›
›
›

Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chương 4, Bài 1: Số phức - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Quang Minh

ppt 41 trang thuongnguyen 4033
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chương 4, Bài 1: Số phức - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Quang Minh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_giai_tich_lop_12_chuong_1_bai_1_so_phuc_nam_hoc_20.ppt

Nội dung text: Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chương 4, Bài 1: Số phức - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Quang Minh

  1. Chuyên đề SỐSỐ PHỨCPHỨC Gv: Nguyễn Quang Minh Thực hiện
  2. Chương IV SỐ PHỨC I. Số phức II. Cộng, trừ, nhân và chia số phức III. Phương trình bậc hai với hệ số thực IV. Phương trình bậc hai với hệ số phức V. Bài tập về số phức
  3. GV: NGUYỄN QUANG MINH Chuyên đề SỐ PHỨC I. SỐ PHỨC
  4. Đặt vấn đề: Xét các phương trình sau đây: 1) x+3 = 0 (1) vô nghiệm trong N, có nghiệm trong Z 2) 2x+5 = 0 (2) vn trong Z, có nghiệm trong Q 3) (3) vn trong Q, có nghiệm trong R 4) (4) vô nghiệm trong R Ta mở rộng tập R để tất cả phương trình đại số dạng như (4) luôn có nghiệm?
  5. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) ∆ = b² – 4ac Kết luận ─ – b ± ∆ ∆ > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt: x = ¹’² 2a (1) có một nghiệm: x = – b ∆ = 0 2a ∆ < 0 (1) vô nghiệm trong R. Với mong muốn mở rộng tập các số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới.
  6. I. SỐ PHỨC 1. Số i được định nghĩa là số thỏa mãn điều kiện : 2. Định nghĩa số phức: - Mỗi biểu thức dạng: a + bi, trong đó a,b R; i2 = -1 được gọi là một số phức.2 - Với số phức z = a + bi: i a là phần=-1 thực của số phức. b là phần ảo của số phức. - Tập hợp các số phức, kí hiệu: C và: N  Z  Q  R  C
  7. I. SỐ PHỨC Quan hệ giữa các tập hợp số: N  Z  Q  R  C C R Q Z N Biểu đồ VEN Ví dụ 1. Xác định phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau: Câu Số phức z Phần thực Phần ảo 1 z = 3 + 2i 3 2 2 z = 4i-5 -5 4 3 z = -2i Số thuần ảo 0 -2 4 z = 7 Số thực 7 0
  8. I. SỐ PHỨC 3. Số phức bằng nhau: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a + bi = c + di a = c và b = d Ví dụ 2. Tìm các số thực x; y, biết: 1. (3x – 2 ) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i Giải.
  9. I. SỐ PHỨC 3. Số phức bằng nhau: Ví dụ 2. Tìm các số thực x; y, biết: 2). (1 – 2x ) + i3 = 5 - (1 – 3y)i 3). (2x + y ) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i
  10. I. SỐ PHỨC 1. Số i: 2. Định nghĩa số phức: 3. Số phức bằng nhau: Chú ý: Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 Ta viết: z = a + 0i Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức Số phức: z = 0 + bi được gọi là số thuần ảo Số i được gọi là đơn vị ảo
  11. I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Trong hệ tọa độ vuông góc y (x’ox; y’oy), điểm M(a;b) được gọi là điểm biểu diễn của số b M phức z = a + bi x' x O a Một số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp y' số thực (a; b)
  12. I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 3. Điểm A( 2; 3) là điểm biểu y diễn của số phức z1 = 2 + 3i 3 A B 2 Điểm B( -3; 2) là điểm biểu x' -1 x -3 O 2 diễn của số phức z2 = -3 + 2i E -4 Điểm E( -1; - 4) là điểm biểu y' diễn của số phức z3 = -1 - 4i
