Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

1. Chủ đề 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A. Lí thuyết Học inh ôn tập hai quy tắc cộng và thế để giải hệ phương trình. B. Các dạng bài tập cơ bản Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa về dạng cơ bản Ví dụ 1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế cộng đại số 3x 2y 4 3x 2(5 2x) 4 3x 2y 4 3x 2y 4 7x 14 2x y 5 y 5 2x 2x y 5 4x 2y 10 2x y 5 3x 10 4x 4 7x 14 x 2 x 2 y 5 2x y 5 2x 2.2 y 5 y 1 x 2 x 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm y 5 2.2 y 1 duy nhất (x;y) = (2;1) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau (3 + 1)(2 ― 3) = 6 ( ― 3)( + 1) = + 5 Phân tích: Hệ phương trình đã cho chưa có dạng cơ bản, vì vậy ta cần phải thực hiện phép tính, thu gọn để đưa về hệ phương trình cơ bản. (3 + 1)(2 ― 3) = 6 Giải: ( ― 3)( + 1) = + 5 6 ― 9 + 2 ― 3 = 6 6 ― 9 + 2 ― 6 = 3 ↔ + ― 3 ― 3 = + 5 ↔ + ― 3 ― = 3 + 5 ―9 + 2 = 3 ―9 + 2 = 3 ―25 = 75 ↔ ― 3 = 8 ↔ 9 ― 27 = 72 ↔ ― 3 = 8 = ―3 = ―1 ↔ ― 3( ―3) = 8↔ = ―3 = ―1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất = ―3
2. x2 xy y 7 0 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2 x xy 2y 4(x 1) x2 xy y 7 0 (1) Giải: 2 x xy 2y 4(x 1) (2) Ta có: (2) x2 4x 4 xy 2y 0 (x 2)2 y(x 2) 0 (x 2)(x y 2) 0 x 2 0 x 2 x y 2 0 y 2 x Thay x 2 vào phương trình (1) được: 4 2y y 7 0 y 3 Thay y 2 x vào phương trình (1) được: 2 2 x 1 x x(2 x) 2 x 7 0 2x 3x 5 0 x 2,5 x 1 y 3 ; x 2,5 y 0,5 5 1  Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 2; 3 , 1;3 , ;  2 2  Bài tập áp dung 1: Bài 1: Giải các hệ phương trình 4x 2y 3 2x 3y 5 3x 4y 2 0 2x 5y 3 1) 2) 3) 4) 6x 3y 5 4x 6y 10 5x 2y 14 3x 2y 14 x 2 x 5 (1 3)y 1 0,2x 0,1y 0,3 3x y 2 5) 6) 7) y 3 8) (1 3)x y 5 1 3x y 5 2 x y 5x 2 x y 10 0 = Bài 2 . Giải các hệ phương trình sau: (3x 2)(2y 3) 6xy 2(x y) 3(x y) 4 1) 2) (4x 5)(y 5) 4xy (x y) 2(x y) 5 2y 5x y 27 5 2x (2x 3)(2y 4) 4x(y 3) 54 3 4 3) 4) (x 1)(3y 3) 3y(x 1) 12 x 1 6y 5x y 3 7
3. 1 1 (x 2)(y 3) xy 50 2 2 (x 20)(y 1) xy 5) 6) 1 1 (x 10)(y 1) xy xy (x 2)(y 2) 32 2 2 Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau 4 x 3 y 4 2 x y 2 Điều kiện xác định: ≥ 0; ≥ 0 Đặt = ; = Đ퐾: ≥ 0; ≥ 0 Khi đó ta có: 4 ― 3 = 4 4 ― 3 = 4 10 = 10 = 1 = 1(푡ℎỏ ã푛) 2 + = 2 ↔ 6 + 3 = 6↔ 2 + = 2↔ 2.1 + = 2↔ = 0(푡ℎỏ ã푛) = 1 = 1(푡ℎỏ ã푛) Ta có = 0↔ = 0(푡ℎỏ ã푛) = 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất = 0 Bài tập áp dụng 2: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2 1 3x 2 3 4 x y 12 x 2y y 2x x 1 y 4 1) 2) 3) 8 15 4 3 2x 5 1 1 9 x y x 2y y 2x x 1 y 4 x 2 y 2 13 3 x 2 y 16 x 4 y 18 4) 5) 6) 3x 2 2y 2 6 2 x 3 y 11 3 x y 10 2(x 2 2x) y 1 0 5 x 1 3 y 2 7 7) 8) 2 2 2 3(x 2x) 2 y 1 7 2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13 