Chuyên đề ôn tập môn Toán cấp THPT - Hàm số

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập môn Toán cấp THPT - Hàm số

1. Buổi 1. CHỦ ĐỀ 1+2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Tính đơn điệu của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số y= f() x xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. • Hàm số y= f() x đồng biến (tăng) trên K nếu x1,, x 2 K x 1 x 2 f( x 1) f( x 2 ) . • Hàm số y= f() x nghịch biến (giảm) trên K nếu x1,, x 2 K x 1 x 2 f( x 1) f( x 2 ) . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f() x có đạo hàm trên khoảng K . • Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ( x) 0,  x K . • Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ( x) 0,  x K . 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f() x có đạo hàm trên khoảng K . • Nếu f ( x) 0,  x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . • Nếu f ( x) 0,  x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . • Nếu f ( x) =0,  x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .  Chú ý.  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= f() x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y= f() x liên tục trên đoạn ab; và có đạo hàm trên khoảng (ab; ) thì hàm số đồng biến trên đoạn ab; .  Nếu f ( x) 0,  x K ( hoặc f ( x) 0,  x K ) và fx ( ) = 0chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). 4. Kĩ năng cơ bản 4.1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức Px() Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức Px(), hoặc giá trị của x làm biểu thức không xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của Px() trên từng khoảng của bảng xét dấu. 4.2 . Xét tính đơn điệu của hàm số y= f() x trên tập xác định Bước 1. Tìm tập xác định D. Bước 2. Tính đạo hàm y = f() x . Bước 3. Tìm nghiệm của fx () hoặc những giá trị x làm cho fx () không xác định. Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận. 4.3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= f() x đồng biến, nghịch biến trên khoảng (ab; ) cho trước. Cho hàm số y= f(,) x m có tập xác định D, khoảng (;)a b D :  Hàm số nghịch biến trên (;)ab y' 0,  x ( a ; b ) 1
2.  Hàm số đồng biến trên (;)ab y' 0,  x ( a ; b ) a x+ b  Chú ý: Riêng hàm số y = 11 thì : cx+ d ▪ Hàm số nghịch biến trên (;)ab y' 0,  x ( a ; b ) ▪ Hàm số đồng biến trên (;)ab y' 0,  x ( a ; b ) * Nhắc lại một số kiến thức liên quan: Cho tam thức g( x )= ax2 +y bx= + f c() x ( a 0) a 0 a 0 a) g( x ) 0,  x b) g( x ) 0,  x 0 0 a 0 a 0 c) g( x ) 0,  x d) g( x ) 0,  x 0 y= f() x 0 K  Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (;)ab: ✓ Bước 1: Đưa bất phương trình fx ( ) 0 (hoặc fx ( ) 0 ),  x(;) a b về dạng g()() x h m (hoặc g()() x h m ),  x(;) a b . ✓ Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số gx() trên (;)ab. ✓ Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m. B. Cực trị của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (;)ab (có thể a là − ; b là + ) và điểm x0 (;) a b . • Nếu tồn tại số h 0 sao cho f( x) f( x0 ) với mọi x (;) x00 − h x + h và xx 0 thì ta nói hàm số fx() đạt cực đại tại x0 . • Nếu tồn tại số sao cho f( x) f( x0 ) với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại . 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số liên tục trên K=(;) x00 − h x + h và có đạo hàm trên hoặc trên Kx\{}0 , với h 0 . • Nếu fx'0( ) trên khoảng (;)x00− h x và fx'( ) 0 trên (;)x00 x+ h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số fx(). • Nếu fx ( ) 0 trên khoảng và fx ( ) 0 trên thì là một điểm cực tiểu của hàm số . Minh họa bằng bảng biến thiên x xh0 − x0 xh0 + fx () + − − + fCÑ fCT  Chú ý. 2
