Đề thi chọn Học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh môn Toán - Năm học 2024-2025 - Sở GD&ĐT Sóc Trăng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn Học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh môn Toán - Năm học 2024-2025 - Sở GD&ĐT Sóc Trăng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH SĨC TRĂNG Năm học 2024-2025 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Thời gian làm bài 150 phút, khơng kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này cĩ 05 trang) Bài Đáp án Điểm 2x 2−− x 2 x 5 Cho biểu thức P = + + với x 0 và xx 1, 9. 4,0 x−4 x + 3 x − 1 x − 3 a) Rút gọn biểu thức P. 3,0 2x 2−− x 2 x 5 P = + + 0,5 ( xx−−13)( ) xx−−13 2x+( 2 − x)( x − 3) +( 2 x − 5)( x − 1) P = 0,5 ( xx−−13)( ) 2x− x + 5 x − 6 + 2 x − 7 x + 5 P = 0,5 ( xx−−13)( ) x −1 P = 0,5 ( xx−−13)( ) ( xx−+11)( ) 1 P = 0,5 ( xx−−13)( ) x +1 P = . 0,5 x − 3 b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho P nhận giá trị là số chẵn. 1,0 x −+3 4 4 P = =1 + 0,25 xx−−33 nhận giá trị là số chẵn khi x − 3 là ước số của 4. Ta cĩ các trường hợp sau: + x −=34 hay x = 49 + x −34 = − hay x =−1 (vơ nghiệm) + x −=32 hay x = 25 0,5 + x −32 = − hay x =1 (loại) + x −=31 hay x =16 + x −31 = − hay x = 4 Thử lại ta thấy nhận giá trị là số chẵn khi x = 49. 0,25 1
2. a) Một con ếch đang ở giữa một bảng cĩ 55 ơ vuơng được tơ hai màu trắng và đen (như hình vẽ). Mỗi bước nhảy con ếch nhảy sang một ơ khác cĩ chung cạnh hoặc chung đỉnh với ơ trước đĩ. Tính xác suất sau hai bước 2,0 nhảy con ếch ở ơ màu đen. Số các kết quả cĩ thể xảy ra là n() =8.8 = 64 0,5 Gọi A là biến cố sau hai bước nhảy con ếch ở ơ được tơ màu đen 1,0 Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là nA( ) ==8.4 32 nA( ) 32 2 Xác suất của biến cố là PA( ) = = = 0,5. 0,5 n() 64 b) Tìm tất cả các số nguyên xy, thoả mãn x( x+2)( 2 x + 1)( 2 x + 5) = y2 (1). 2,0 (2x2+ 5 x)( 2 x 2 + 5 x + 2) = y 2 0,25 Đặt t=2 x2 + 5 x + 1 0,25 Phương trình (1) trở thành (t−11)( t +) = y2 0,25 (t− y)( t + y) =1 0,25 t+ y = t − y hay y = 0 0,25 Thay vào phương trình (1) ta được các nghiệm nguyên là xx12=0, = − 2 0,5 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm nguyên là (0; 0) ,(− 2; 0) . 0,25 3x+ 2 y + 5 − x + y = 2 a) Giải hệ phương trình . 2,0 4xy+= 3 5 3xy+ 2 + 5 0 Điều kiện: 0,25 xy+ 0 a=3 x + 2 y + 5 Đặt (ab 0, 0) 0,25 b=+ x y ab−=2 Hệ phương trình đã cho trở thành 22 0,25 ab+=10 3 ab=+2 ab=+2 hay 2 2 2 0,25 (bb+2) + = 10 bb+2 − 3 = 0 ab=+2 a = 3 . Suy ra 0,5 bb=1 hoặc = − 3 loại b =1 12( ) 3xy+ 2 + 5 = 3 3xy+= 2 4 x = 2 Khi đĩ hay . Suy ra (nhận) xy+=1 y =−1 xy+=1 0,5 Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm là (2;− 1) . 2
3. b) Trên một cánh đồng trống tiếp giáp với một bờ sơng, người nơng dân dự định rào lại cánh đồng hình chữ nhật để trồng cây với diện tích 2,0 cần rào là 180 000 m2 và khơng cần rào phía giáp bờ sơng. Người nơng dân cần chọn các kích thước cần rào như thế nào để độ dài của hàng rào là nhỏ nhất? Gọi xy,m( ) là hai kích thước của hàng rào ( xy,0 ) 0,25 180 000 Ta cĩ diện tích cần rào là nên xy =180 000 hay y = 0,25 x 180 000 360 000 Tổng độ dài của hàng rào là C= x +2 y = x + 2. = x + 0,5 xx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta cĩ 360 000 360 000 0,5 C= x + 2 x . = 1200 xx 360 000 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = hay x = 600 0,25 x Vậy hàng rào cĩ độ dài nhỏ nhất