3 ― 1 = 9 2 x y x 1 4 9) 10) 5 1 + = 7 x y 3 x 1 5 Dạng 3: Hệ phương trình chứa tham số Khi giải phương trình chứa tham số ta thường dùng phương pháp thế để thu được một phương trình một ẩn dạng ax = c (*) Khi đó số nghiệm của hệ phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (*) + Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì hệ vô nghiệm + Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm thì hệ có vô số nghiệm
4. + Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhât thì hệ có nghiệm duy nhất (Lưu ý: phương trình (*) có nghiệm duy nhất ↔ ≠ 0 ) (m 2)x 3y 5 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: (I) (với m là tham số) x my 3 a) Giải hệ phương trình (I) với m=1. b) Chứng minh hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m. Giải a. Giải hệ phương trình (I) với m=1. Thay m =1 vào phương trình (1) ta có: (1 ― 2) ― 3 = ―5 ― ― 3 = ―5 ―2 = ―2 = 1 = 2 + 1. = 3 ↔ + = 3 ↔ + = 3 ↔ + 1 = 3↔ = 1 = 1 Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất = 2 b. Chứng minh hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m. (m 2)x 3y 5 Xét hệ x my 3 = 3 ― ↔ ( ― 2)(3 ― ) ― 3 = ―5 ( rút x theo y từ pt 2 rồi thế vào ph 1) = 3 ― ↔ 3 ― 2 ― 6 + 2 ― 3 = ―5 = 3 ― ↔ ― 2 + 2 ― 3 = ―3 ― 5 + 6 ( Giữ các hạng tử chứa ẩn y ở vế trái) = 3 ― ↔ 2 ― 2 + 3 = 3 ― 1 (Nhân hai vế với (-1) để đổi dấu) = 3 ― ↔ ( 2 ― 2 + 3) = 3 ― 1( ∗ ) Ta có 2 ―2 + 3 = 2 ―2 + 1 + 2 = ( ― 1)2 +2 ≠ 0 푣ớ푖 ọ푖 3 1 Suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất = 2 2 3 Khi đó hệ có nghiệm duy nhất 3 ― 1 3( 2 ― 2 + 3) ― 3 2 + = 3 ― . = 2 ― 2 + 3 2 ― 2 + 3 3 ― 1 ↔ 3 ― 1 = = 2 ― 2 + 3 2 ― 2 + 3
5. 3 2 ― 6 + 9 ― 3 2 + ―5 + 9 = = 2 ― 2 + 3 2 ― 2 + 3 ↔ 3 ― 1 ↔ 3 ― 1 = = 2 ― 2 + 3 2 ― 2 + 3 Vậy với mọi giá trị của m thì hệ có nghiệm duy nhất ―5 + 9 = 2 ― 2 + 3 3 ― 1 = 2 ― 2 + 3 ax y 1 Ví dụ 2: Tìm a và b biết hệ phương trình có một nghiệm là (2;–3) ax by 5 Giải: Vì hệ có một nghiệm (2; -3) nên x = 2; y = -3 thay vào hệ phương trình ta có: .2 + ( ―3) = 1 2 = 4 = 2 .2 + .( ―3) = ―5↔ 2 ― 3 = ―5↔ 2.2 ― 3 = ―5 = 2 = 2 ↔ ―3 = ―9↔ = 3 = 2 Vậy = 3 thỏa mãn đề bài x my 2 Ví dụ 3: Cho hệ phương trình mx y m 1 a)Giải hệ phương trình với m =1. b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho A= x2 + y2 có giá trị nhỏ nhất. Giải: a) Với m = 2 thay vào hệ phương trình ta có: + = 2 + = 2 = 2 = 2 ― = 2↔ 2 = 4 ↔ 2 + = 2↔ = 0 = 2 Vậy với m = 1 hệ có nghiệm duy nhất = 0 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y có giá trị nhỏ nhất. Xét hệ phương trình: + = 2 = 2 ― = 2 ― + = + 1↔ (2 ― ) + = + 1↔ 2 ― 2 + = + 1 = 2 ― = 2 ― = 2 ― ↔ ― 2 + = + 1 ― 2 ↔ ― 2 + = ― + 1↔ 2 ― = ― 1 = 2 ― = 2 ― ↔ ( 2 ― 1) = ― 1↔ ( ― 1)( + 1) = ― 1( ∗ ) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