3.  Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; fx()0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là ffCÑ ()CT , còn điểm M( x00 ; f ( x )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3. Kĩ năng cơ bản 3.1.Quy tắc tìm cực trị của hàm số • Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính fx ( ) . Tìm các điểm tại đó fx ( ) bằng 0 hoặc fx ( ) không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. • Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính fx ( ) . Giải phương trình fx ( ) và ký hiệu xi (i =1,2,3,...) là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính fx ( ) và fx ( i ) . Bước 4. Dựa vào dấu của fx ( i ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi . 3.2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y= ax32 + bx + cx + d( a 0) Ta có y =32 ax2 + bx + c • Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt b2 −30 ac y= f() x 22c b2 bc . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : y= − x + d − . 3 9aa 9 • Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : 3 2 2 xb xi= ax+ bx ++− cx d(32 ax + bx + c) + ⎯⎯→+ =+ Ai B y Ax B 39a yy . Hoặc sử dụng công thức y − . 18a • Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là: 4ee+ 16 3 b2 − 3 ac AB = với e = a 9a 3.3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. Cho hàm số: y= ax42 + bx + c( a 0) có đồ thị là (C ) . x = 0 y =4 ax3 + 2 bx ; y = 0 b x2 =− 2a b có ba điểm cực trị y = 0 có 3 nghiệm phân biệt − 0 . 2a bb 2 Khi đó ba điểm cực trị là: A(0; c) , B − − ; − , C − ; − với =b − 4 ac 2a 4 a 2 a 4 a 3
4. b4 b b Độ dài các đoạn thẳng: AB= AC = −,2 BC = − . 16a2 2 a 2 a Các kết quả cần ghi nhớ: • ABC vuông cân BC2 = AB 2 + AC 2 2b b4 b b 4 b b b 3 b 3 −=2 22 − += 0 += += 1 0 1 0 a 16 a 2 a 16 a 2 a 2 a 8 a 8 a • đều =BC22 AB 23b b4 b b 4 b b b 3 b 3 −=22 − += 0 += += 3 0 3 0 a16 a 2 a 16 a 2 a 2 a 8 a 8 a b3 + 88 a a • BAC = , ta có: cos = tan = − b33−82 a b bb2 • S =− ABC 42aa ba3 −8 • Bán kính đường tròn ngoại tiếp là R = 8 ab bb2 − 42aa b2 • Bán kính đường tròn nội tiếp là r == b4 b b4 a+− 16 a 2 2 ab 3 − + − 16a2 2 a 2 a 22 22 • Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: x+ y − − + c y + c − = 0 b44 a b a II. LUYỆN TẬP A. Tính đơn điệu của hàm số Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 23x − 1/ y= x42 +85 x + ; 2/ y = 4 − x xx2 +−1 3/ y = ; 4/ yx=−25 2 x − 2 1 Bài 2: Cho hàm số y=( m − 1) x32 + mx + (3 m − 2) x (1) 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. HD giải. Tập xác định: D = R. y =( m − 1) x2 + 2 mx + 3 m − 2 . (1) đồng biến trên R yx 0, m 2 Bài 3: Cho hàm số y= x32 +34 x − mx − (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (− ;0) . HD giải. Tập xác định: D = R. y =36 x2 + x − m. y có =+3(m 3) . + Nếu m −3 thì 0 yx 0, hàm số đồng biến trên R m −3 thoả YCBT. + Nếu m −3 thì 0 PT y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,() x 2 x 1 x 2 . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (− ;xx12 ),( ; + ) . 4
5. 0 m −3 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (− ;0) 0 xx12 P 0 − m 0 (VN) S 0 − 20 Vậy: m −3. Bài 4: Cho hàm số y= −2 x32 + 3 mx − 1 (1). Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (;)xx12 với xx21−=1. HD giải. y'= − 6 x2 + 6 mx , y'= 0 x = 0  x = m. + Nếu m = 0 yx 0,  hàm số nghịch biến trên m = 0 không thoả YCBT. + Nếu m 0 , y 0,  x (0; m ) khi m 0 hoặc y 0,  x ( m ;0) khi m 0 . Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (;)xx12 với xx21−=1. (x12 ; x )= (0; m ) m−=01 và x21− x =11 m = (x12 ; x )= ( m ;0) 01−=m B. Cực trị của hàm số Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số: 1 1 1) y = xx3 − 4 2) y = xx42− 4 −1 3 4 xx2 − 3 27x + 3) y = 4) y = x +1 43x + xx2 −+22 x + 3 5) y = 6) y = x −1 x − 4 Bài 2: Tìm m để hàm số: x 2 + mx +1 1) y = đạt cực đại tại x = 2 x + m x 2 − mx + m −1 2) y = đạt cực tiểu tại x = 1 x +1 x2 ++2 x m 3) y = đạt cực tiểu tại x = 2 x +1 4) y= mx32 +35 x + x + m đạt cực tiểu tại x = 2 1 3 2 5) y = mx + (m − 2)x + (2 − m)x + 2 đạt cực đại tại x = –1 3 Bài 3: Cho hàm số y=2 x2 − 3( m + 1) x 2 + 6 mx + m 3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB = 2 . HD giải. Ta có: y =6( x − 1)( x − m ). Hàm số có CĐ, CT y = 0 có 2 nghiệm phân biệt m 1. Khi đó các điểm cực trị là A(1; m32+− 3 m 1),(;3 B m m ) . AB = 2 (m− 1)2 + (3 m 2 − m 3 − 3 m + 1) = 2 mm==0; 2 (thoả điều kiện). Bài 4: Cho hàm số y= x32 −3( m + 1) x + 9 x − m, với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại xx12, sao cho xx12− 2 . HD giải. Ta có y'= 3 x2 − 6( m + 1) x + 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại xx12, PT y'0= có hai nghiệm phân biệt xx12, 5
6. 2 PT x−2( m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là xx12, . 2 m −13 + ' = (m + 1) − 3 0 (1) m −13 − + Theo định lý Viet ta có x1+ x 2 =2( m + 1); x 1 x 2 = 3. Khi đó: 222 x1− x 2 2 ( x 1 + x 2) − 4 x 1 x 2 4 4( m + 1) − 12 4 (mm + 1) 4 − 3 1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là −3 m − 1 − 3 và −1 + 3 m 1. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x +1 Câu 1. Cho hàm số y = . Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng? 1− x − ;1  1; + A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ( ) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ;1) ( 1; + ) . − ;1 1; + C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) và ( ) . D. Hàm số đồng biến trên các khoảng − ;1 và 1; + . ( ) ( ) Câu 2. Cho hàm số y= − x32 +3 x − 3 x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ;1) và (1; + ) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ;1) và nghịch biến trên khoảng (1; + ). D. Hàm số luôn đồng biến trên . Câu 3. Cho hàm số y= − x42 +4 x + 10 và các khoảng sau: (I): (− ;2 − ) ; (II): (− 2;0) ; (III): (0; 2 ) ; Hàm số đồng biến trên các khoảng nào? A. Chỉ (I). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (I) và (III). 31x − Câu 4. Cho hàm số y = . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? −+42x A. Hàm số luôn nghịch biến trên . B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (− ;2) và (2; + ) . D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ;2 − ) và(−2; + ) . Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ? A. h( x )= x42 − 4 x + 4 . B. g( x )= x32 + 3 x + 10 x + 1. 44 C. f() x= − x53 + x − x . D. k( x )= x32 + 10 x − cos x . 53 xx2 −+35 Câu 6. Hàm số y = nghịch biến trên các khoảng nào ? x +1 A. (− ; − 4)và (2;+ ) . B. (−4;2) . 6
7. C. (− ;1 − ) và (−1; + ). D. (−−4; 1) và (−1;2) . 3 Câu 7. Hàm số y= x5 −3 x 4 + 4 x 3 − 2 đồng biến trên khoảng nào? 5 A. (− ;0). B. . C. (0;2) . D. (2;+ ) . Câu 8. Cho hàm số y= ax32 + bx + cx + d . Hàm số luôn đồng biến trên khi nào? a= b =0, c 0 a= b =0, c 0 A. 2 . B. 2 . a 0; b − 3 ac 0 a 0; b − 3 ac 0 a= b =0, c 0 abc= = = 0 C. . D. . a 0; b2 − 3 ac 0 a 0; b2 − 3 ac 0 Câu 9. Cho hàm số y= x32 +3 x − 9 x + 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;1) . B. Hàm số đồng biến trên . C. Hàm số đồng biến trên (−−9; 5) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng (5; + ) . Câu 10. Tìm điều kiện để hàm số y= ax42 + bx + c (a 0) có 3 điểm cực trị . A. ab 0. B. ab 0. C. b = 0. D. c = 0. Câu 11. Cho hàm số y= f() x có bảng biến thiên: x − 2 4 + y + 0 − 0 3 + y − −2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3. C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại x =−2. Câu 12. Cho hàm số y= x32 −32 x + . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x =−2và cực tiểu tại x = 0 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x =−2. Câu 13. Cho hàm số y= x42 −23 x + . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba điểm cực trị. B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị. C. Hàm số không có cực trị. D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. Câu 14. Biết đồ thị hàm số y= x3 −31 x + có hai điểm cực trị AB, . Viết phương trình đường thẳng AB . A. yx=−2. B. yx=−2 1. C. yx= −2 + 1. D. yx= − + 2. 7
8. xx2 ++33 Câu 15. Gọi Mn, lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số y = . Tính giá x + 2 trị của biểu thức Mn2 − 2 ? 2 2 2 2 A. Mn−=2 8. B. Mn−=2 7. C. Mn−=2 9. D. Mn−=2 6. Câu 16. Cho hàm số y= x32 +17 x − 24 x + 8 . Kết luận nào sau đây là đúng? 2 A. x =1. B. x = . C. x =−3. D. x =−12. CD CD 3 CD CD Câu 17. Cho hàm số y=3 x42 − 6 x + 1 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. yCD =−2. B. yCD =1. C. yCD =−1. D. yCD = 2. 3 Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x = ? 2 1 A. y= x4 − x 3 + x 2 − 3. x B. y= − x2 +3 x − 2. 2 x −1 C. y=4 x2 − 12 x − 8. D. y = . x + 2 Câu 19. Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu? A. y= −10 x42 − 5 x + 7. B. y= −17 x32 + 2 x + x + 5. x − 2 xx2 ++1 C. y = . D. y = . x +1 x −1 Câu 20. Cho hàm số y= x32 −6 x + 4 x − 7 . Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là xx12, . Tính xx12+ ? A. xx12+ = −6. B. xx12+ = −4. C. xx12+=6. D. xx12+=4. Câu 21. Tính hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y= x32 −34 x + . D. −4 . B. −2 . C. 2 . A. 4 . Câu 22. Xác định hàm số y= ax32 + bx + cx + d . Biết đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(−− 1; 1) . A. y=−23 x32 x . B. y= −23 x32 − x . C. y= x32 +33 x + x . D. y= x3 −31 x − . Câu 23. Hàm số nào dưới đây có cực trị? A. yx=+4 1 . B. y= x32 + x +21 x − . x +1 C. yx=−21 . D. y = . 21x − Câu 24. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y= x42 −(3 m − 1) x + 2 m + 1 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm D(7;3) nội tiếp được một đường tròn. A. m = 3. B. m =1. C. m =−1. D. Không tồn tại m. 8
9. Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: y= x42 −21 mx + m − có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. m =1 m =1 −+15 A. −+15. B. −+15. C. m = . D. m =1. m = m = 2 2 2 IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B C D D B A A D A B A A D B B B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B C C A B Buổi 2. Chủ đề 3+4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số y= f() x xác định trên miền D f(), x M  x D • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f( x) trên D nếu: . x00 D,() f x = M Kí hiệu: M= max f ( x ) hoặc M= max f ( x ) . xD D f(), x m  x D • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu: . x00 D,() f x = m Kí hiệu: m= min f ( x ) hoặc m= min f ( x ) xD D 2. Kĩ năng cơ bản Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f() x liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ...) 2.1 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên ✓ Bước 1. Tính đạo hàm fx (). ✓ Bước 2. Tìm các nghiệm của và các điểm trên K. ✓ Bước 3. Lập bảng biến thiên của fx() trên K. ✓ Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận minf ( x ),max f ( x ) m K K 2.2 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên ❖ Trường hợp 1. Tập K là đoạn [;]ab ✓ Bước 1. Tính đạo hàm fx (). 9
