Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chương 1, Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Lê Thị Hương Chi

Nội dung text: Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chương 1, Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Lê Thị Hương Chi

1. Đ3 Giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số Copyright by Lờ Thị Hương Chi
2. I. Định nghĩa y n Cho hàm số y=f(x) xỏc định trờn tập hợp D. M n a, Số M được gọi là giỏ f(x) trị lớn nhất (GTLN) của y=f(x) trờn D nếu: O x D x0 x Ký hiệu: M=max f(x) D
3. I. Định nghĩa n b,Số m được gọi là giỏ y trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y=f(x) trờn f(x) tập D nếu: m x O x0 x D Ký hiệu: m=min f(x) D
4. Giữa hai khỏi niệm n CĐ, CT chỉ xột trờn CĐ và GTLN; CT và lõn cận của điểm xo GTNN cú gỡ giống và (mang tớnh địa khỏc nhau? phương). y GTLN, GTNN xột trờn phạm vi rộng hơn. M m=yCT O x x x CT D 0
5. Từ ĐN suy ra phương phỏp tỡm GTLN, GTNN trờn D ? Tỡm số M, c/m f(x)≤M thỡ M là GTLN của h/s trờn D. Tỡm số m, c/m f(x)≥m thỡ m là GTNN của h/s trờn D.
6. II. GTLN, GTNN của hàm số trờn một khoảng n Bài toỏn:Cho hàm số y=f(x) liờn tục trờn (a,b)(a cú thể là-∞, b cú thể là + ∞). Hóy tỡm max f(x),min f(x) nếu chỳng tồn tại. (a,b) (a,b) Cỏch giải: *Lập bảng biến thiờn của hàm số trờn (a,b) *Kết luận.
7. Chỳ ý:Khi trờn (a,b) chỉ cú một cực trị : y -Nếu cực trị là CĐ M thỡ giỏ trị CĐ cũng là GTLN a x x của h/s trờn (a,b) 0 b y -Nếu cực trị là CT thỡ giỏ trị CT cũng x0 là GTNNcủa h/s a b x trờn (a,b) m
8. Vớ dụ 1.Cho h/s f(x)=4x3-x4. Tỡm GTLN, GTNN của hàm số trờn R n Giải: n y’=12x2 -4x3=4x2(3-x) x -∞ 0 3 +∞ y’ + 0 + 0 - n y’=0 x=0, x=3 27 y n Vậy: max f(x)=27; R -∞ -∞ min f(x) khụng tồn tại R
9. VD2.Trong tất cả cỏc hỡnh chữ nhật cú diện tớch 48m2, xỏc định hỡnh chữ nhật cú chu vi nhỏ nhất n Giải. n Gọi độ dài một cạnh là x (x>0), cạnh kề nú là n Chu vi hcn C=2(x+ ). Xột h/s y=(x + ) trờn (0,+∞) n y’= , y’= 0 n Vậy hcn cú chu vi nhỏ nhất là hỡnh vuụng cạnh bằng x 0 +∞ y’ - 0 + m. +∞ +∞ y
10. Vớ dụ 3: Cho hàm số f(x)=2x3+3x2-1 tỡm GTLN, GTNN của f(x) trờn: a, b, (-2,1) n Giải: n y’=6x(x+1)= 0 n a, x -1 0 y’ + 0 - 0 + 0 0 y -1 -1 n Max f(x)=0 đạt tại x=-1; min f(x)=-1 đạt tại x=0
11. Vớ dụ 3: Cho hàm số f(x)=2x3+3x2-1 tỡm GTLN, GTNN của f(x) trờn: a, b, (-2,1) n b, (-2,1) x -2 -1 0 1 y’ + 0 - 0 + 0 4 y -1 -5 n Dựa vào bảng biến thiờn ta thấy: H/s khụng cú GTLN, GTNN trờn (-2,1)
12. Nhận xột sự của max f(x), min f(x) ? (a,b) (a,b) GTLN, GTNN của một hàm số trờn khoảng cú thể cú, cú thể khụng.
13. III.GTLN, GTNN của hàm số trờn một đoạn n Bài toỏn: Cho h/s y=f(x) liờn tục trờn [a,b] và cú hữu hạn điểm tới hạn trờn [a,b]. Tỡm , . n Cỏch giải C1: b1-Lập BBT của hàm số trờn [a,b] b2- Dựa vào BBT để kết luận .
