Đề thi chọn Học sinh giỏi THPT cấp Tỉnh môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Sóc Trăng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn Học sinh giỏi THPT cấp Tỉnh môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Sóc Trăng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SÓC TRĂNG Năm học 2020-2021 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề chính thức Môn: TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Hướng dẫn chấm (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Bài Đáp án Điểm 1 3,0 1) Giải phương trình x2 5 x 54 24 x 5 x 2 9 0 . Đặt t x2 5 x 9, t 0 0,5 Ta có t x2 5 x 9 54 24x 5 x2 5 t x 9 0,5 Thay vào phương trình ta được t 5 t x 9 0 t2 5 t 9 x 2 0,5 x 5 x 9 t 1 Ta có hệ phương trình 2 t 5 t 9 x 2 Trừ vế theo vế (1) và (2) ta có 0,5 t x t x t x 6 0 t x 6 0,5 x 2 13 t x: 1 x2 4 x 9 0 x 2 13 x 2 13 t 2 13 0 (thỏa) x 2 13 t 2 13 0 (không thỏa) 0,5 x 3 2 3 t x 6 : 1 x2 6 x 3 0 x 3 2 3 x 3 2 3 t 3 2 3 0 (không thỏa) x 3 2 3 t 3 2 3 0 (thỏa) Vậy nghiệm của phương trình là x 2 13 , x 3 2 3 Trang 1/5
2. Bài Đáp án Điểm 3,0 2 3 cos2 x 3 3 3 2 sin 2x 2) Giải phương trình . 2cos 2x 1 cos2x 3sin 2 x tan2 x Điều kiện 0,5 1 x k cos 2x 6 2 cos 2x 0 x k k 4 2 sin 2x 0 x k 2 0,5 2 3 cos2 x 3 3 3 2 sin 2x 2cos 2x 1 cos2x 3sin 2 x tan 2 x 3 cos 2x 3 3 2 sin 2x 2cos2x 1 2cos2 x 1tan2 x 3sin2x 3 3sin2 x 2sin2 x 0,5 3 sin 2x 2 0,5 2x k 2 3 2 2x k 2 3 0,5 x k 6 k x k 3 0,5 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x k k 3 Trang 2/5
3. Bài Đáp án Điểm 2 Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 2022 cạnh. Có bao nhiêu đa giác đều 3,0 phân biệt có đỉnh là các đỉnh của (H)? Gọi n là số cạnh của đa giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 2022 cạnh. 0,5 Ta có n 3 và n là ước của 2022. Ta có 2022 2.3.337 0,5 n 3: có 2.337 674 tam giác đều. 0,5 n 6 : có 337 lục giác đều. n 337 : có 2.3 6 đa giác đều 337 cạnh. 0,5 n 674 : có 3 đa giác đều 674 cạnh. n 1011 : có 2 đa giác đều 1011 cạnh. 0,5 n 2022 : có 1 đa giác đều 2022 cạnh. Vậy có tất cả 674 337 6 3 2 1 1023 đa giác đều phân biệt có đỉnh là các 0,5 đỉnh của đa giác đều đã cho. 3 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB,,, BC CD DA lần lượt 3,0 lấy các điểm EFGH,,, tùy ý. Chứng minh rằng: 2 EF2 FG 2 GH 2 HE 2 4 . A E B H F D G C EF2 FG 2 GH 2 HE 2 0,5 BE2 BF 2 CF 2 CG 2 DG 2 DH 2 AH 2 AE 2 BF2 CF 2 CG 2 DG 2 DH 2 AH 2 AE 2 BE 2 0,5 Ta có BF2 CF 2 BF CF 2 1 0,5 Tương tự: CG2 DG 2 1, DH 2 AH 2 1, AE 2 BE 2 1 0,5 Suy ra EF2 FG 2 GH 2 HE 2 4 2 1 0,5 Mặt khác BFCF2 2 1 2 1 2 BFCF 1 BFCF 2 2 2 1 1 1 0,5 Tương tự: CG2 DG 2 ,, DH 2 AH 2 AE 2 BE 2 2 2 2 Suy ra EF2 FG 2 GH 2 HE 2 2 Vậy 2 EF2 FG 2 GH 2 HE 2 4 Trang 3/5
4. Bài Đáp án Điểm 4 3,0 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I 1;1 và phương trình đường thẳng CD:3 x 7 y 19 0 , điểm B nằm trên đường thẳng :x y 9 0 . Gọi EF, lần lượt là hình chiếu của A và C trên . Tìm tọa 11 32 độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết H ; là giao điểm của hai đường 7 7 thẳng AF và CE . 0,5 Δ E A B H F M N D C Gọi M BF  CD, N AE  CD AH AE AH AE AE// CF . Mà CF BE nên 1 HF CF HF BE DN AD Hai tam giác ADN, MFC đồng dạng, suy ra FC MF DN FC DN FC 2 AD MF CD MF FC FM 0,5 Tương tự, hai tam giác CFM, AEB đồng dạng, suy ra EA EB FC AE 3 FM BE DN AH Từ (1), (2), (3) ta có DH// CF DH  DC HF Phương trình DH: x y 3 0 0,5 Tìm được tọa độ đỉnh D 4; 1 là giao điểm của CD và DH 0,5 Tìm được tọa độ điểm B 6;3 0,5 Tìm được tọa độ điểm C 3; 4 0,5 Tìm được tọa độ điểm A 1;6 Trang 4/5
5. Bài Đáp án Điểm Cho hình lập phương có khoảng cách giữa hai đường thẳng BD 5 ABCD. A B C D 5,0 và AD bằng a . Trên BD và AD lần lượt lấy hai điểm MN, sao cho AN BM ( M không trùng với B hoặc D ). 1) Chứng minh MN song song với mặt phẳng ABB A . 2) Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất. Khi đó hãy tính độ dài MN theo a . 1) Kẻ NK// A A K AD , khi đó NK/ / ABB A 1 0,5 D N DK 0,5 D A DA DK DM Mặt khác KM/ / AB KM / / ABB A 2 D N DM DA DB D A DB Từ (1) và (2) suy ra MNK //// ABBA MN ABBA 0,5 A' D' 2) Gọi OO, lần lượt là tâm của hai 0,5 O' hình vuông ABCD và ABCD . N C' B' Ta có I BD//// B D BD AB D J d BD,, AD d O AB D K A D M O B C AB  A B AD  A D 0,5 AB  CA , AD  CA . Suy ra CA  AB D AB  BC AD  CD Gọi I CA  AO , J là trung điểm của AI 0,5 Ta có OJ// CA OJ  AB D tại J . Khi đó khoảng cách giữa BD và AD bằng OJ a 3 3 0,5 CA CI .2 OJ 3 a . Suy ra cạnh của hình lập phương bằng a 3 2 2 Gọi BM AN x 0,5 NK AN D D 2 NK AN x D D AD AD 2 MK DM AB 2 MK DM 6 a x AB DB DB 2 2 0,5 2 2 2 2 2 6 3 2 MNNKMKx 6 axa 3 x a a 2 2 3 6 0,5 MN2 a 2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x a 2 2 6 Vậy độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất là a khi MO 2 Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác và đúng vẫn cho đủ số điểm. Trang 5/5