  13. I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức: Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở z = 2 và z = -3i 4 5 đâu trên mặt phẳng tọa độ? y x' 2. x Điểm H( 2; 0) là điểm biểu O H diễn của số phức z4 = 2 + 0i, điểm H nằm trên trục hoành K.-3 z = 2 là số thực Điểm4 K( 0; -3) là điểm biểu z5 = -3i là số thuần ảo y' diễn của số phức z5 = 0 - 3i, Mặt phẳng biểu diễn sốđiểm phức K gọi nằm là trênmặt trụcphẳng tung phức
  14. I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: d y a/. Phần thực của z bằng –2 2 x' -2 x O Giải -1 y' Số phức z = -2 + bi (b R) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: x = –2
  15. I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu y diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: d 3 b/. Phần ảo của z bằng 3 x' x O Giải y' Số phức z = a + 3i (a R) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: y = 3
  16. I. SỐ PHỨC 5. Môđun của số phức: Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) y trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z b .M Ký hiệu: z = a + bi x' x     a O Công thức: z= a2 +b2 y' Ví dụ 4. Tính môđun của mỗi số phức sau: Câu Số phức z Môđun của số phức z 1 z = 3 + 2i z= 3+2i = 32 + 22 = 13 2 z = 4i z= 4i = (0)2 + 42 = 4 3 z = -3 z= -3 = (-3)2 + 02 = 3
  17. I. SỐ PHỨC 6. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của số phức z và kí hiệu: z = a - bi Điểm M1( a; b) là điểm biểu y diễn của số phức z = a + bi Điểm M2( a; -b) là điểm biểu M b 1 diễn của số phức z = a - bi x' x Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm O a biểu diễn của z và z đối xứng nhau -b M 2 qua trục Ox y' Chú ý: z = z ; z= z
  18. I. SỐ PHỨC 6. Số phức liên hợp: Ví dụ 5. Hãy điền vào các chỗ còn trống với các kết quả thích hợp: Câu Số phức z Số phức ¯z l z l ¯ 1 Z = 3 + 4i Z = 3 – 4i z= 32 + (4)2 = 5 ¯ Z = 2 - 5i Z = 2 + 5i 2 2 2  z  =  2 +(-5) = 29 ¯Z = - 3 z= 9 = 3 3 Z = -3 ¯Z = 9i z= 9 4 Z = - 9i
  19. GV: NGUYỄN QUANG MINH Chuyên đề SỐ PHỨC II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC
  20. II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức: z = a + bi, z = c + di ¹ ² 1. Cộng hai số phức z¹ + z ² = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 2. Trừ hai số phức z¹ – z ² = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i 3. Nhân hai số phức z . z = (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ¹ ² 4. Chia hai số phức z a + bi (a + bi).(c – di) ac + bd (bc – ad)i ¹ = = = + z ² c + di (c + di).(c – di) c² + d ² c² + d²
  21. II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau: Câu Đề bài Kết quả 1 (3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i 2 (–2 – 3i) + (–1 – 7i) = (– 2 –1) + (– 3 – 7)i = –3 – 10i 3 (4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 –5) + (3 + 7)i = –1 + 10i 4 (2 – 3i) – (5 – 4i) = ( 2 –5) + (– 3 +4)i = –3 +i 5 (3 – 2i) + (2 + 4i) + (–1 + i) = 4 + 3i Chú ý 1: Phép cộng, phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức
  22. II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC Chú ý 2: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = -1 trong kết quả nhận được. (a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: 1/. (2 – 3i).(3 – 2i) = 6 – 4i – 9i + 6i2 = – 13i 2/. (–1 + i).(3 + 7i) = –3 – 7i + 3i + 7i2 = –10 – 4i 3/. 5(4 + 3i) = 20 + 15i 4/. (– 2 – 5i).4i = –8i – 20i2 = 20 – 8i
