SKKN Giải pháp giúp học sinh vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải một số bài toán lớp 8 - Nguyễn Thị Tấn

Nội dung text: SKKN Giải pháp giúp học sinh vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải một số bài toán lớp 8 - Nguyễn Thị Tấn

1. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ Thực tế trong các năm học trước, khi được phân công phụ trách môn toán lớp 8 khi giảng dạy phần các hằng đẳng thức đáng nhớ, tôi thường cung cấp ngay cho học sinh các hằng đẳng thức (HĐT). Khi gọi học sinh lên làm bài, mặc dù bài đó thật đơn giản nhưng tôi thấy chỉ có những học sinh khá, giỏi, xung phong học sinh trung bình, yếu không biết ghi nhớ, cũng không biết cách áp dụng, nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với nhau hoặc áp dụng thì mắc sai lầm khi hệ số A, B là tích của 2, 3 số hạng hoặc là biểu thức. Lúc đó số học sinh giải trọn vẹn dạng này và đạt điểm tối đa còn chưa cao. Chính vì thế, các đợt thi khảo sát chưa đạt chỉ tiêu đặt ra. Vậy làm thế nào để học sinh lớp 8 trường tôi nắm vững các kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng tốt vào làm bài tập: Khai triển các hằng đẳng thức, tính nhanh, rút gọn và tính giá trị biểu thức, chứng minh biểu thức luôn dương hay luôn âm với mọi giá trị của biến, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, sử dụng phương pháp tổng bình phương vào một số bài toán cho HSG đây ? Từ thực tế giảng dạy, qua trao đổi với đồng nghiệp và tham khảo tài liệu tôi đã rút ra được một số giải pháp có hiệu quả mà tôi đã thực hiện: “Giải pháp giúp học sinh vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải một số bài toán lớp 8”. PHẦN B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.Thực trạng công tác giảng dạy các hăng đẳng thức môn toán 8 ở trường THCS Cảnh Thụy 1. Ưu điểm 1.1. Giáo viên - Thiết kế bài toán từ đơn giản đến phức tạp thông qua rất nhiều hình thức học tập để truyền tải nội dung cần thiết cho học sinh. - Xây dựng phương pháp học tập cho học sinh giải quyết bài toán về áp dụng hằng đẳng thức ở lớp 8 và các lớp tiếp theo. Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
2. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 - Phát hiện năng lực của từng đối tượng học sinh để củng cố kiến thức cơ bản đồng thời bồi dưỡng và phát triển nhân tài. - Kinh nghiệm giảng dạy khi cần bồi dưỡng cho học sinh bất kỳ một chủ đề nào đó. 1.2. Học sinh: - Đã biết nhận dạng, biết phương pháp học, biết áp dụng phù hợp với từng dạng bài toán có liên quan đến hằng đẳng thức. - Học sinh biết phân tích, tìm tòi, trình bày và có kinh nghiệm giải toán. - Hăng hái, tích cực, tự tin chia sẻ trong các tiết học môn toán - Không còn sợ học môn toán mà thấy yêu thích học bộ môn - Phát huy tính chủ động, tích cực, độc lập, sáng tạo, tự tin khi đứng trước bài toán mới hoặc phức tạp hơn. - Điểm đạt được trong bài kiểm tra, khảo sát cuối kỳ đạt mục tiêu để ra, vượt mặt bằng của huyện. 2. Hạn chế và nguyên nhân hạn chế 2.1. Giáo viên Hạn chế: - Giáo viên quen phương pháp dạy học truyền thống. - Chưa hướng dẫn phương pháp học tập cho học sinh. - Chưa tạo được hứng thú trong mỗi tiết học. Nguyên nhân: Thời gian nghiên cứu chưa nhiều, tìm hiểu chưa sâu. 2.2. Học sinh Hạn chế: - Học sinh chưa có phương pháp học tập hợp lí thường học vẹt các hằng đẳng thức nên lúc nhớ, lúc quên, còn nhầm lẫn giữa các HĐT. - Vận dụng các HĐT giải toán chưa linh hoạt, trình bày chưa khoa học. - Học sinh không có hứng thú học tập bộ môn, rất sợ học toán. - Chất lượng bộ môn chưa đạt chỉ tiêu đề ra. Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
3. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 Nguyên nhân: - Học sinh chưa xác định được mục tiêu học tập. - Không thấy được tầm quan trọng của việc học hằng đẳng thức với môn toán 8 cũng như các lớp tiếp theo. II. Biện pháp: Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên chuyển từ thói quen học tập của học sinh từ thụ động sang tự học chủ động. Muốn vậy, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh những phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới. Học sinh cần được rèn các thao tác tư duy: Quan sát, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, đặc biệt nhất đó là phương pháp quy lạ về quen Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy đối tượng học sinh yếu, trung bình, vận dụng chưa linh hoạt, chưa chính xác như sai dấu, vận dụng hằng đẳng thức sai, nhiều khi không có hướng giải quyết trước bài toán dẫn đến chán học toán, đối tượng khá, giỏi ngoài kiến thức cơ bản nắm được chưa biết phát trển bài toán mới, chưa biết quy bài toán lạ về quen, kỹ năng đó còn nhiều lúng túng. Do đó tôi đưa ra các biện pháp sau: 1. Biện pháp thứ nhất: Thực hiện quy trình củng cố các hằng đẳng thức. Ngay từ những tiết giảng dạy chính khóa tôi đã sử dụng cách kiểm tra hằng đẳng thức của học sinh thông qua bài tập trắc nghiệm (Nối, điền khuyết, kéo thả) với các trò chơi tạo không khí học tập vui nhộn: Ai nhanh hơn, bắt ếch, rung chuông vàng,...bằng phần mềm Violet, PowerPoint, làm bài tập trắc nghiệm trên OLM... Nội dung: Bài số 1: Ghép các biểu thức sau sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức: Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
4. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 1)( + )2 ) 2 ― 2 + 2 2)( ― )2 )( ― )( + ) 3) 2 ― 2 ) 3 +3 2 + 3 2 + 3 4)( + )3 ) 2 +2 + 2 5)( ― )3 푒)( ― )( 2 + + 2) 6) 3 + 3 ) 3 ― 3 2 + 3 2 ― 3 3 3 2 2 7) ― )( + )( ― + ) - Trong đó A, B có thể là các số, dưới dạng chữ (Đơn thức, đa thức) hoặc A, B còn có thể là các biểu thức tùy ý. Sau khi học sinh nhớ chính xác được các hằng đẳng thức ở dạng tổng quát tôi đổi → ; → theo hình thức trắc nghiệm với nội dung như sau: Bài số 2: Chọn chữ cái đứng trước đáp án đúng nhất Câu 1: Kết quả của phép khai triển hằng đẳng thức ( ― )2 là: A. 2 ―2 ― 2. B. 2 ―2 + 2. C. 2 ―2 ― 2. D. 2 ― + 2. Câu 2: Kết quả của phép khai triển hằng đẳng thức ( + )2là: A. 2 + + 2. B. 2 ―2 + 2. C. 2 +2 + 2. D. 2 ― + 2. Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ( ― )3 = 3 ―3 2 ― 3 2 ― 3. B. ( + )3 = 3 + 3. C. ( + )3 = 3 +3 2 + 3 2 + 3. D. ( ― )3 = 3 ― 3. Câu 4: Kết quả của phép triển khai triển hằng đẳng thức 3 ― 3 là: A. 2 2 B. 2 2 ( + )( ― + ). ( ― )( + + ). 3 2 2 3 2 2 C. +3 + 3 + . D. ( ― )( +2 + ). Câu 5: Kết quả của phép triển khai triển hằng đẳng thức 3 + 3 là: A. 2 2 B. 2 2 ( + )( ― + ). ( ― )( + + ). 3 2 2 3 2 2 C. +3 + 3 + . D. ( + )( +2 + ). Câu 6: Kết quả của phép triển khai triển hằng đẳng thức x2 y 2 là: A. ( ― ). B. ( ― )( + ). C. ( + )( + ). D. 2 + 2. Câu 7: Khẳng định nào sau đây là đúng? Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
5. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 A. ( ― )3 = 3 ―3 2 + 3 2 ― 3. B. ( + )3 = 3 + 3. C. ( + )3 = 3 + 2 + 2 + 3. D. ( ― )3 = 3 ― 3. Khi học sinh đã nhớ và nhìn nhận nhanh về hằng đẳng thức tôi chuyển sang bài tập về dạng điền khuyết như sau với hình thức hoạt động nhóm trên phiếu học tập. Bài tập 3: Điền vào chỗ trống (...) để được khẳng định đúng. 2 2 2 2 1) +2 + ... = (... + 1) 2) ― 2 + ... = (... ― 1) 2 3 2 3) ―... = (... ― 1)( + ...) 4)( ― ...) = ... ― 3 +... ― 1 3 3 2 3 2 5)(... + 1) = +... + 3 +... 6)... + 1 = ( + ...)( ― ... + 1) 7) 3 ― ... = (... ― 1)( 2 +... + 1) Khi học sinh làm theo nhóm tôi thường quan sát hoạt động của các con xem nhóm nào cần sự trợ giúp thì hỗ trợ. Hết thời gian quy định tôi chiếu bài của các nhóm cho học sinh chia sẻ giữa các nhóm ⇒ GV tổng kết hoạt động các nhóm từ việc nhỏ nhất tinh thần chuẩn bị hoạt đông, tinh thần hợp tác nhóm, báo cáo, chia sẻ. Tôi luôn động viên khích lệ các nhóm dưới nhiều hình thức như thưởng điểm hay những lời khen ngợi cũng như lời nhắc nhở nhẹ nhàng khi các con hoạt động chưa tốt. Bài tập tự luyện: Điền vào chỗ trống (...) để được khẳng định đúng 1) 2 +4 + ... = (... + 2)2 2) 2 ―6 + ... = (... ― 3)2 3) 2 ―... = (... ― 2)( + ...) 4)( ― ...)3 = ... ― 6 2 +... ― 8 2 3 2 5)... + 64 = ( + ...)( ―... + 16) 6) ― ... = (... ― 2)( +2 + ..) 3 3 2 7)(... + 3) = +... + ... + 27 8)... + 8 = ( + ...)( ― ... + ...) 2. Biện pháp thứ hai: Phân loại một số dạng bài tập về hằng đẳng thức. Tôi thường phân loại các dạng bài tập từ dễ đến khó (Bài tập cho học sinh Yếu,TB, Khá, Giỏi) tất cả các đối tượng đều được hoạt động, bài tập trước đã có những tiền đề gợi ý, phát triển cho các bài tập mới. Sau mỗi dạng đều có bài tập tương tự từ đơn giản đến phức tạp để các con đều được tự luyện. Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
6. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 Dạng 1: Vận dụng trực tiếp HĐT biến đổi từ tổng thành tích, từ tích thành tổng. Phương pháp: Nhận dạng HĐT coi biểu thức nào là A, coi biểu thức nào là B đặt đúng vị trí rồi khai triển theo HĐT.Khi viết chúng, các hạng tử là biểu thức thì khi lũy thừa cần phải có ngoặc. Bài 1. Khai triển các hằng đẳng thức sau: 2 )( + 2)2 )( + 2 )2 ) ― 1 2 )( ― 2 )( 2 +2 + 4 2) 푒)( + + )2 Thông thường hs sinh thực hiện phần a cơ bản tốt xong hs Tb, yếu chưa đạt phần b, c. Học sinh thường hay mắc sai lầm )( + 2 )2 = 2 +2. .2 + 2 2 2 1 12 Chẳng hạn ở câu c học sinh không viết mà viết 2 2 Học sinh thường quên không thực hiện đóng ngoặc ở những biểu thức là phân số hoặc đơn thức có từ 2 thừa số trở lên hoặc đa thức dẫn đến sai lầm trong lời giải. Nên tôi hướng dẫn phần b, c như sau: 2 Phần b: + 2 rồi đặt vào đúng vị trí của HĐT sau đó thực hiện tính 2 Phần c: ― 1 và chú ý cách viết lũy thừa của phân số rồi đặt vào đúng 2 vị trí của HĐT và thực hiện tính Phần d: HS trung bình khá không phát hiện ra HĐT thường nhân 2 đa thức dẫn đến dài dòng. 2 Phần e để vận dụng HĐT phải nhóm các số hạng + + rồi áp dụng HĐT bình phương của một tổng⇒ quy luật bình phương của tổng 3 hạng tử Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
7. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 Bài tập tự luyện: 2 1)( ― 2)2 2) + 2 3)(2 + 3 )3 4)(3 + 2 )2 3 5)(2 ― )( 2 +2 + 4 2) 6)( + ― )2 7)( ― ― )2 Bài 2 : Viết các biểu thức sau về dạng tích: * Phương pháp: Nhận xét số hạng tử ⇒Dự đoán HĐT⇒xác định biểu thức thứ nhất ⇒biểu thức thứ hai⇒Kiểm tra vào giữa. 1 ) 2 +2 + 1 ) 2 ― + 4 )9 2 + 2 +6 ) ― 9 2 +6 ― 1 Hướng dẫn: + Câu a:Ta coi → ; →1 suy được ra A2 ; B2 kiểm tra 2AB + Câu c: 9x2 y2 6xy (3x)2 2.3x.y y2 ...  A2 2 AB B2 + Câu d: 9x2 6x 1 (9x2 6x 1) ... Khi học sinh thành thạo được cách làm trên giúp ích rất nhiều trong việc phân tích đa thức thành nhân tử. Bài tập tự luyện: Viết các biểu thức sau về dạng tích 1) 4 2 ―4 + 1 2)8 3 ―12 2 + 6 2 ― 3 3) 2 ― 9 2 1 3 3 3 2 4) 27 ― 5) + 27 6)(2 + 3 ) +1 + 2(2 + 3 ) Dạng 2: Tính nhanh 1)972 ― 32 2)1012 3)47.53 4)362 +642 +72.64 5)1002 ― 992 +982 ― 972 +... + 22 ― 1 Lưu ý: Dạng toán này tôi thấy nhiều học sinh tính nhanh bằng cách dùng máy tính cho ngay kết quả hoặc không có phương án giải quyết nên khi gặp trong bài thi của phần trình bày tự luận, HS không đạt điểm tối đa do thiếu bước Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
8. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 thực hiện lại còn phụ thuộc nhiều vào máy tính hơn nữa chưa đúng với yêu cầu của bài toán. Phương pháp: Quan sát, nhận dạng, áp dụng khéo léo hay nhóm nhằm xuất hiện HĐT để thực hiện đúng theo yêu cầu tính nhanh hay tính nhẩm, từ đó cho học sinh thấy tác dụng của các hằng đẳng thức không cần dùng máy tính mà vẫn tính nhanh và chính xác. Hướng dẫn : 1) Viết biểu thức 972 ― 32 thành tích khi đó xuất hiện số tròn trăm, tròn chục thuận lợi cho việc tính nhanh 2) Viết số 1012 thành tổng hai số khi đó xuất hiện số tròn trăm thuận lợi cho việc tính nhẩm 2 2 4) Viết biểu thức 36 +64 +72.64 thành bình phương tổng hai số khi đó xuất hiện số tròn trăm thuận lợi cho việc tính nhanh . 5) Dùng cách nhóm thành cặp 1002 ― 992 + 982 ― 972 + ... + 22 ― 1 = (1002 ― 992 ) + (982 ― 972) + ... + (22 ― 1) 2 2 Có 100 ―99 = (100 ― 99)(100 + 99) = 100 + 99 2 2 2 Tương tự 98 ―97 = 98 + 97,...,2 ―1 = 2 + 1 Khi đó 100 + 99 + 98 + + 2 + 1 (100 + 1)100 = = 5050 2 Bài tập tự luyện: Tính nhanh 2 2 2 2 1)23 +2.23.77 + 77 2)74 +24 ―48.74 2 2 2 3)126 ―152.126 + 5776 4)(31,8) ―2.31,8.21,8 + (21,8) 5)20152 ―2015.4028 + 20142 (Đề thi học kì I năm học 2014 ― 2015) 6) 3(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1)(232 +1) ― 264 (Sách ôn kiến thức luyện kỹ năng) 7)12 ― 22 + 32 ― 42 +... ― 20042 +20052 (Sách nâng cao và một số chuyên đề) Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
9. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 Dạng 3: Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức Phương pháp: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn biểu thức: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: )( + 2)( 2 ― 2 + 4) ― (15 + 3) )(2 + )(4 2 ― 2 + 2) ― (2 ― )(4 2 + 2 + 2) ― 2 )(3 ― 1)2 ― (3 + 2)2 Lưu ý: Thực ra với học sinh TB, khá khi chưa nhìn nhận nhanh HĐT thì hầu như các em đi nhân đa thức hoặc áp dụng HĐT khai triển, rồi có những em dùng quy tắc dấu ngoặc chưa đúng dẫn đến sai kết quả. Do đó tôi định hướng cách làm nhanh, gọn để các em thấy tác dụng của việc sử dụng HĐT trong bài toán rút gọn. Giải: )( + 2)( 2 ― 2 + 4) ― (15 + 3) = 3 + 23 ― 15 ― 3 = ― 7 )(2 + )(4 2 ― 2 + 2) ― (2 ― )(4 2 +2 + 2) ― 2 = (2 )3 + 3 ― (2 )3 ― 3 ― 2 3 = 8 3 + 3 ― 8 3 +2 3 ― 2 3 = 0 Phần c) Đa số các con khai triển hằng đẳng thức bình phương của hiệu, tổng rồi rút gọn. Tôi hướng dẫn cách sau: (3 ― 1)2 ― (3 + 2)2 (3 ― 1)2 ― (3 + 2)2 = [(3 ― 1) + (3 + 2)][(3 ― 1) ― (3 + 2)] = .. Bài tập tự luyện: Rút gọn các biểu thức sau một cách nhanh nhất 1) ( + 2 )2 ― 5( + )( ― ) + (2 ― )2 2) (6 ― 2)2 + (2 ― 5 )2 +2(6 ― 2)(2 ― 5 ) 3) (2 + 3)(4 2 ―6 + 9) ― 2(4 3 ―1) 4)( + + )2 + 2 + 2 + 2 ― ( + )2 ― ( + )2 ― ( + )2 Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
10. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 3 2 1) +12 +48 + 64 với = 6 2) 2 ―2 + 1 với = 101 2 2 3) ―4 với = 6; = 2 4) Tính ( ― )2biết + = 7; = 12 5)Tính ( + )2biết ― = 20; = 3 6) Tính 3 + 3biết + = ― 5; = 6 Thực tế khi gặp dạng toán này đa số đối tượng học sinh TB, Yếu thay trực tiếp tính rồi phụ thuộc vào máy tính và có khi kỹ thuật thay thế tính không nhạy bén dẫn đến tính toán sai. Nên tôi định hướng học sinh nhận dạng HĐT, viết biểu thức đó về dạng thu gọn nhất, sau đó thay giá trị của biến vào bài toán sẽ dễ dàng tính nhẩm hơn không nên thay trực tiếp hoặc dùng máy tính để tính. Giải: 1) Ta có: 3 +12 2 +48 + 64 = 3 + 3. 2.4 + 3. .42 + 43 = (x + 4)3 3 Thay = 6 vào biểu thức (x 4) ta được (6 + 4)3 = 103 = 1000 Vậy giá trị của biểu thức 3 +12 2 +48 + 64 tại = 6 là : 1000 Tương tự phần 2; phần 3 Phần 4; 5; 6. Có phần phức tạp hơn không thể làm theo cách phần 1; 2; 3 cần biến đổi biểu thức làm xuất hiện các điều kiện đã cho 4) Ta có ( ― )2 = 2 ― 2 + 2 = 2 +2 + 2 ― 2 ― 2 = ( + )2 ― 4 Từ đó thay thế và tính... Tương tự cách biến đổi phần 5; 6 5)( + )2 = ( ― )2 ― 4 ⇒ Thay và tính giá trị 6) 3 + 3 = ( + )3 ― 3 ( + )⇒ Thay và tính giá trị Bập tự luyện: Tính giá trị của biểu thức 1) 2 +4 + 4 với = 8 2) 3 +3 2 + 3 + 1 với = 99 3) 3 + 3 biết = 6; + = ― 5 4) 3 + 3biết + = 2; 2 + 2 = 10 2 2 5) +2 + ― 4 ― 4 + 1 biết + = 1 Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
11. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 Sau khi khi các con đã nắm vững HĐT biết vận dụng giải một số bài toán cơ bản, tôi mở rộng, nâng cao cho cho đối tượng học sinh khá giỏi để các con đạt được kết quả cao hơn trong các kỳ thi. 3. Biện pháp thứ ba: Nâng tầm tri thức Dạng 1 : Chứng minh giá trị biểu thức luôn dương, luôn âm. Ví dụ 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến: = 2 +2 + 2 Gợi ý: 2( ) ≥ 0 với mọi giá trị của x, ( ) là biểu thức chứa biến x Khi đó = 2( ) +푛 ≥ 푛 ( n là hằng số dương) Phương pháp: Viết biểu thức A dưới dạng bình phương của một tổng hay bình phương của hiệu và so sánh biểu thức đó với số 0 rồi kết luận bài toán. Hướng dẫn Ta có: = 2 +2 + 2 = 2 +2. .1 + 12 ― 12 +2 = ( + 1)2 + 1 ( ) 푛 Nhận xét : ( + 1)2 ≥ 0 với mọi x Suy ra: ( + 1)2 +1 ≥ 1 với mọi x Nên biểu thức > 0 với mọi x Vậy giá trị của biểu thức A luôn dương với mọi giá trị của biến Ví dụ 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của biến Q = – x2 + 6x -10 2 Gợi ý: ― ( ) ≤ 0 với mọi giá trị của x, ( ) là biểu thức chứa biến x 2 2 Khi đó 푄 = ― ( ) +푛 = 푛 ― ( ) ≤ 푛 ( n là hằng số âm) Phương pháp: Viết biểu thức Q dưới dạng bình phương của một tổng hay hiệu và so sánh biểu thức đó với số 0 rồi kết luận bài toán. Giải: Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
12. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 푄 = ― 2 +6 ― 10 = ― ( 2 ― 2. .3 + 32 ― 32 +10) = ― ( ― 3)2 ― 1 Nhận xét : ― ( ― 3)2 ≤ 0 với mọi x suy ra : ― 1 ― ( ― 3)2 < ― 1 với mọi x Nên 푄 < 0 với mọi x Vậy giá trị của biểu thức Q luôn âm với mọi giá trị của biến. Ví dụ 3: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến : = 2 2 ― 4 + 4 Gặp đa thức này tôi thấy các con rất lúng túng kể cả các con học khá không biết cách để đưa về HĐT, tôi hướng dẫn biến đổi như sau: Cách 1: = 2 2 ― 4 + 4 = 2( 2 ― 2 + 2) = 2( 2 ― 2. .1 + 12 ― 12) + 2 = 2( ― 1)2 +2 Cách 2: Khi hệ số trước giá trị x mũ 2 không là số chính phương Ta tiến hành nhân gấp = 2 2 ― 4 + 4 2 = 4 2 ― 8 + 8 = 4( 2 ― 2 + 2) = 4( 2 ― 2. .1 + 12 ― 12 + 2) = 4( ― 1)2 +4 Suy ra = 2( ― 1)2 +2 Các bước tiếp theo làm tương tự như cách làm ví dụ 1. Bài tập tự luyện 1.Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến (Sách ôn kiến thức luyện kỹ năng đại số 8) 2 2 = +2 + 7 = 5 +2 + 5 4 2 2 2 푆 = ―2 +3 = 9 ― 6 + 2 +1 2 2 2. Cho Q = +6 ― 2 + 12 ― 12 + 2017. Chứng minh rằng biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi số thức x,y. (Đề thi học kỳ 1 của Sở GDĐT Bắc Giang năm học 2017-2018) 3.Cho biểu thức = 2 ― 2 + 6 2 ― 12 + 2 + 2146. Chứng minh biểu thức A luôn nhận giá trị dương vói mọi giá trị của x; y Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
13. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 (Sách toán phát triển toán 8) 4.Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của biến 푃 = 2 ― 2 ―2 푄 = 4 ― 2 ― 2 +8 + 4 ― 21 Sau khi học sinh đã hiểu nội dung ví dụ 1 tôi tiếp tục chuyển dạng toán sau: Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức = 2 +2 + 2 * Phương pháp: Biến đổi = 2( ) + 푛 (n là hằng số, ( ) là biểu thức chứa biến x) Nhận xét: 2( ) ≥ 0với mọi x Suy ra 2( ) +푛 ≥ 푛 với mọi x Dấu “=” xảy ra khi 2( ) = 0 ( ) = 0⇒ = ? Kết luận bài toán Giải Ta có = 2 +2 + 2 = 2 +2 .1 + 12 ― 12 +2 = ( + 1)2 +1 Nhận thấy : ( + 1)2 ≥ 0 với mọi x nên ( + 1)2 +1 ≥ 1 với mọi x Dấu “=”xảy ra khi ( + 1)2 = 0 + 1 = 0⇒ = ― 1 Vậy Min A = 1 khi x = -1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức Q = ― 2 +6 ― 10 *Phương pháp: Biến đổi Q = ― 2( ) +푛 (n là hằng số, ( ) là biểu thức chứa biến x) Nhận xét : ― 2( ) ≤ 0với mọi x ― 2( ) +푛 ≤ 푛 với mọi x Dấu “=” xảy ra 2( ) = 0 Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
14. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 ( ) = 0⇒ = ? Kết luận bài toán Hướng dẫn: Thực hiện như phép biến đổi ví dụ 2 dạng 1 Cần chỉ ra thêm dấu “=” xảy ra khi (x - 3)2 = 0⇔x - 3 = 0 ⇔x = 3 Vậy Max D = -1 khi x = 3 Bài tập tự luyện: 1) Tìm GTNN của các biểu thức sau: A = x2 ― 6x + 10 B = x2 + 12x + 20 D = 2x2 ― 6x E = 2x2 + 10x ― 1 (Sách bài tập toán 8; sách ôn kiến thức luyện kỹ năng đại số 8) 2) Tìm GTLN của các biểu thức: A = 4x ― x2 +3;B = x ― x2;M = 2x ― 2x2 ―5;E = 5x ― x2 = ― 2021 2 +2 ― 1(Tài liệu bồi dưỡng toán 8) Dạng 2: Phương pháp tổng bình phương Xuất phát từ đề thi HSG các năm, ý cuối cùng 0.5 điểm trong đề thi của sở GDĐT Bắc Giang, Phòng giáo dục Đào tạo Yên Dũng 1. Cho hai số thực , thỏa mãn 5 2 +5 2 +8 + 2 = 2 ― 2 . Tính giá trị của biểu thức = ( + ― 1)2014 + ( ― 2)2015 + ( + 1)2016. (Đề thi học kỳ 1 của Sở GDĐT Bắc Giang năm học 2015-2016) 2. Tìm các số x, y thỏa mãn: 5 2 +2 2 +14 + 4 ― 4 + 8 ≤ 0 (Đề thi giữa học kỳ 1 của huyện Yên Dũng năm học 2016-2017) Phương pháp: Biến đổi đẳng thức về dạng 2 + 2 = 0 (A, B là biểu thức) mà 2 ≥ 0; 2 ≥ 0 từ đó suy ra = 0; = 0 Ví dụ 1: Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức 2 ― 2 + 2 +4 + 5 = 0 Ta có: 2 ―2 + 2 +4 + 5 = 0 ⇔ 2 ―2 + 1 + 2 +4 + 4 = 0 Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
15. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 ⇔( ― 1)2 +( + 2)2 = 0 mà ( ― 1)2 ≥ 0 với mọi x; ( + 2)2 ≥ 0 với mọi y ― 1 = 0 = 1 ⇒ + 2 = 0⇔ = ―2 KL: ... Ví dụ 2: Cho x,y là các số nguyên thỏa mãn 2 + 2 +2( ― 2 + 10) = 15 Tính 푆 = 20 +( ― 1)11 +( + )1000 Gợi ý: Để tính được tổng S ta tìm x, y thỏa mãn 2 + 2 +2( ― 2 + 10) = 15 Cách tìm x, y( theo phương pháp biến đổi ở trên) Thay giá trị x, y tìm được vào biểu thức S rồi tính. Giải: Ta có 2 + 2 +2( ― 2 + 10) = 15 ⇔ 2 + 2 +2 ― 4 + 20 ― 15 = 0 ⇔( 2 + 2 + 1 ) + 2 ― 4 + 4 = 0 ⇔( + 1)2 +( ― 2)2 = 0 + 1 = 0 = ―1 ⇔ ― 2 = 0⇔ = 2 Thay vào biểu thức: 푆 = 20 +( ― 1)11 +( + )1000 Thu được 푆 = ( ― 1)20 + (2 ― 1)11 +( ― 1 + 2)1000 = 3. KL Ví dụ 3: Tìm các số x,y thỏa mãn: 5 2 +2 2 +14 + 4 ― 4 + 8 = 0 Gợi ý: Học sinh gặp thương lúng túng khó khăn trong việc đưa về dạng tổng các bình phương vì hệ số trước biến mũ 2 là số lẻ . Phương pháp: Khi hệ số trước 2; 2 khi không phải là bình phương của một số => Dùng phương pháp nhân gấp => thành số chính phương => chọn biến chính (phụ ) thành bình phương tam, bình phương nhị. Cách 1: Chọn biến chính là x Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
16. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 Ta có 5 2 +2 2 +14 + 4 ― 4 + 8 = 0 ⇔25 2 +10 2 +70 + 20 ― 20 + 40 = 0 ⇔25 2 +20 + 40 + 10 2 ― 20 + 70 = 0 ⇔25 2 +2.5 .(2 + 4) + (2 + 4)2 ― (2 + 4)2 +10 2 ― 20 + 70 = 0 ⇔(5 + 2 + 4)2 ― 4 2 ― 16 ― 16 + 10 2 ― 20 + 70 = 0 ⇔(5 + 2 + 4)2 +6( 2 ― 6 + 9) = 0 5 + 2 + 4 = 0 = ―2 2 2 Cách ⇔ (5 + 2 + 4) +6( ― 3) = 0 ⇔ ― 3 = 0 ⇔ = 3 2 : Chọn biến chính là y Từ nội dung bài toán trên Gv yêu cầu học sinh phát triển dạng toán mới để luyện giải toán: Tìm GTNN, tính giá trị biểu thức tại giá trị của biến... Ví dụ 4:(Đề thi giữa học kỳ 1 của huyện Yên Dũng năm học 2016-2017) Tìm các số x, y thỏa mãn: 5 2 +2 2 +14 + 4 ― 4 + 8 ≤ 0 Gợi ý: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hai bình phương, đánh giá về biểu thức đã biến đổi kết hợp điều kiện bài toán cho tìm được lời giải bài toán 2 2 Ta có 5 +2 +14 + 4 ― 4 + 8 ≤ 0 ⇔2 2 + 2 ( ― 1) + ( ― 1)2 + 5 2 + 8 + 14 ― 2( ― 1)2 ≤ 0 Nhận ⇔2 2 + 2 ( ― 1) + ( ― 1)2 + 3( + 2)2 ≤ 0 (1) thấy 2 2 + 2 ( ― 1) + ( ― 1)2 +3( + 2)2 ≥ 0 (2) Kết hợp (1) và (2) suy ra 2 2 + 2 ( ― 1) + ( ― 1)2 + 3( + 2)2 = 0 ⇔2( + ― 1)2 + 3( + 2)2 = 0 + 2 = 0 = ―2 => + ― 1 = 0 = 3 Bài tập tự luyện Ngoài phương pháp hướng dẫn các con lĩnh hội kiến thức bản thân còn kết hợp các phương pháp, các cách tổ chức hoạt động học tập để các con lĩnh hội kiến thức một cách dễ dàng nhất. 4. Biện pháp thứ tư : Giao thoa ánh sáng Ngay từ bước đầu khi được nhận nhiệm vụ tôi đã xây dựng kế hoạch hoạt động giáo dục bộ môn mình giảng dạy đúng với quy định, hướng dẫn của Bộ Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
17. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 GD&ĐT; thực hiện tốt nhiệm vụ chuyên môn, đổi mới cách soạn giảng, áp dụng các phương pháp dạy học tích cực để từng bước nâng cao hiệu quả của tiết học. Tìm hiểu từng đối tượng học sinh trong lớp mình phụ trách, hiểu tâm lý, lực học từng em để có phương pháp giảng dạy, giao bài tập sao cho phù hợp. Trong từng bài giảng cần có cử chỉ, ánh mắt, giọng nói bộc lộ sự tự tin vào kiến thức, quan tâm đều đến tất cả các em tạo được không khí học tập thân thiện, tích cực trong mỗi tiết dạy học toán. Tôi thường chủ động ôn tập cho học sinh trước các kỳ thi; cho học sinh tập dượt nhiều dạng bài bám sát với kiến thức cơ bản cũng như một phần nâng cao với đối tượng khá giỏi. Luôn nghiêm túc thực hiện việc ra đề, coi kiểm tra, khi chấm chữa bài của học sinh thật tỉ mỉ, chỉ ra các lỗi sai và yêu cầu các em khắc phục trình bày lại bài. Với những học sinh có tiến bộ tôi động viên về sự cố gắng, khuyến khích em bằng điểm số hoặc lời khen khích lệ. Ứng dụng CNTT vào các giờ dạy, kết hợp các phương pháp dạy học để tăng tính hứng thú