Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chương 1, Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Trường THPT An Ninh

Nội dung text: Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chương 1, Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Trường THPT An Ninh

1. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ THPT AN MINH
2. 1. Các bứơc khảo sát hàm số y=f(x) i) Tập xác định: (nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm số lẻ,hàm số tuần hoàn) ii) Sự biến thiên: 1) Chiều biến thiên : ( Tính y’, kháo sát dấu y’ ) xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến 2) Tìm giới hạn ,tiệm cận ( nếu có ) 3) Lập BBT 4) Cực trị ( nếu có ) 5)Điểm uốn có hoành độ là nghiệm của đạo hàm cấp 2 iii) Đồ thị: • Tìm giao điểm (nếu có) của đồ thị với trục tung và trục hoành các điểm phụ và vẽ đồ thị đi qua các điểm đã tìm.
3. 2. Hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d (aVí dụ0) 1: Khảo sát hàm số: y= 2x3-3x2+1 Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2 Giải: 1)TXĐ: D=R 2) Sự biến thiên: a) Giới hạn: •Đồ thị không có tiệm cận b) Chiều biến thiên y’ = 6x2-6x, y’=0 x=0 hoặc x=1. y’ >0 trên (- ;0) và (1; + ), y’ <0 trên (0;1) c) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=1, cực tiểu tại x=1;yCT=0.
4. d)Bảng biến thiên x - 0 1 + y’ + 0 - 0 + y - 1 0 + e) điểm uốn • y’’=12x-6 ,y’’=0 x= 1/2 Điểm uốn I(1/2;1/2) 3) Đồ thị: y=0 (x-1)2 (2x+1)=0 x=1 , x=-1/2. x=0 ,y = 1. (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với trục hoành và.(0;1) giao điểm của đồ thị với trục tung.
5. Ví dụ2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2 Giải:1)TXĐ :R 2)Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y’ = -3(x2-2x+1) = -3(x-1)2 y’ ≤ 0 dấu ‘= ‘ xảy ra khi x=1 hàm số nghịch biến trên R. b) Cực trị: Hàm số không có cực trị c) Giới hạn: Đồ thị hàm số không có tiệm cận d)Bảng biến thiên x - 1 + y’ - 0 - y + -
6. e) điểm uốn y’’=-6(x-1) ,y’’=0 x=1 Đ.uốn I(1;1) 3)Đồ thị: Giao điểm với trục Ox: (2;0) Giao điểm với trục Oy: (0;2) Chú ý: Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1
7. Tóm tắt: y =ax3+bx2+cx+d (a 0) •Tập xác định R. •Đồ thị luôn có 1 điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. (Chứng minh xem như bài tập) •y’= 3ax2+2bx+c . •Nếu y’=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đại và cực tiểu và đồ thị có hai dạng sau: a>0 a<0
8. •Nếu y’ =0 có nghiệm kép, hàm số đơn điệu, tiếp tuyến tại điểm uốn cùng phương với trục hoành. Đồ thị có dạng sau: 8 8 6 6 4 4 2 2 -10 -5 5 10 -10 -5 5 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Nếu y’ =0 vô nghiệm, hàm số đơn điệu. Đồ thị có dạng sau: 8 8 6 6 4 4 2 2 -10 -5 5 10 -10 -5 5 10 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8
9. 2) Hàm số y =ax4+bx2+c (a 0) Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y= x4-2x2-3 1) Tập xác định: D=R, hàm số chẳn 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y’=4x3-4x , y’ = 0 x=-1,x=0,x=1 •y’ > 0 trên (-1;0)và (1;+ ) , y’ < 0 trên (0;1) và (- ;-1) b) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1,yCT = -4 và đạt cực đai tại x = 0 ,yCĐ = -3. c) Giới hạn: •Đồ thị không có tiệm cận:
10. d) Bảng Biến Thiên: x - -1 0 1 + y’ - 0 + 0 - 0 + y + -3 + -4 -4
11. 3) Đồ thị : Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng và cắt oy tại (0;-3) . ĐT cắt Ox tai hai điểm 8 6 4 y=ax4+bx2+c 2 -10 -5 5 10 -2 -4 -6 -8
12. Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: Giải: 1)TXĐ : D=R , hàm số chẳn. 2)Sự biến thiên: a)Chiều biến thiên: y’=-2x3-2x=-2x(x2+1)=0 x=0. Y’ > 0 trên (- ;0) , y’ < 0 trên (0;+ ) b) Cực trị: Điểm cực đại x = 0; yCĐ=3/2. c) Giới hạn: • Đồ thị không có tiệm cận BBT x - 0 + y’ + 0 - y 3/2 - -
13. 3)Đồ thị Đồ thị nhận Oy làm trục đố xứng ; y = 0 x= 1 ĐT cắt Ox tại (-1; 0) và (1;0) 5 4 3 y=ax4+bx2+c 2 1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -1 -2 -3 -4 -5
14. Tóm tắt: y =ax4+bx2+c (a 0) a>0 a<0 y’=0 có 3 nghiệm Phân biệt y’=0 có 1 nghiệm
15. 4.Hàm số : Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: Giải:i) Tập xác định: 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: •y’<0 ,x -1/2 .Hàm số nghịch biến trên các Khoảng (- ;-1/2) và (-1/2;+ ). b) Cực trị : hàm số không có cực trị. c) Giới hạn:
16. Đường thẳng :x=-1/2 là tiệm cận đứng Đường thẳng :y=-1/2 là tiệm cận ngang d) Bảng biến thiên
17. x - -1/2 + y’ - - y -1/2 + - -1/2 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại A(0;2), cắt trục hoành Tại B(2;0). Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2) làm tâm đối xứng.
18. Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: Giải: 1) Tập xác định: R\{-1} 2) Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y’>0 trên (- ;-1) và (-1; + ) b) Cực trị: hàm số không có cực trị. c) Giới hạn:
19. •Đồ thị có tiệm cận đứng : x = -1 •Đồ thị có tiệm cận ngang: y = 2 d) Bảng biến thiên: x - -1 + y’ + + y + 2 2 -
20. 3) Đồ thị: Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-1). Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1/2;0).
21. Tóm tắt: TXĐ: •Nếu ad –bc= 0 thì y = a /c •Nếu ad-bc 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = -d/c. Tiệm cận ngang: y = a/c •Giao điểm của hai tiệm cận ( -d/c;a/c) là tâm đối xứng Đồ thị có hai dạng sau:
22. ad-bc>0 ad-bc<0
23. Câu 5 -