14. Nhận xột: Hàm f(x) liờn tục trờn [a,b] thỡ . luụn tồn tại. Quan sỏt cỏc hỡnh vẽ sau y y M M f(b) m m a O b x a O b Nhận xột max f(x)=f , [a,b] CĐ max f(x)=f(a), min f(x)=f(b) [a,b] [a,b] min f(x)=f(a) [a,b]
15. Nhận xột n Nếu f(x) khụng cú điểm tới hạn nào trờn [a,b] thỡ max, min đạt tại cỏc đầu mỳt a và b. n Nếu f(x) cú một số điểm tới hạn trờn [a,b], cỏc điểm tới hạn chia [a,b] thành nhiều đoạn nhỏ. Trờn cỏc đoạn nhỏ đú lại khụng cú điểm tới hạn nào do đú max là số lớn nhất, min là số nhỏ nhất trong cỏc giỏ trị của f(x) tại cỏc điểm tới hạn và tại a, b.
16. Cỏch 2 b1-Tỡm cỏc điểm tới hạn x1,x2, ,xn của f(x) trờn [a,b] b2-Tớnh f(a),f(x1), f(x2), , f(xn), f(b). b3-Tỡm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cỏc số trờn M= m=
17. Bài toỏn: Cho h/s y=f(x) liờn tục trờn [a,b] và cú hữu hạn điểm tới hạn trờn [a,b]. Tỡm , . n Cỏch giải C1: -Lập BBT của hàm số trờn [a,b] - Dựa vào BBT để kết luận . C2: -Tỡm cỏc điểm tới hạn x1,x2, ,xn của f(x) trờn [a,b] -Tớnh f(a),f(x1), f(x2), , f(xn), f(b). -Tỡm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cỏc số trờn M= m=
18. VD4.Tỡm GTLN,GTNN của h/s f(x)=2x3+3x2-1 trờn: a, [-2,1] b, [1,3) Giải: f’(x)=6x(x+1); f’(x)=0 x=-1, x=0. Vậy cỏc điểm tới hạn là x=-1, x=0. a, -1, 0 [-2,1]: f(-2)=-5; f(-1)=0; f(0)=-1; f(1)=4. Vậy max f(x)=f(1)=4; min f(x)=f(-2)=-5. [-2,1] [-2,1] b,Xột BBT: h/s đồng biến x 1 3 trờn [1,3). y’ + 80 Ta thấy min f(x)=f(1)=4; y [1,3) 4 max f(x) khụng tồn tại. [1,3)
19. VD5.Cho h/s y= . Tỡm GTLN, GTNN của hàm số. Giải. •D=[0,6]; y’= •y’=0 2x=4(6-x) x=4 y(0)= ; y(6)= ; y(4)= Vậy GTNN là ,GTLN là
20. VD6. Cho tỡm GTLN, GTNN của h/s trờn R. Giải. Đặt , điều kiện t 1 2 f’(t) 0 + 5 Max y=f(2)=5; min y=f(1)=3 f(t) R R 3
21. VD7.Xỏc định m để phương trỡnh: 2lnx-x2=m cú nghiệm nhỏ hơn 2 Giải Đặt y=f(x)=2lnx-x2 (x>0). x 0 1 2 Ta xột sự biến thiờn của y’ + 0 - h/s trờn (0,2) y -1 -∞ 2ln2-4 n f’(x)= , f’(x)=0 x=1 n Với x (0,2) thỡ miền giỏ trị của h/s là ( -∞ ,-1). Vậy phương trỡnh cú nghiệm nhỏ hơn 2 khi m ≤ -1
22. VD8. Xỏc định m để phương trỡnh: ex(-x2+4x-1)=m cú nghiệm dương. n Giải n Ta khảo sỏt h/s: y= f(x)=ex(-x2+4x-1) trờn (0,+∞) n f’(x)=ex(-x2+2x+3)=ex(-x-1)(x-3) x 0 3 +∞ n f’(x)=0 y’ + 0 - 3 y 2e -1 -∞ n Vậy phương trỡnh cú nghiệm dương khi m≤2e3.
23. Củng cố n Cho h/s y= f(x) xỏc định trờn D
24. Cỏch tỡm GTLN, GTNN của hàm số n Trờn (a,b) hoặc [a,b) -Lập BBT của hàm số. -Dựa vào BBT để kết luận n Trờn [a,b]. C1-Lập BBT kết luận. C2 -Tỡm cỏc điểm tới hạn x1,x2, ,xn của f(x) trờn [a,b] -Tớnh f(a),f(x1), f(x2), , f(xn), f(b). -Tỡm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cỏc số trờn M= m=
25. XIN CảM ƠN