6. ↔( ― 1)( + 1) ≠ 0↔ ≠∓ 1 Khi đó ta có: 1 2 + 2 ― + 2 = 2 ― = 2 ― . = = 1 ↔ + 1↔ + 1 ↔ + 1 = 1 1 1 + 1 = = + 1 + 1 + 1 = 2 1 Vậy với ≠∓ 1 thì hệ có nghiệm nhất 1 1 Khi đó + 2 2 1 2 2 + 4 + 4 + 1 = 2 + 2 = + = + 1 + 1 ( + 1)2 2 + 2 + 1 2 + 2 2 ( + 1)2 2( + 1) 2 = + + = + + ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 = 1 + + = + 2. . + + + 1 ( + 1)2 + 1 + 1 2 2 2 2 2 1 1 1 = + + ≥ + 1 2 2 2 2 Dấu "=" xảy ra ↔ 2 + 1 = 0 1 2 2 1 ↔ + = 0↔2 + + 1 = 0↔ = ―3(푡ℎỏ ã푛) + 1 2 1 Vậy A = min 2↔ = ―3 Bài tập áp dụng 3: ax y 1 Bài 1. Tìm a và b biết hệ phương trình có một nghiệm là (2;–3) ax by 5 2x ay 4 Bài 2. Cho hệ phương trình : ax 3y 5 1. Giải hệ phương trình với a = 1 2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
7. 2x y 3m 1 Bài 3. Cho hệ phương trình 3x 2y 2m 3 1.Giải hệ phương trình khi m = -1 2.Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm ( x; y) thoả x < 1 và y < 6 (m 1)x my 3m 1 Bài 4. Cho hệ phương trình : 2x y m 5 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2mx y 5 Bài 5. Cho hệ phương trình: với m 0 mx 3y 1 1. Giải hệ với m = - 2 2. Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả y = x2 mx y 2m Bài 6. Cho hệ phương trình ( m là tham số ) (1) x my m 1 Tìm các giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất (x0;y0) và x0 , y0 là các số nguyên. x y m 2 Bài 7. Cho hệ phương trình với m tham số 3x 5y 2m 1.Giải hệ phương trình khi m = -1 2.Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm(x;y) thoả mãn điều kiện: x y =1 3x y 2m 9 Bài 8. Cho hệ phương trình có nghiệm (x;y). Tìm m để biểu thức (xy+x-1) đạt x y 5 giá trị lớn nhất. x my m 1 Bài 9. Cho hệ phương trình: (m là tham số) mx y 2m 1. Giải hệ khi m = 2. x 2 2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: y 1 (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10-PTTH tỉnh Thái Bình năm 2014-2015) mx 2y 18 Bài 10. Cho hệ phương trình: (m là tham số) x y 6 1. Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) trong đó x = 2. 2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x + y = 9. (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10-PTTH tỉnh Thái Bình năm 2011-2012) (m 1)x y 2 Bài 11. Cho hệ phương trình: (m là tham số) mx y m 1
8. 1. Giải hệ phương trình khi m = 2. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x + y 3 (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10-PTTH tỉnh Thái Bình năm 2009-2010) x 2 y 4m 5 Bài 12. Cho hệ phương trình: (m là tham số) 2x y 3m a) Giải hệ phương trình khi m = 3. 2 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn 1 . x y + = 1 Bài 13. Cho hệ phương trình: ― = ― (m là tham số) 1. Giải hệ phương trình khi m = 1. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x+y.