10. ✓ Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi [;] a b của phương trình fx ( )= 0 và tất cả các điểm i [;]ab làm cho không xác định. ✓ Bước 3. Tính fa(), fb(), fx()i , f () i . ✓ Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M= max f ( x ) , m= min f ( x ) . ab;  ab;  ❖ Trường hợp 2. Tập K là khoảng (;)ab ✓ Bước 1. Tính đạo hàm . ✓ Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi (;) a b của phương trình fx ( )= 0 và tất cả các điểm i (;)ab làm cho không xác định. ✓ Bước 3. Tính A= lim f ( x ) , B= lim f ( x ) , , . xa→ + xb→ − ✓ Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M= max f ( x ) , m= min f ( x ) . (;)ab (;)ab  Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). B. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Đường tiệm cận ngang • Cho hàm số y= f() x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (;)a + , (;)− b hoặc (;)− + ). Đường thẳng yy= 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn limf ( x )== y00 , lim f ( x ) y xx→+ →− • Nhận xét: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới hạn của hàm số đó tại vô cực. 2. Đường tiệm cận đứng • Đường thẳng xx= 0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn limf ( x )= + , lim f ( x ) = − , lim f ( x ) = − , lim f ( x ) = + . + − + − x→ x0 x → x 0 x → x 0 x → x 0 Ngoài ra cần nhớ các kiến thức về giới hạn sau: 3) Quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc tìm giới hạn của tích f( x ). g ( x ) : Nếu limf ( x )= L 0 và limgx ( ) = + (hoặc − ) thì xx→ 0 xx→ 0 limf ( x ) g ( x ) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau xx→ 0 limfx ( ) limgx ( ) limf ( x ) g ( x ) xx→ 0 xx→ 0 xx→ 0 L 0 + − L 0 fx() Quy tắc tìm giới hạn của thương : Nếu và (hoặc ) thì gx() được tính theo quy tắc cho trong bảng sau fx () 10
11. limgx ( ) Dấu của gx() fx() xx→ 0 lim xx→ 0 gx() 0 Tùy ý 0 + − 0 + (Dấu của gx() xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với xx 0 ) +− Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x→ x00,, x → x x → + và x → − . +) Nếu x→ + x 0 x2 = x = x +) Nếu x→ − x 0 x2 = x = − x II. LUYỆN TẬP A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a/ y f x3 x32 x 7 x 1 trên đoạn 0;2 . b/ y f x x328 x 16 x 9 trên đoạn 1;3 . c/ y f x2 x42 4 x 3 trên đoạn 0;2 . d/ y f x2 x32 6 x 1trên đoạn 1;1 . HD giải. a/ Tìm max – min của hàm số: y f x3 x32 x 7 x 1 trên 0;2 .  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn 0;2 . xN1 0;2 2 2  Ta có: y' f ' x 9 x 2 x 7 y' 0 9 x 2 x 7 0 7 xL0;2 9  Tính f0 1; f 2 9; f 1 6 maxf ( x ) 1 khi x 0 [0;2] minf ( x ) 9 khi x 2 [0;2] 32 b/ Tìm max – minlim củfxa ( h )àm số: y f x x8 x 16 x 9 trên 1;3 . xx→ 0  Hàm số đã choL liên 0 tục và xác định trên+ đoạn 1;3 .  Ta có: − L 0 xL4 1;3 22 y' f ' x 3 x 16 x 16 y '03 x 16 x 160 4 xN1;3 3  Tính: 11
12. 4 13 f1 0; f 3 6; f 3 27 13 4 maxf ( x ) khi x [1;3] 27 3 minf ( x ) 6 khi x 3 [1;3] c/ Tìm max – min của hàm số: y f x2 x42 4 x 3 trên 0;2 .  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn 0;2 . xN0 0;2  Ta có: y'' f x 88 x33 x y '0880 x x x 10;2 L . xN1 0;2  Tính: f0 3; f 2 13; f 1 5 maxf x 5 khi x 1 0;2 minf x 13 khi x 2 0;2 d/ Tìm max – min của hàm số: y f x2 x32 6 x 1 trên 1;1 .  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn 1;1 . xN0 1;1  Ta có: y' f ' x 6 x22 12 x y '06 x 120 x . xL2 1;1  Tính: f1 7; f 1 3; f 0 1 maxf x 1 khi x 0 1;1 minf x 7 khi x 1 1;1 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 4 x 1 a/ y x ,0 x . b/ y . x xx2 1 1 xx192 c/ y x, x 0;2 . d/ yx ,0 . x 81x 2 HD giải. a/ Tìm max – min của hàm số: * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 0; . 44x 2 Ta có: y' 1 , x 0; y ' 0 x2 4 0 x 2 . xx22 Bảng biến thiên: 12
13. x 2 0 2 y ' 0 0 y 4 Dựa vào bảng biến thiên minf x 4 khi x 2 và hàm số không có giá trị lớn nhất. 0; b/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D . xx2 2 x 0 Ta có: y' y ' 0 x2 2 x 0 2 2 x 2 xx1 Bảng biến thiên: x 0 2 y ' 0 0 1 0 y 3 1 0 1 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta được: maxyx khi 0và minyx khi 2. 3 3 c/ Tìm max – min của hàm số: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 0;2 . 11x 2 Ta có: yx' 1 , 0;2 . xx22 Cho y' 0 x2 1 0 x 1. Bảng biến thiên: x 1 0 1 x 21 y y ' 0 0 xx2 1 1 xx192 y x, x 0;23 yx ,0 x 81x 2 y 2 0 Dựa vào bảng biến thiên: minf x 0 khi x 1 . 0;2 d/ Tìm max – min của hàm số: 13
14.  Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng 0, . x1 9 x2 9 x 2 1 x 2 1  Ta có: y f x . 2 81x 8x22 1 9 x 1 x 91xx2  Hàm sốy f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 0, khi và chỉ khi hàm số: g x91 x2 x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0, . x 0 91x 2  Ta cóg' x 1 g ' x 0 9 x 1 9 x2 x . 91x 2 72x 1 62 2 2 1 1 3 2 1  Vậy: ming ( x ) khi x max f ( x ) khi x . 0;346 2 0; 2 2 6 2 3 Bài 3: a/ Chu vi của một tam giác là16 cm , độ dài của một cạnh tam giác là6 cm . Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất. b/ Cho Parabol P: y x 2 và điểm A 3;0 . Xác định điểm MP() sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất. Tìm khoảng cách đó. HD giải. a/ Gọi độ dài cạnh thứ nhất của tam giác làx cm , cạnh thứ hai có độ dài lày cm và cạnh thứ ba là6 cm . xy0, 0 y10 x ; x 0;10  Theo đề bài ta có: Chu vi 2 p x y 6 16 p 16  Công thức tính diện tích Δ theo Hêrông: Sxppxpyp6 8 8 xy 8 8 6 4 xx2 10 16 . 5 x  Ta có: Sx' 4. ; 0;10 . xx2 10 16 5 x S' 0 4. x 5; x 0;10 . xx2 10 16  Bảng biến thiên: x 0 5 10 S ' + 0 – 12 Sx()  Dựa vào bảng biến thiên: MaxS12 cm2 khi mỗi cạnh còn lại dài5cm ; khi x y 5 . 2 b/Gọi M xo;(); y o P M x o x o . 14
15. 2 2 2 4 2  Khoảng cách: AM d xo x o3 x o x o x o 6 x o 9 . 3 23xxoo 3  Ta có: d' x ; d ' x 0 2 x x 3 0 x 1. o42 o o o o xo x o69 x o  Bảng biến thiên: 1 xo 0 dx' o AM d xo 5 2 Dựa vào bảng biến thiên: AMmin 5 khi điểmM1;1 P : y x . II. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1) Tìm giới hạn theo quy tắc Ví dụ 1. Tìm lim (xx3 − 2 ) . x→− 33 2 3 2 Giải. Ta có lim (x− 2 x ) = lim x 1 −2 = − (vì lim x = − và lim 1−2 = 1 0 ). xx→− →− x x→− x→− x 2xx32−+ 5 1 Ví dụ 2. Tìm lim . x→+ xx2 −+1 51 32 2 −+ 2xx−+ 5 1 x x2 Giải. Ta có lim= lim x . = + (vì lim x = + và xx→+ xx2 −+1 →− 11 x→+ 1−+ x x2 51 2 −+ x x2 lim = 2 0 ) x→+ 11 1−+ x x2 23x − Ví dụ 3. Tìm lim . x→1+ x −1 23x − Giải. Ta có lim(x −= 1) 0, x − 10 x 1 và lim(2x − 3) = − 1 0 . Do đó lim = − . x→1+ x→1+ x→1+ x −1 23x − Ví dụ 4. Tìm lim . x→1− x −1 23x − Giải. Ta có lim(x −= 1) 0, x − 10 x 1 và lim(2x − 3) = − 1 0 . Do đó lim = + . x→1− x→1− x→1+ x −1 2) Kĩ năng sử dụng máy tính Ý tưởng: Giả sử cần tính limfx ( ) ta dùng chức năng CALC để tính giá trị của fx() tại các giá xa→ trị của x rất gần a . a) Giới hạn của hàm số tại một điểm limfx ( ) thì nhập và tính giá trị tại xa=+10−9 . xa→ + 15
16. limfx ( ) thì nhập và tính giá trị tại xa=−10−9 . xa→ − limfx ( ) thì nhập và tính giá trị tại hoặc . xa→ b) Giới hạn của hàm số tại vô cực limfx ( ) thì nhập và tính giá trị tại x =1010 . x→+ limfx ( ) thì nhập và tính giá trị tại x =−1010 . x→− xx2 +−23 Ví dụ 1. Tìm giới hạn lim . x→1+ x −1 xx2 +−23 Giải. Nhập biểu thức . Ấn tổ hợp phím: C ALC 1 + 10 − 9 = . Máy hiện số 4. x −1 xx2 +−23 Vậy lim= 4 . x→1+ x −1 23x − Ví dụ 2. Tìm giới hạn lim . x→1+ x −1 23x − Giải. Nhập biểu thức . Ấn tổ hợp phím: CALC 1 + 10 − 9 = . x −1 23x − Máy hiện số -999999998. Vậy lim = − . x→1+ x −1 2xx2 +− 2 3 Ví dụ 3. Tìm giới hạn lim . x→+ x2 +1 2xx2 +− 2 3 CALC 10 = Giải. Nhập biểu thức 2 . Ấn tổ hợp phím: 10 . Máy hiện số 2. x +1 2xx2 +− 2 3 Vậy lim= 2 . x→+ x2 +1 3) Dạng toán thường gặp: Tìm các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= f() x . Phương pháp: - Tìm TXĐ của hàm số. +− - Tìm các giới hạn của hàm số khi x→ + ,,, x → − x → x00 x → x rồi dựa vào định nghĩa các đường tiệm cận để kết luận. Chú ý. • Đồ thị hàm số chỉ có thể có tiệm cận ngang khi TXĐ của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể dần tới + hoặc − ). • Đồ thị hàm số chỉ có thể có tiệm cận đứng khi TXĐ của nó có một trong các dạng sau (;),[;),(;],(;a b a b a b a+ ),( − ; a ) hoặc là hợp của các tập hợp này và TXĐ không có một trong các dạng sau ,[;c+ ),( − ;],[; c c d ] . Px() • Đối với hàm phân thức y = trong đó P( x ), Q ( x ) là hai đa thức của fxx() ta thường dùng Qx() phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. i) Tiệm cận đứng xa=+10−9 16
17. Px(0 ) 0 Nếu thì đường thẳng xx= 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Qx(0 )= 0 ii) Tiệm cận ngang Nếu bậc của Px() bé hơn bậc của Qx() thì đường thẳng y = 0 (trục hoành) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. A Nếu bậc của bằng bậc của thì đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị B hàm số trong đó AB, lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của và . Nếu bậc của lớn hơn bậc của thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. ax+ b Đặc biệt, mọi hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất y = đồ thị đều có hai tiệm cận cx+ d −d a Tiệm cận đứng x = ; tiệm cận ngang y = . Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm c c tâm đối xứng. 23x − Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . x −1 Giải. TXĐ: D = \{1}. Ta có limyy== lim 2 nên đồ thị nhận đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang. xx→+ →− limyy= − , lim = + nên đồ thị nhận đường thẳng x =1 làm tiệm cận đứng. xx→→11+− Chú ý: Có thể cho HS áp dụng luôn nhận xét ở phần trên để luyện tập. x + 2016 Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . x2 − 2016 Giải. TXĐ: D =( − ; − 12 14)  (12 14; + ). Ta có limy = 1 và limy =− 1 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = 1 và y =−1. x→+ x→− x +1 Ví dụ 3. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . x − 2 Giải. TXĐ: D =[0;4)  (4; + ) . Ta có limyy== lim 1 nên đồ thị nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang. xx→+ →− limyy= + , lim = − nên đồ thị nhận đường thẳng x = 4 làm tiệm cận đứng. xx→→44+− III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 11 Câu 1. Gọi yy; lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =+ trên 12 xx−−12 đoạn3;4 . Tính tích yy12. . 3 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 6 4 3 17
18. 1 1 1 Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = + + trên đoạn −−5; 3. x x++12 x 13 11 A. Giá trị lớn nhất bằng − . B. Giá trị lớn nhất bằng . 12 6 47 11 C. Giá trị lớn nhất bằng − . D. Giá trị lớn nhất bằng − . 60 6 Câu 3. Cho hàm số y= x − x −1. Khẳng định nào sau đây đúng? 3 A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng và không có giá trị lớn nhất. 4 3 B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng và giá trị lớn nhất bằng 1. 4 C. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ x =1 và giá trị lớn nhất bằng . Câu 4. Hàm số y=11 + x22 + − x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 2 . Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất N của hàm số y=+sin44 x cos x . 1 A. NM= −2; = 1. B. NM==0; 2 C. NM==;1. D. NM==0; 1. 2 Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yxx=−sin44 cos . A. 0 . B. . C. −1. D. Không tồn tại. Câu 7. Tìm điểm có hoành độ trên 0; để hàm số y=+1 2sin x .cos x đạt giá trị nhỏ nhất . 2 A. x = . B. x = . C. x = 0 và x = . D. x = . 4 6 2 3 Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất N của hàm số y=+sin66 x cos x . 1 1 A. MN=1; = − 1. B. MN==2; 0 . C. MN=;1 = − . D. MN==1; . 4 4 3 Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= x3 −33 x + trên −1; . 2 A. maxy= 5 . B. maxy= 3 . C. maxy= 4 . D. maxy= 6 3 3 3 3 x − 1; x − 1; x − 1; x − 1; 2 2 2 2 Câu 10. Hàm số y= x32 −2 x − 7 x + 5 có giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M trên 1;3 . Tính tổng m + M. 338 446 A. mM+ = − . B. mM+ = − 27 27 14 C. mM+ = −10 . D. mM+ = − . 27 18