  23. II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC Chú ý 3 : i = i i5 = i4.i = i i2 = – 1 i6 = i5.i = i2 = – 1 i3 = i2.i = – i i7 = i6.i = – i i4 = i3.i = – i2 = 1 i8 = i7.i = – i2 = 1 i9 = i8.i = i i13 = i12.i = i i10 = i9.i = i2 = – 1 i14 = i13.i = i2 = – 1 i11 = i10.i = – i i15 = i14.i = – i i12 = i11.i = – i2 = 1 i16 = i15.i = – i2 = 1 Tổng quát: Nếu: n 4q r, 0 r 4 thì: in = i4q r = ir i5 = i4.1 1 i=2022 i = ?i10 = i4.2 2 = i2 = –i2022 1 = ii4.50515 = 2i4.3 = i32 ==-1 i3 = – i
  24. II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, trong đó a,b R Số phức liên hợp của z: ¯z = a + bi vTổng và tích hai số phức liên hợp: z + ¯z = 2a z . ¯z = a ² + b² = lzl ² Tổng và tích hai số phức liên hợp là một số thực vNghịch đảo của một số phức: 1 ¯z a ─ = = – bi z lzl² a² + b² a² + b² Chú ý: (1+ i)² = 2i, (1– i)² = – 2i
  25. II. CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC Ví dụ 3: Thực hiện các phép tính sau: 2 + i 1. (2 + i).(3 + 2i) 4 + 7i 4 7i = = = + 3 – 2i (3 – 2i).(3 + 2i) 13 13 13 1 + i ¯2 (1 + i ¯2 ) .(2 – i 3) 2 +  ¯6 (2  ¯ 2–  ¯3)i 2. = ¯ = + 2 + i ¯3 (2 + i ¯3 ). (2 – i ¯3 ) 7 7 3. 5i 5i (2 + 3i) 15 10i = = – + 2 – 3i (2 – 3i). (2 + 3i) 13 13 4. 2 2 (1 + 2i) 2 4i = = + 1 – 2i (1 – 2i). (1 + 2i) 5 5 (2 + 3i)²+i³ (– 5 + 11i).2i 5i 5. = = – 11 – (1 – i)² ( – 2i).2i 2 2
  26. GV: NGUYỄN QUANG MINH Chuyên đề SỐ PHỨC III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
  27. III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC vCăn bậc hai của số thực dương. ─ ─ Căn bậc hai của số thực dương a là ± a , vì (± a )² = a vCăn bậc hai của số thực âm. Căn bậc hai của số thực âm a là ± ilal Ví dụ 1. ─ ─ 1. Căn bậc hai của –2 là ± i2 , vì (± i2)² = 2i² = – 2 ─ ─ 2. Căn bậc hai của –5 là ± i5 , vì (± i5)² = 5i² = – 5 ─ 3. Căn bậc hai của –9 là ± i9 = ± 3i , vì (± 3i)² = 9i² = –9
  28. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) ∆ = b² – 4ac Kết luận ─ (1) có 2 nghiệm thực – b ± ∆ ∆ > 0 x = phân biệt: ¹’² 2a (1) có một nghiệm thực: x = – b ∆ = 0 2a – b ± ∆ < 0 (1) có 2 nghiệm phức: x = ¹’² 2ail∆l Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)
  29. III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) 2z² – 5z + 4 = 0 (1) 2) 7z² + 3z + 2 = 0 (2) Giải Giải ∆ = 25 – 32 = –7 = 7i² ∆ = 9 – 56 = – 47 = 47i² Nghiệm của phương trình (1) Nghiệm của phương trình (2) ─ ─ 5 – 5 -3 – 3 i47 z = = ─ – z = = – – ¹ i74 4 i47 ¹ i4714 14 14 ─ ─ 5 + 5 -3 + 3 i47 z = = ─ + z = = – + ² i74 4 i47 ² i4714 14 14 Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả.
  30. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) ∆’ = b’² – ac Kết luận ─ (1) có 2 nghiệm thực – b’ ± ∆’ ∆’ > 0 x = phân biệt: ¹’² a (1) có một nghiệm thực: x = – b’ ∆’= 0 a – b’ ± ∆’ < 0 (1) có 2 nghiệm phức: x = ¹’² ial∆’l Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)
  31. III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 3) z² – 4z + 7 = 0 (3) 4) 8z² + 4z + 1 = 0 (4) Giải Giải ∆’ = 4 – 7 = –3 = 3i² ∆’ = 4 – 8 = – 4 = 4i² Nghiệm của phương trình (3) Nghiệm của phương trình (4) z = 2 – 3i 1 i ¹ z = – ─ – ─ ¹ 4 4 z = 2 + 3i i ² z = – 1 ² ─ + ─ 4 4 Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả.