là 1200 m, khi hai kích thước là 600 m và 300 m. 0,25 Cho hai đường trịn (OR; ) và (OR ; ) cắt nhau tại A và B (RR ). Vẽ hai tiếp tuyến chung của hai đường trịn đĩ, chúng cắt nhau ở S. Gọi C và M là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (OR;,) D là tiếp điểm của tiếp tuyến SC với 4,0 (OR ; ) (ba điểm AC, và D thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ SO ). Gọi F là giao điểm của tia BA với CD. a) Chứng minh FC2 = FA.. FB 1,5 C E F D A S 4 O H O' B M Xét BFC và CFA, ta cĩ AFC chung 0,25 1 CBA== ACF AC 0,5 2 BFC∽ CFA 0,25 FB FC = hay FC2 = FA.. FB 0,5 FC FA 3
4. b) Tia SA cắt (OR; ) tại E, SO cắt CM tại H. Chứng minh tứ giác AHOE nội 1,5 tiếp. Ta cĩ SC= SM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Và OC== OM( R) 0,25 Nên là đường trung trực của đoạn CM nên SO⊥ CM SO và SO' là hai tia phân giác của CSM nên ba điểm SOO,, thẳng hàng 0,5 SCO vuơng tại C, CH đường cao nên SC2 = SH. SO (1) 1 Ta cĩ SCA== SEC AC và ASC chung 2 Nên CSA∽ ESC 0,5 SC SA = hay SC2 = SE. SA (2) SE SC Từ (1) và (2), ta được SE.. SA= SH SO 0,25 Do đĩ tứ giác AHOE nội tiếp (phương tích). c) Chứng minh ADC= CAE. 1,0 SO O D R O A Ta cĩ OC// O D (cùng ⊥ SC ) nên = = = SO OC R OE 0,25 Do đĩ O A// OE DO A= COE (cạnh tương ứng song song song) (3) 0,25 1 1 Mà ADC= DO A (cùng chắn AD ) và CAE= COE (cùng chắn CE ) (4) 0,25 2 2 Từ (3) và (4), ta được ADC= CAE. 0,25 a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, ngoại tiếp đường trịn tâm I. Tia AI cắt BC tại A1 và cắt đường trịn (O) tại A2. Tương tự, lần lượt ta thu được các điểm BB12, và CC12,. Chứng minh rằng ABACAI2== 2 2 và 2,0 ABACBABCCACB2+ 2 2 + 2 2 + 2 + + 12. AABBCC1 2 1 2 1 2 A Ta cĩ BAA22= A AC nên ABAC22= (1) 0,25 Mà A2 BI= A 2 BC + CBI = A 2 AC + ABI =BAI + ABI = BIA2 5 Do đĩ A2 BI cân tại A2 nên ABAI22= (2) I O Từ (1) và (2), ta được ABACAI2== 2 2 . 0,75 B A1 C A2 Áp dụng định lý Ptơlêmê cho tứ giác nội tiếp CA2 BA, ta được 0,5 4
5. A2 C... AB+= A 2 B AC BC AA 2 hay A22 C( AB+= AC) BC. AA AA AB+ AC Do đĩ 2 = A2 C BC ABACAC+ 2. Mà 2 2= 2 AAAA1 2 1 2 A22 C AA Mặt khác VVCA1 A 2∽ ACA 2 nên = AAAC1 2 2 ABAC+ 2( AB+ AC) Từ đĩ, ta được 22= A12 A BC BABC+ 2( AB+ BC) CACB+ 2( AC+ BC) Tương tự, ta cĩ 22= và 22= B12 B AC C12 C AB AB2+ AC 2 BA 2 + BC 2 CACB 2 + 2 AB + AC AB + BC AC + BC Khi đĩ + + =2 + + 0,25 AA1 2 BB 1 2 CC 1 2 BC AC AB AB AC AB BC AC BC =2 + + + + + (3) BC BC AC AC AB AB Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta cĩ AB BC AC BC AB AC + 2; + 2; + 2 BC AB BC AC AC AB AB AC AB BC AC BC Do đĩ + + + + + 6 (4) 0,25 BC BC AC AC AB AB Từ (3) và (4), ta được b) Trên bàn cĩ 2026 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 2026. Hai bạn An và Bình tiến hành trị chơi bằng cáchthay phiên nhau lấy thẻ, đến lượt chơi mỗi bạn sẽ lấy một thẻ cho đến khi hết tấm thẻ trên bàn. Sau đĩ mỗi người cộng số trên các thẻ mà 2,0 ABACBABCCACB+ + + mình2 cĩ, 2 ai +ra số 2 chẵn 2 sẽ +thắng. 2 Nếu 2 An 12. chơi trước thì bạn nào cĩ chiến thuật để luơnAABBCC 1thắng 2 và chiến 1 thuật 2 đĩ như 1 thế 2 nào? An là người cĩ chiến thuật để luơn thắng 0,5 An rút trước và rút một thẻ đánh số chẵn Trên bàn cịn lại 1013 thẻ đánh số lẻ và 1012 thẻ đánh số chẵn Sau đĩ An sẽ rút các thẻ đánh số cùng tính chẵn cùng lẻ với Bình đã rút 1,5 Khi đĩ An sẽ luơn cĩ 506 thẻ đánh số lẻ và 507 thẻ đánh số chẵn. Suy ra An luơn cĩ chiến thuật chiến thắng. --- HẾT --- 5