19. Câu 11. Tìm các giá trị của tham số m > 0 để hàm số y= x3 −31 x + đạt giá trị nhỏ nhất trên mm++1; 2 luôn bé hơn 3. 1 A. m (0;1) . B. m ( ;1) . 2 C. m ( − ;1) \ − 2. D. m (0;2). Câu 12. Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê, mỗi căn hộ thêm 50.000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ti đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ti có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu? A. 115.250.000. B. 101.250.000. C. 100.000.000. D. 100.250.000. Câu 13. Doanh nghiêp Hồng Anh cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là xx3 + 2 ( triệu đồng ), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326yy− 27 2 ( triệu đồng ). Hỏi doanh nghiệp Hồng Anh cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày). A. 6. B. 5. C. 4. D. 7. Câu 14. Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 m3 nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất. Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày thành bể và đáy bể là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau. A. 9m. B. 6m. C. 3m. D. 2m. Câu 15. Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường đại học kinh tế quốc dân Hà Nội. Kỳ I của năm thứ nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m2 đất khi bán là 1500.000 VN đồng. A. 112687500VN đồng. B. 114187500VN đồng. C. 115687500VN đồng. D. 117187500VN đồng. Câu 16. Đồ thị hàm số yx=42 −2x + 5 có bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 17. Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng y = 2 là một đường tiệm cận ? 3x 21x − −+21x A. y = . B. y = . C. y = . D. yx=−2. x − 2 2 − x 2 − x 19
20. 31x + Câu 18. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = . x − 1 A. x =−1. B. x =1. C. x = 3. D. x =−3. 21x + Câu 19. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . x − 1 A. y =−1. B. y = 1. C. y =−2 . D. y = 2. 2xm+ Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = xm+ tạo với 2 trục tọa độ một hình vuông. A. m = 2. B. m =−2 . C. A và B sai. D. A và B đều đúng. Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số để khoảng cách từ giao điểm của 2 đường tiệm cận mx + 2 của đồ thị hàm số y = tới gốc tọa độ O bằng 5 . x + 1 A. m = 4 . B. m = 2 . C. A và B sai. D. A và B đều đúng. 23− x Câu 22. Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị của tham số để tiệm cận đứng của đồ thị 3xm− hàm số nằm bên trái trục tung. A. m 0 . B. m = 0 . C. tùy ý. D. m . Câu 23. Cho hàm số y f x có limfx 1 và limfx 1. Khẳng định nào sau đây là x x khẳng định đúng ? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 1 và y 1. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 1 và x 1. x 1 Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y có hai đường tiệm mx2 1 cận ngang. A. m . B. m 0 . C. m 0. D. m 0 . 2mx+ m Câu 25. Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đường tiệm cận x − 1 đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8. 1 A. m = 2. B. m = . C. m = 4. D. m = 4 . 2 IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C B B C B C D A A A B A C D A C D D D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D D 20