dụ 2: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: 1 1 a/ A 5 3 5 3 4 2 3 b/ B 6 2 1 2 2 c/ C 2 3 6 3 3 Giải: 1 1 5 3 5 3 a/ A 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 2 3 3 5 3 2 4 2 3 b/ B 6 2 GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
3. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức 2 2 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 2 1 2 2 1 1 2 c/ C 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 2 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 3 3 Vớ dụ 3: Chứng minh cỏc đẳng thức sau: 2 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9 b/ 2 3 2 3 6 4 4 c/ 2 2 8 2 5 2 5 Giải: 2 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9 BĐVT ta cú : 2 2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP Vậy đẳng thức đó được chứng minh. b/ 2 3 2 3 6 BĐVT ta cú : 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 2 2 GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
4. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 6 VP 2 2 2 Vậy đẳng thức đó được chứng minh. 4 4 c/ 2 2 8 2 5 2 5 BĐVT ta cú : 4 4 22 22 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 4 2 5 4 8 VP 5 4 Vậy đẳng thức đó được chứng minh. Vớ dụ 4: So sỏnh ( khụng dựng bảng số hay mỏy tớnh bỏ tỳi ) a/ 2 3 và 10 b/ 2003 2005 và 2 2004 c/ 5 3 và 3 5 Giải: a/ 2 3 và 10 2 Ta cú: 2 3 2 3 2 6 5 2 6 5 24 2 Và 10 10 5 5 5 25 Vỡ 24 24 5 24 5 25 2 2 Hay 2 3 10 2 3 10 b/ 2003 2005 và 2 2004 2 Ta cú: 2003 2005 2003 2005 2 2003.2005 4008 2 2004 1 2004 1 4008 2 20042 1 2 Và 2 2004 4.2004 2.2004 2 20042 20042 1 20042 20042 1 20042 Vỡ 4008 2 20042 1 4008 2 20042 2 2 2003 2005 2 2004 2003 2005 2 2004 c/ 5 3 và 3 5 Ta cú: 5 3 52.3 75 GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
5. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức Và 3 5 32.5 45 Vỡ 75 > 45 => 75 45 75 45 5 3 3 5 *MỘT SỐ CHÚ í KHI LÀM DẠNG TOÁN 1 Nhận xột biểu thức trong căn. Phỏn đoỏn phõn tớch nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toỏn: + Vận dụng cỏc phộp biến đổi một cỏch hợp lý và thành thạo. + Phõn tớch cỏc biểu thức số, tỡm cỏch để đưa về cỏc số cú căn bậc hai đỳng hoặc đưaA về2 hằngA đẳng thức + Luụn chỳ ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phõn tớch + triệt để sử dụng cỏc phộp biến đổi căn thức như: Nhõn chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu II. Bài tập: 1. Thực hiện phộp tớnh: a/ 12 75 27 : 15 ; b/ 252 700 1008 448 ; c/ 2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2 . 2. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: 2 3 1 3 a/ ; 2 2 b/ 3 2 2 6 4 2; 2 3 2 3 2 2 3 c/ : . 2 2 6 2 3 3.So sỏnh ( khụng dựng bảng số hay mỏy tớnh bỏ tỳi ) a/ 3 5 và 2 2 6 ; b/ 7 1 và 4 1 ; 2 21 9 5 c/ 14 13 và 2 3 11 . 2 2 4.Cho A 11 96 và B 1 2 3 Khụng dựng bảng số hay mỏy tớnh bỏ tỳi, hóy so sỏnh A và B. 5. Chứng minh cỏc đẳng thức sau: 2 a/ 2 2 5 2 3 2 5 20 2 33 ; b/ 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10 ; 1 1 1 c/ ... 9 1 2 2 3 99 100 DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I. Cỏc vớ dụ: GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
6. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức 1 1 a 1 * Vớ dụ 1: Cho biểu thức M : với a >0 và a 1 a a a 1 a 2 a 1 a/ Rỳt gọn biểu thức M. b/ So sỏnh giỏ trị của M với 1. Giải: Đkxđ: a >0 và a 1 1 1 a 1 M : 1 1 a 1 a/ : 2 a a a 1 a 2 a 1 a a 1 a 1 a 1 2 2 1 a a 1 1 a a 1 a 1 . a a 1 a 1 a a 1 a 1 a a 1 1 1 1 b/ Ta cú M 1 , vỡ a > 0 => a 0 => 0 nờn 1 1 a a a a Vậy M < 1. Vớ dụ 2: Cho biểu thức 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2x x a/ Tỡm điều kiện để P cú nghĩa. b/ Rỳt gọn biểu thức P. c/ Tớnh giỏ trị của P với x 3 2 2. Giải: x 0 x 1 0 a/ Biểu thức P cú nghĩa khi và chỉ khi : 2 x 0 x 1 2 0 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 b/ Đkxđ : x 1;x 2;x 3 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
7. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x . x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x c/ Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta cú: x 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 * Nhận xột về phương phỏp giải: Theo thứ tự thực hiện cỏc phộp tớnh ta phải làm cỏc phộp tớnh từ trong dấu ngoặc trước. Đối với nhõn tử thứ hai ta đó quy đồng mẫu, cũn nhõn tử thứ nhất thỡ khụng. Tại sao vậy? Bởi vỡ nếu quy đồng mẫu thỡ tớnh toỏn rất phức tạp. Ta đó trục căn thức ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chúng. Vớ dụ 3: Cho biểu thức 2x x 1 3 11x A với x 3 x 3 3 x x2 9 a/ Rỳt gọn biểu thức A. b/ Tỡm x để A < 2. c/ Tỡm x nguyờn để A nguyờn. Giải: a/ Đkxđ: x 3 2x x 1 3 11x 2x x 1 3 11x A x 3 3 x x 2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 2x x 3 x 1 x 3 3 11x 2x 2 6x x 2 3x x 3 3 11x x 3 x 3 x 3 x 3 3x 2 9x 3x x 3 3x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3x b/ Ta cú A , A < 2 tức là x 3 3x 3x 3x 2 x 3 2 2 0 0 x 3 x 3 x 3 3x 2 x 6 x 6 0 0(*) x 3 x 3 GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
8. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức x 6 0 Dễ thấy x + 6 > x – 3 vỡ vậy Bất phương trỡnh (*) cú nghiệm khi x 3 0 6 x 3 Vậy với 6 x 3 thỡ A < 2. 3x 9 9 c/ Ta cú A 3   x 3 U (9) x 3 x 3 x 3 Mà U (9) 1; 3; 9nờn ta cú: • x – 3 = - 1 x = 2 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 1 x = 4 ( tm đkxđ ) • x – 3 = - 3 x = 0 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 3 x = 6 ( tm đkxđ ) • x – 3 = - 9 x = - 6 ( tm đkxđ ) • x – 3 = 9 x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thỡ A nhận giỏ trị nguyờn. Vớ dụ 4: Cho biểu thức 2x 1 x 1 x 3 B . x với x 0 và x 1 3 x 1 x x 1 1 x a/ Rỳt gọn B; b/ Tỡm x để B = 3. Giải: Đkxđ : x 0 và x 1 2x 1 x 1 x 3 a/ B . x 3 x 1 x x 1 1 x 2x 1 x x 1 x 1 x x 1 . x x 1 . x x 1 x 1 2x 1 x x . 1 2 x x x 1 . x x 1 x x 1 2 . x 1 x 1 x 1 . x x 1 b/ Ta cú B x 1 và B = 3, tức là x 1 3 x 4 x 16 ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 thỡ B = 3. Vớ dụ 5: Cho biểu thức 1 1 2 1 1 x3 y x x y y3 A . : 3 3 với x > 0 , y > 0 x y x y x y x y xy a/ Rỳt gọn A; b/ Biết xy = 16. Tỡm cỏc giỏ trị của x, y để A cú giỏ trị nhỏ nhất, tỡm giỏ trị đú. Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0 GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
9. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 a/ A . : 3 3 x y x y x y x y xy x y 2 x y x y x xy y xy x y . : xy x y xy xy x y 2 x y x y x y : xy xy xy x y 2 x y xy x y . . xy x y xy 2 b/ Ta cú x y 0 x y 2 xy 0 x y 2 xy . x y 2 xy 2 16 Do đú A 1 ( vỡ xy = 16 ) xy xy 16 x y Vậy min A = 1 khi x y 4. xy 16 *MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2 Bước 1: Điều kiện để biểu thức cú nghĩa (căn thức xỏc định, mẫu khỏc khụng nếu bài toỏn chưa cho) Bước 2: Phõn tớch cỏc mẫu thành nhõn tử (ỏp dụng thành thạo cỏc phộp biến đổi căn thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu một cỏch hợp lý để làm xuất hiện nhõn tử chung. + Thường xuyờn để ý xem mẫu này cú là bội hoặc ước của mẫu khỏc khụng. Bước 3: Tiến hành quy đồng rỳt gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận. Bước 4: Làm cỏc cõu hỏi phụ theo yờu cầu của bài toỏn. + Tuõn thủ nghiờm ngặt cỏc phộp biến đổi phương trỡnh, bất phương trỡnh. + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toỏn để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận. II. Bài tập: 1 3 x2 1 Bài 1: Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 1) Rỳt gọn A 2) Tỡm x để A < –1 x 1 x x x x Bài 2: Cho biểu thức A = 2 2 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của x để A > - 6. GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
10. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức x 2 1 10 x Bài 3: Cho biểu thức B = : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị của x để A > 0. 1 3 1 Bài 4: Cho biểu thức C = x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị của x để C < 1. GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
11. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức x 2 x2 4 x 2 x2 4 a) D = ; x 2 x2 4 x 2 x2 4 x x x x b) P = 1 1 ; x 1 x 1 GV: Đinh Thị Thu Lờ Trường THCS Tiờn Yờn
12. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức 2x 3 x 2 x3 x 2x 2 Bài 7: Cho các biểu thức P = và Q = x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức P và Q; b) Tìm giá trị của x để P = Q. x 3 x 9 x x 3 x 2 Bài 8: Cho các biểu thức B 1 : x 9 x x 6 2 x x 3 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tỡm x để B > 0 . c) Với x > 4 ; x 9 , Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1). 3x 9x 3 1 1 1 Bài 9: Cho biểu thức P = : x x 2 x 1 x 2 x 1 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; 1 b) Tìm các số tự nhiên x để là số tự nhiên; P c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3 . x 2 x 3 x 2 x Bài 10: Cho biểu thức : P = : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 a) Rút gọn biểu thức P; 1 5 b) Tìm x để . P 2 2x 5 x 1 x 10 Bài 11: Cho A với x 0. Chứng minh rằng x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 giá trị của A không phụ thuộc vào biến số x. Bài 12: Cho biểu thức a 1 ab a a 1 ab a M = 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 a) Rút gọn M. 3 1 b) Tính giá trị của M nếu a= 2 3 và b= 1 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a b 4 12
13. Chuyờn đề: Rỳt gọn biểu thức 13