của học sinh, tạo sự phấn khởi và niềm yêu thích môn học. Thành lập nhóm Zalo, tạo phòng học trên Zoom, Meet cho lớp để cô trò trao đổi khi cần thiết với nội dung phục vụ môn học của mình như bài tập tự luyện, bài toán mà các con gặp khó khăn trong cách giải. Bản thân phối hợp tốt với giáo viên chủ nhiệm và phụ huynh học sinh để trao đổi thông tin và có những phương pháp giáo dục hiệu quả, luôn biết động viên, khích lệ với những tiến bộ dù nhỏ nhất của các em. PHẦN C. MINH CHỨNG VỀ HIỆU QUẢ CỦA BIỆN PHÁP Kết quả bài tập: Thực hiện tính, tính nhanh, rút gọn biểu thức, tìm giá trị của biến thỏa mãn điều kiệc cho trước năm học 2019 – 2020. Lớp Áp dụng Số HS đạt điểm bài tập khai triển hđt, tính nhanh, tìm Sĩ số biện pháp giá trị của biến, rút gọn biểu thức HS (tối đa 1.5điểm) Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
18. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 1.5điểm 1 điểm 0,5 điểm 0 điểm hoặc 0,25 8A(29) Chưa 0 4 11 14 8B(30) Chưa 0 6 13 11 Kết quả bài tập: Khai triển hằng đẳng thức, tính nhanh, rút gọn biểu thức, tìm giá trị của biến thỏa mãn điều kiện cho trước... trong lần thi giữa học kì I, cuối học kì I năm học 2020 – 2021.(Đã áp dụng biện pháp ) Lớp Số HS đạt diểm bài tập: Tính nhanh, tìm Bài toán liên Lần thi Sĩ số giá trị thỏa mãn điều kiện của biến... quan HS ( tối đa 1.5điểm) (2.5điểm) 1.5 (đ) 1 (đ) 0,5 (đ) 0 - 0,25 (đ) 8A(29) 3 17 9 0 15 Giữa kì 8B(30) 4 20 6 0 16 Cuối kì 8A(29) 5 23 1 0 20 8B(30) 6 23 1 0 22 Như vậy từ chỗ học sinh lúng túng trong kiến thức và phương pháp, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức được ôn luyện. Sau thời gian học kì I áp dụng các biện pháp trên, tôi thấy học sinh đã dần dần thành thạo các dạng toán nêu trên các con đã không còn bỡ ngỡ, biết cách giải gắn gọn, trình bày khoa học, ngoài ra còn biết làm các bài toán nâng cao liên quan đến HĐT một cách linh hoạt. Tuy nhiên lượng học sinh lực học yếu, kém vẫn còn lúng túng mắc sai lầm trong quá trình làm bài tập, còn lạm dụng máy tính cầm tay. PHẦN D. CAM KẾT Dù đã rất cố gắng tìm tòi và học hỏi, song kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, do đó cách lựa chọn các giải pháp vận dụng HĐT vào giải một số dạng toán lớp 8 đã đúng đắn chưa hay còn một số thiếu sót, sai lầm ở đâu đó. Tôi rất mong sự giúp đỡ của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để các giải pháp tôi trình bày trên được hoàn thiện hơn. Tôi xin cam đoan những điều báo cáo trên đây hoàn toàn đúng sự thật và không sao chép hoặc vi phạm bản quyền. Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
19. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 Xin trân trọng cảm ơn! Cảnh Thụy, ngày 08 tháng 02 năm 2022 GIÁO VIÊN Nguyễn Thị Tấn PHẦN E. ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG 1.Đánh giá, nhận xét của tổ/ nhóm chuyên môn ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. TỔ/ NHÓM TRƯỞNG CHUYÊN MÔN (Ký và ghi rõ họ tên) Tống Thị Thu Hương 2.Đánh giá, nhận xét, xác nhận của Hiệu trưởng Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy
20. Giải pháp nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán lớp 8 ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. ................................................................................................................................. THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký và đóng dấu) Nguyễn Thị Tấn – Trường THCS Cảnh Thụy