Bài giảng Hình học lớp 12 - Chương 3, Bài 2: Các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng - Tạ Thị Thúy Chinh

Nội dung text: Bài giảng Hình học lớp 12 - Chương 3, Bài 2: Các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng - Tạ Thị Thúy Chinh

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) khi biết phỏp tuyến n (A;B;C) và toạ độ điểm M(x0;y0;z0) thuộc mặt phẳng . Hướng dẫn: Phương trỡnh mặt phẳng ( ) là: A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 Ax + By + Cz -Ax0 - By0 - Cz0 = 0 Vớ dụ1: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) trong cỏc trường hợp sau: a/ ( ) đi qua điểm M (1;2;3) và cú phỏp tuyến là n (3;2;4) b/ ( ) đi qua gốc toạ độ và cú phỏp tuyến là (3;-2;0) Lời giải a/ Phương trỡnh mặt phẳng ( ) là: 3(x-1) + 2(y-2) + 4(z-3) = 0 3x + 2y +4z -19 = 0 b/ Phương trỡnh mặt phẳng ( ) là : 3(x- 0) -2(y-0) + 0(z-0) = 0 3x -2y = 0
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 2 : Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm A,B,C cho trước khụng thẳng hàng. Hướng dẫn: n = [ AB . AC ] là phỏp tuyến của mặt phẳng ( ) Lấy A ( ) phương trỡnh ( ) giống dạng 1 Vớ dụ 2: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) trong cỏc trường hợp sau: a/ ( ) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3) b/ ( ) đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-3) Lời giải a/ Ta cú: AB =(2 ;1 ;-2) AC =(-12 ;6 ;0) n = [ . ] = ( 12 ;24 ;24) hay lấy =(1 ;2 ;2) là phỏp tuyến. A(2;-1;3) ( ) Phương trỡnh mặt phẳng ( ) là: 1(x- 2) +2(y+1) +2(z-3) = 0 x+ 2y + 2z - 6 = 0 b/ ỏp dụng cụng thức phương trỡnh mặt phẳng theo đoạn chắn ta cú phương trỡnh x y z mặt phẳng ( ) là: + + =1 6x- 3y - 2z - 6 = 0 1 − 2 − 3 ( cỏch giải khỏc giống như cõu a)
3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 3: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuụng gúc với đường thẳng d. Hướng dẫn: n = a d bài toỏn trở về dạng 1 Vớ dụ3: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) trong cỏc trường hợp sau: x = 2t a/ ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và vuụng gúc với d y = −3 + t ( t là tham số ) z = 2 − t x +1 y + 2 z b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuụng gúc với d = = − 2 3 1 c/ ( ) đi qua điểm P(0;1;2) và vuụng gúc với trục Ox. Lời giải a/ Do ( ) vuụng gúc với d n = a d = (2;1;-1) M(1;2;3) ( ) phương trỡnh của ( ) là: 2(x-1) + 1(y-2) -1(z-3) = 0 2x + y -z -1 = 0 b/ Do ( ) vuụng gúc với d n = a d = (-2;3;1) c/ do ( ) vuụng gúc với Ox n = i = (1;0;0) N(2;-1;3)P(0;1;2) ( ) (ph)ươ ng ph trươỡnhng c ủtraỡ nh( c)ủ laà (: -2(x) là-: 2)1(x +3(- 0)y+1) + 0(y +1(z-1) -+3) 0(z = -02) =0 x = 0 - 2x +3y +z +4 = 0
4. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 4 : Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P). Hướng dẫn : n = n P bài toỏn trở về dạng 1 Vớ dụ 4: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) trong cỏc trường hợp sau: a/ ( ) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0 b/ ( ) đi qua N(2;0;-3) và // (Oxy) Lời giải a/ do ( ) // (P) n = n P = (1;2;-3) M(2;-1;3) ( ) phương trỡnh của ( ) là: 1(x-2) +2(y+1) -3(z-3) = 0 x +2y -3z + 9 = 0 b/ do ( ) // (Oxy) = k =( 0;0;1) N(2;0;-3) ( ) phương trỡnh của ( ) là: 0(x-2) + 0(y-0) +1(z+3) = 0 z + 3 = 0
5. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 5: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với đường thẳng d và vuụng gúc với mặt phẳng (P). Hướng dẫn: n = [ a d. n P] đưa bài toỏn về dạng 1. Vớ dụ5: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;3;-1) song song với d x =1− 3t y = 2t ( t là tham số ) và vuụng gúc với (P): x + y - z + 1 = 0 z = 3 − t Lời giải Ta cú : a d = (-3 ;2 ;-1) n P = (1 ;1 ;-1) Do ( ) //d và vuụng gúc với (P) n = [ d. P] = (-1 ;-4 ;-5) M(2;3;-1) ( ) phương trỡnh của ( ) là: -1(x-2) - 4(y-3) - 5(z+1) = 0 x +4y + 5z - 9 = 0
6. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 6: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q). H•ớng dẫn: n = [ n P. Q] bài toỏn đưa về dạng 1 Vớ dụ 6: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vuụng gúc với hai mặt phẳng (P): 3x - 2y +2 z + 7 = 0, (Q): 5x- 4y + 3z +1 = 0 Lời giải Ta cú: n P = (3;-2;2) Q= (5;-4;3) Do ( ) vuụng gúc với (P) và (Q) n = [ P. Q] = (2;1;-2) M(3;-1;-5) ( ) phương trỡnh của ( ) là: 2(x-3) +1(y+1) -2(z+5) = 0 2x + y - 2z -15 = 0
7. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Loại 7 Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đia qua điểm M và song song với d và d’ Hướng dẫn : n = [ a d. d’] đưa bài toỏn về dạng 1 Vớ dụ 6: Trong khụng gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng x = 1+ 2t x − 2 y +1 z − 3 d y = −3t ; ( t là tham số ) và d’: = = 1 2 −1 z = 4 + t Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua M(1 ;2 ;3) đồng thời song song với d và d’ Lời giải Ta cú : a d = (2 ;-3 ;1) d’= (1 ;2 ;-1) Do ( ) // d và d’ n = [ d. d’] = (1;3;7) Và M(1;2;3) ( ) phương trỡnh của ( ) là : 1(x-1) +3( y - 2) +7(z-3) = 0 x + 3y + 7z - 28 = 0
8. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dang8 Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và chứa d ( d khụng đi qua M ) Hướng dẫn: - Lấy N d - n = [ a d, MN ] đưa bài toỏn về dạng 1 Vớ dụ8: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và chứa đường x − 2 y +1 z − 3 thẳng d : = = 1 2 −1 Lời giải: Ta cú: N(2;-1;3) d MN = (1;3;0) a d = (1;2;-1) do ( ) chứa M và d n = [ d, ] =(-3;1;-1) phương trỡnh của ( ) là : -3(x-1) + 1(y-2) - 1(z - 3) = 0 -3x + y - z + 4 = 0
9. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 9 : Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua M,N và song song với đường thẳng d. Hướng dẫn: n = [ MN . a d] Chọn M ( ) đưa bài toỏn về dạng 1 Vớ dụ 9:Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua M(2;1;3), N(1,-2,1) và song song x = −1+ t với d y = 2t ( t là tham số ) z = −3 − 2t Lời giải Ta cú: MN = (-1;-3;-2) a d = (1;2;-2) Do ( ) đi qua M,N và song song với d n = [ . d]= (10;-4;1) M(2;1;3) ( ) phương trỡnh của ( ) là: 10(x-2) -4(y-1) +1(z-3) = 0 10x - 4y +z -19 = 0
10. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 10: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua M,N và vuụng gúc với (P) (MN khụng vuụng gúc với (P)) Hướng dẫn: n = [ MN . n P] Chọn M ( ) đưa bài toỏn về dạng 1 Vớ dụ10: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) đi qua M(0;1;2), N(2;0;1) và vuụng gúc với (P): 2x + 3y - z + 1 = 0 . Lời giải Ta cú: MN = (2;-1;-1) n P= (2;3;-1) Do ( ) đi qua M,N và vuụng gúc với (P) n = [ . P] = (4;0;8) M(0;1;2) ( ) phương trỡnh của ( ) là: 4(x-0) + 0 (y-1) + 8(z-2) = 0 4x + 8z - 16 = 0 x + 2z - 4 = 0
11. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 11: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) chứa d và song song với d’. Hướng dẫn: n = [ a d. d’] Lấy M d M ( ) đưa bài toỏn về dạng 1. Vớ dụ 11: Trong khụng gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng x = 1+ 2t x − 2 y +1 z − 3 d y = −3t ; ( t là tham số ) và d’: = = 1 2 −1 z = 4 + t Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) trong cỏc trường hợp sau : a/ ( ) chứa d và // d’ b/ ( ) chứa d và // d Lời giải b/a/ TaTa ccúú :: aadd == (2(2 ;;-3 ;1) d’d’== (1(1 ;2;2 ;; 1)1) Do ( ) chứa d và // d’ n = [ d. d’] = (1;3;7) Do ( ) chứa d’ và // d n = [ d. d’] = (1;3;7) VVà àN(2; M(1;0;4)-1;3) d’d MN ( ) phphươươngng trtrỡỡnhnh ccủủaa (( )) l àlà : : 1(x1(x-1) -+3( 2) +y 3(y+1)- 0) +7(z +- 4)7(z =- 3)0 = 0 x + 3y + 7z - 29 = 0 x + 3y + 7z - 20 = 0
12. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 12: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) chứa d và vuụng gúc với (P) ( d khụng vuụng gúc với (P)) Hướng dẫn: n = [ a d. n P] Lấy M d M ( ) đưa bài toỏn về dạng 1. Vớ dụ12 : Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) trong cỏc trường hợp sau: x +1 y −1 z +1 a/ ( ) chứa d: = = và vuụng gúc với (P): -x + y + 2z - 1 = 0 2 3 1 x = 3t b/ ( ) chứa d y = −1+ t và vuụng gúc với (Oyz) z = 2 − 2t c/ ( ) chứa trục Oy và vuụng gúc với (P) : 2x + 3y - 4z + 1= 0 Lời giải a/ Ta cúb/ a Tad= c(ú 2 a ;3d= ;1)( 3 ;1 ;-2) c/ Ta cú j = (0 ;1 ;0 ) là chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy i = (1 ; 0 ;n 0)P = l(à- 1ph ;1ỏp ;2) tuy ến của mặt phẳng (Oyz) Do ( ) chứa d và vuụng gúcn vPớ=i (2(P) ;3 ;- 4)n = [ d. P] = (5; -5;5) Do ( ) chứa d và vuụng gúc với (Oyz ) n = [ d. ] = (0 ; -2 ; -1) Do ( ) chứa trục Oy và vuụng gúc với (P) n = [ . ] = (-4 ;0 ;-2) M(-1;1;-M(01) d;- 1 ;2 M) d ( )M ph( ươ) ng ph trươỡnh ng c ủtraỡ nh( c)Pủ laà (: ) là : 5(x+1) - 5(y-1) + 5 (z+1) = 0 O(0 ;0 ;0) Oy O 0(x( - )0) -2(y+1) phương -1(z trỡ-nh2) c=ủ 0a ( )- 2ylà :- z- 4x= 0- 2z =0 x - 2xy + + zz += 30 = 0
13. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng13 : Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) song song với (P) và tiếp xỳc với mặt cầu S(I ;R) Hướng dẫn : - ( ) // (P) dạng tổng quỏt của ( ) ( Chưa biết D) -( ) tiếp xỳc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trỡnh ( ) Vớ dụ 13: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) //(P):x - 2y + 2z +1 =0 và tiếp xỳc với mặt cầu (S) cú phương trỡnh: (x+2)2 + (y-1)2 + (z- 2)2 = 4. Lời giải Mặt cầu (S) cú tõm I(-2;1;2) , bỏn kớnh R = 2 Do ( ) // (P) phương trỡnh của ( ) cú dạng: x - 2y +2z + D = 0 Do ( ) tiếp xỳc với mặt cầu (S) d(I,( )) = R − 2 − 2 + 4 + D = 2 |D|=6 D = 6 hoặc D = -6 12 + (−2)2 + 22 Vậy tỡm được hai mặt phẳng ( ) là : x - 2y + 2z + 6 = 0 Và x - 2y + 2z - 6 = 0
14. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 14: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) vuụng gúc với đường thẳng d và tiếp xỳc với mặt cầu S(I ;R). Hướng dẫn : + n = a d dạng tổng quỏt của ( ) ( Chưa biết D) + ( ) tiếp xỳc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trỡnh ( ) Vớ Dụ14: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) tiếp xỳc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0 và vuụng gúc với đường thẳng x +1 y − 2 z d: = = 1 2 − 2 Lời giải Ta cú (S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0 (x - 1)2 + (y +1)2 + (z + 2)2 = 9 tõm I(1 ;-1 ;-2), bỏn kớnh R = 3 Do ( ) vuụng gúc với d n = a d = (1;2;-2) phương trỡnh của ( ) cú dạng: x + 2y - 2z +D = 0 Do ( ) tiếp xỳc với mặt cầu S d(I,( )) = R 1− 2 + 4 + D = 3 | D +3 | = 9 D = 6 hoặc D = -12 12 + 22 + (−2)2 Vậy tỡm được hai mặt phẳng là: x + 2y - 2z + 6 = 0 và x + 2y - 2z - 12 = 0
15. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 15 : Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) song song với d, vuụng gúc (P) và tiếp xỳc với mặt cầu S(I ;R). (d khụng vuụng gúc với (P)) Hướng dẫn : +/ n = [ a d . n P] dạng tổng quỏt của ( ) ( Chưa biết D) +/ ( ) tiếp xỳc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trỡnh ( ) x − 2 y +1 z Vớ Dụ 15: Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) song song với d: = = , 1 3 −1 vuụng gúc với (P): 2x +y + z - 1 = 0 và tiếp xỳc với mặt cầu (S): (x - 2)2 + (y+1)2 + z2 = 9. Lời giải Mặt cầu (S) cú tõm I(2; -1; 0), bỏn kớnh R = 3 n P = (2 ; 1 ; 1 ) , a d = (1 ; 3 ; -1) Do ( ) //d và vuụng gúc (P) n = [ d . P] = (- 4 ; 3 ; 5 ) phương trỡnh của ( ) cú dạng: - 4x + 3y + 5z + D = 0 − 8 − 3 + D Do ( ) tiếp xỳc S(I ;R) d(I,( ) ) = R = 3 (−4)2 + 32 + 52 | D - 11 | = 15 2 D = 11 + 15 2 hày D = 11 - 15 Vậy tỡm được hai mặt phẳng ( ) là : - 4x + 3y + 5z +11 + 15 = 0 Và - 4x + 3y + 5z + 11 - 15 = 0
16. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Dạng 16 : Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng d và d’ đồng thời tiếp xỳc với mặt cầu S(I ;R). Hướng dẫn : + n = [ a d . d’] dạng tổng quỏt của ( ) ( Chưa biết D) + ( ) tiếp xỳc S(I ;R) d(I,( ) ) = R D=? phương trỡnh ( ) Vớ dụ16: Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S) 2 2 2 x + 2y − 2 = 0 x + y +z - 2x + 2y + 4z -3 = 0 và hai đường thẳng d: và x − 2z = 0 x −1 y z d’ : = = . Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S) đồng thời −1 1 −1 song song với d và d’.
17. CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG Lời giải Ta cú (S) (x -1)2 + (y +1)2 + (z +2)2 = 9 tõm I(1;-1;-2), bỏn kớnh R = 3 Ta thấy đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng (P): x + 2y -2 =0 và (Q):x - 2z= 0 chỉ phương của d là a d = [ n P. Q] = (-4; 2; -2) Và chỉ phương của d’ là d’ = (-1;1;-1) Do ( ) // d và d’ n = [ d . d’ ] = (0; -2 ; -2) Phương trỡnh của ( ) cú dạng - 2y - 2z + D = 0 2 + 4 + D Do ( ) là tiếp diện của (S) d(I,( ) ) = R = 3 8 | D + 6 | = 6 2 D = - 6 + 6 hoặc D = -6 - 6 Vậy tỡm được hai tiếp diện là : - 2y - 2z - 6 + 6 = 0 y + z +3 - 3 = 0 và - 2y - 2z - 6 - 6 = 0 y + z +3 + 3 = 0
18. BÀI TẬP VỀ NHÀ LÀM TRấN Shub phần phương trỡnh mặt phẳng 86 cõu. Hạn nộp bài cuối cựng là 14h thứ 3 (7/4/2020)