  32. III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) z 4 + z² – 6 = 0 (1) Giải Đặt: t = z² (t C) Phương trình (1) thành: - t = 2 t² + t – 6 = 0  - t = –3 - ─ z = – 2 v t = 2  z² = 2  ─ - z = 2 - ─ z = – i3 v t = – 3  z² = 3i² ─ - z = i3 ─ ─ Phương trình (1) có 4 nghiệm: z = –2 , z = 2 , ─ ─ z = i3, z = – i3
  33. III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 2) z 4 - 6z² + 25 = 0 (2) Giải. Đặt: t = z² (t C) Phương trình (1) thành: t² - 6t + 25 = 0 (*) ∆’ = 9 – 25 = –16 = 16i² Nghiệm của phương trình (*): t = 3 – 4i , t = 3 + 4i v t = 3 – 4i  z² = 3 – 4i = (4 – 4i + i²) = (2 – i)²  z = ± (2 – i) v t = 3 + 4i  z² = 3 + 4i = (4 + 4i + i²) = (2 + i)²  z = ± (2 + i) Phương trình (2) có 4 nghiệm: z = – 2 + i , z = 2 – i , z = –2 – i, z = 2 + i
  34. GV: NGUYỄN QUANG MINH Chuyên đề SỐ PHỨC IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC
  35. IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC 1. Căn bậc hai của số phức: Bài toán. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a) z = 3 – 4i 2 y = – ─  x Giải {- x² = – 1 (vn) Giả sử: x + yi (x,y R) là căn bậc x² = 4 hai của số phức z, ta có: - x = – 2 x = 2 (x + yi)² = 3 – 4i  hoặc { y = 1 { y = –1  (x² – y²) + 2xyi = 3 – 4i x² – y² = 3 Vậy căn bậc hai của z là:  {2xy = – 4 2 – i và – 2 + i 2 – y = ─x  Ø 3 – 4i = (2 – i)² { x 4 – 3x² – 4 = 0 Ø 3 + 4i = (2 + i)²
  36. IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC 1. Căn bậc hai của số phức: Bài toán. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: b) z = 5 + 12i 6 Giải y = ─  x {- x² = – 4 (vn) Giả sử: x + yi (x,y R) là căn bậc hai của số phức z, ta có: - x² = 9 (x + yi)² = 5 + 12i x = – 3 x = 3  hoặc { y = – 2 { y = 2  (x² – y²) + 2xyi = 5 + 12i Vậy căn bậc hai của z là: x² – y² = 5  {2xy = 12 3 + 2i và – 3 – 2i 6 – y = x  Ø 5 – 12i = (3 – 2i)² { x 4 – 5x² – 36 = 0 Ø 5 + 12i = (3 + 2i)²
  37. IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC 2. Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ví dụ . Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a) (1+i)z² – 2(1– i)z +1 – 3i = 0 (1) ∆’ = (1– i)² – (1+i).(1– 3i = – 4 = 4i² Nghiệm của phương trình (1) 1 – i – 2i (1 – 3i).(1 – i) z = = = – 1 – 2i ¹ 1 + i (1 + i).(1 – i) 1 – i + 2i z = = 1 ² 1 + i
  38. IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC 2. Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ví dụ . Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức b) (1 – i)z² – 2z +1 – (11 + 3i) = 0 (2) ∆’ = 1 + (1 – i).(11 + 3i = 15 – 8i = 16 – 8i + i² = (4 – i)² Nghiệm của phương trình (2) 1 – 4 + i (– 3 + i).(1 + i) z = = = – 2 – i ¹ 1 – i (1 – i).(1 + i) 1 + 4 – i (5 – i).(1 + i) z = = = 3 + 2i ² 1 – i (1 – i).(1 + i)
  39. GV: NGUYỄN QUANG MINH Chuyên đề SỐ PHỨC V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
  40. V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Bài 1. Gọi z¹ , z ² là hai nghiệm phức của phương trình: z² + 2z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức: A = lz l² + lz l² ¹ ² Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn : z² + 2z + 10 = 0 lz – (2 + i)l = 10 và z.z¯ = 25 Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : lz – (3 – 4i)l = 2 Bài 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện : (2 – 3i)z + (4 + i)z¯ = – ( 1+ 3i)² Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn : |z| = ¯2 và z² là số thuần ảo
  41. V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC