Bài giảng Hình học lớp 12 - Các dạng bài tập về góc và khoảng cách trong hệ Oxyz - Tạ Thị Thúy Chinh

Nội dung text: Bài giảng Hình học lớp 12 - Các dạng bài tập về góc và khoảng cách trong hệ Oxyz - Tạ Thị Thúy Chinh

1. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. GOĆ : 1. Gĩc giữa hai mặt phẳng. Gĩc giữa hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 , (Q): A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 được ký hiệu: 0oo ((PQ ),( )) 90 , xác định bởi hệ thức AA'++ BB' CC' cos((PQ ),( ))= . A2+ B 2 + C 2 . A' 2 + B' 2 + C' 2 Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) AA'+BB'+CC'= 0. 2. Gĩc giữa hai đường thẳng. Gĩc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) cĩ vectơ chỉ phương u = (a;b;c) và u' = (a';b';c') là  aa'''++ bb cc cos = (0o 90o ). a2+ b 2 + c 2.''' a 2 + b 2 + c 2 Đặc biệt: (d) ⊥ (d') aa'+bb'+cc'= 0.
2. 3.Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng Gĩc giữa đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương u = (a;b;c) và mp ( ) cĩ vectơ pháp tuyến n = (A;B;C). Aa + Bb + Cc sin = cos(n, u) = (0o 90o ). A2 + B2 + C2 . a 2 + b2 + c2 Đặc biệt: (d) //( ) hoặc (d)  ( ) Aa + Bb +Cc = 0.
3. II. KHOANG̉ CACH́ 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Khoảng cách từ M (x0 ;y0; z0 ) đến mặt phẳng ( ) cĩ phương trình Ax + by + Cz + D = 0 là: Ax + By + Cz + D d(M,(P)) = 0 0 0 . A2 + B2 + C 2 Chú ý: + Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm (bất kỳ) thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. + Khoảng cách giữa một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nĩ là khoảng cách từ một điểm (bất kỳ) thuộc đường thẳng đến mặt phẳng .
4. II. KHOANG̉ CACH́ 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng dqua điểm Mocĩ vectơ chỉ phương u : M M; u 0 d(,). M d = u CHÚ Ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
5. II. KHOANG̉ CACH́ 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và cĩ vectơ chỉ phương u và d’ đi qua điểm M’ và cĩ vectơ chỉ phương u' là: u;'. u M M 0 d( d , d ')= . uu;'
6. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 1: ĐA: 1D,2C,3A xt=+2 xt=−1 1.Cho hai đường thẳng d1 :1 y= − + t và dy2 :2 = . Gĩc giữa hai đường thẳng d1 và z = 3 zt= −2 + d2 là: A30. B. 120. C. 150. D. 60 . x y z 2. Cho đường thẳng : == và mặt phẳng (P): 5x+ 11 y + 2 z − 4 = 0 . Gĩc giữa 1− 2 1 đường thẳng và mặt phẳng (P) là: A. . B. −30 . C. . D. −60 . 3. Cho mặt phẳng ():2 x− y + 2 z − 10;(): = x + 2 y − 2 z − 30 = . Cosin gĩc giữa mặt phẳng () và mặt phẳng () bằng: 4 4 4 4 A. B. − . C. . D. − . 9 9 33 33
7. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 2: Khoảng cách từ điểm A(2; 4; 3) đến mặt phẳng () : 2x+ y + 2 z + 1 = 0 và () : x = 0 lần lượt là dA( ,( )) , dA( ,( )) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. dA( ,() ) = 3. dA( ,(). ) B. dA( ,() ) dA( ,(). ) C. dA( ,() ) = dA( ,(). ) D. 2. dA( ,() ) = dA( ,(). ) ĐÁP ÁN D 2.xz+ y + 2. + 1 x dA( ,( )) ==AAA 1 ; dA( ,( )) ==A 2. 22++ 1 2 2 2 12 Kết luận: d( A,( )) = 2. d( A ,( )) .
8. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () : 2x− y − 2 z − 4 = 0 và (): 2x− y − 2 z + 2 = 0 . 10 4 A. 2. B. 6. C. . D. . 3 3 ĐÁP ÁN A Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ mợt điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 2.2− 1.0 − 2.0 + 2 Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuợc () . Khi đó d(( ),(  )) = d( H ,(  )) = = 2 . 22+ ( − 1) 2 + ( − 2) 2
9. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 4: xt=+1 Tính khoảng cách giữa mặt phẳng () : 2x− y − 2 z − 4 = 0 và đường thẳng d: yt=+24 . zt=− 1 4 A. . B. . C. 0. D. 2. 3 3 ĐÁP ÁN B Đường thẳng d song song với mặt phẳng () . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ mợt điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng. Ta lấy điểm H (1; 2; 0) thuợc đường thẳng d. Khi đó: 2.1− 1.2 − 2.0 − 4 4 d(,())(,()) d = d H = = . 22+ ( − 1) 2 + ( − 2) 2 3
10. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 5: ĐA: 1D, 2C xt=+2 1. Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d: y=+ 4 3 t , tR bằng: zt= −25 − 1 4 5 A . B. . C. . D. 0 35 35 35 xt=+1 2. Khoảng cách từ điểm H (1;0;3) đến đường thẳng d1 :2 y= t , và mặt phẳng zt=+3 (P): z −=30 lần lượt là d(,) H d1 và d( H ,( P )) . Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A d( H,,(). d1 ) d( H P ) B. d( H,(),. P) d( H d1 ) C. d( H, d1 ) = 6. d( H ,( P )) . D. d( H,( P )) = 1.
11. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 6: xt=+12 xt=−2 Trong khơng gian Oxyz , cho hai đường thẳng d: yt=− 2 2 và d': y= − 5 + 3 t . zt= zt=+4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng: 41 9 19 38 A. . B. . C. . D. . 19 39 41 41 Lời giải. d cĩ VTCP u =−(2; 2;1) và đi qua M (1;2;0) d 'cĩ VTCP u '=− ( 2;3;1) và đi qua M '(0;− 5;4) Từ đĩ ta cĩ MM '= ( − 1; − 7;4) và [uu , ']= ( − 2;1;6) 0 Lại cĩ [u , u ']. MM '= 19 0 Suy ra d chéo nhau với d ' và khoảng cách giữa hai đt bằng ′ ′ | , . | 19 = . |[ , ′]| 41
12. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 7:(VDC) x−5 y − 1 z − 2 1. Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(3;− 2;4) và đường thẳng d : ==. 2 3− 2 Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho M cách A một khoảng bằng 17 . Tọa độ điểm M là A.(5;1;2) và (6; 9; 2). B. và (−1; − 8; − 4) . C.(5;− 1;2) và(1;− 5;6) . D.(5;1;2) và (1;− 5;6) . Hướng dẫn giải Cách 1: M(5+ 2 t ;1 + 3 t ;2 − 2 t) d ; AM(2+ 2 m ;3 + 3 m ; − 2 − 2 m) 2 m = 0 M (5;1;2) AM =17 17( 1 + m) = 17 m =−2 M (1;− 5;6) Cách 2: Kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng d cĩ 2 cặp điểm trong đáp án B và C thuộcđường thẳng d . Dùng cơng thức tính độ dài AM suy ra đáp án C thỏa mãn.
13. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 7:(VDC) 2.Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng x−+12 y z d : == và tạo với trục Oy gĩc cĩ số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây 1−− 1 2 thuộc mp( P)? A. E(−3;0;4) . B. M (3;0;2) . C. N (−1; − 2; − 1) . D. F (1;2;1) . Hướng dẫn giải: Gọi n( a; b ; c) ; n 0là VTPT của (P) ; là gĩc tạo bởi và Oy , lớn nhất khi sin lớn b nhất. Ta cĩ n vuơng gĩc với ud nên n( b+ 2 c ; b ; c) sin == cos(nj , ) 2b22++ 5 c 4 bc Nếu b =0 thì sin = 0. 1 c 2 Nếu b 0 thì sin = . Khi đĩ, sin lớn nhất khi =− 2 b 5 5c 2 6 ++ b 5 5 chọn bc=5; = − 2 Vậy, phương trình mp(P) là xyz+5 − 2 + 9 = 0 . Do đĩ ta cĩ NP ( ) .
14. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 7: 3.Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm MN(0;−− 1; 2) ,( 1;1; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua MN, và tạo với mặt phẳng (Q):2 x− y − 2 z − 2 = 0 gĩc cĩ số đo nhỏ nhất. Điểm A(1;2;3) cách mp(P) một khoảng là 53 7 11 43 A. 3. B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: 3 11 3 (P) cĩ VTPT n vuơng gĩc với MN (−1;2;1) nên n(2 b+ c ; b ; c) . b Gọi là gĩc tạo bởi (P) và(Q), nhỏ nhất khi cos lớn nhất. Ta cĩ cos = 5b22++ 2 c 4 bc Nếu b =0 thì cos = 0. 1 c Nếu b 0 thì cos = . Khi đĩ, cos lớn nhất khi = −1 chọn bc=1; = − 1 2 c b 2 ++ 1 3 b Vậy, phương trình mp(P) là x+ y − z +30 = . Do đĩ d( A,3( P)) = .
15. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 7:(VDC) 4.Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho (P): x− 2 y + 2 z − 1 = 0 và 2 đường x+1 y z + 9 x − 1 y − 3 z + 1 thẳng :;: = = = = . 121 1 6 2 1− 2 Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1 , M cĩ toạ độ là các số nguyên, M cách đều 2 và (P). Khoảng cách từ điểm M đến mp( Oxy) là A.3. B. 2 2. C.3 2. D. 2. Hướng dẫn giải: Gọi M( t−1; t ;6 t − 9) , t Z . M M, u 0 Ta cĩ d( M,,, 2 ) = d( M( P)) = d( M( P)) u t =1 11t − 20 t Z 29tt2 − 88 + 68 = với M (1;3;− 1) 53 ⎯⎯→ =t 1 3 02 t = 35 Vậy, M(0;− 1;3) d( M ,(Ox y )) = 3.
16. B. BÀI TẬP BÀI TẬP 7:(VDC) 5,Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 điểm AB(1;5;0) ;( 3;3;6) và x+−11 y z đường thẳng d : ==. Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện 2− 1 2 tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là A. 29. B. 29. C. 33. D. 7. Hướng dẫn giải: Ta cĩ 2 đường thẳng AB và d chéo nhau. B Gọi C là điểm trên d và H là hình chiếu vuơng gĩc H của C trên đường thẳng AB . A 1 Vì S= AB  CH =11  CH nên S nhỏ nhất khi ABC 2 ABC CH nhỏ nhất CH là đoạn vuơng gĩc chung của 2 đường thẳng AB và d . Ta cĩ C(1; 0; 2) = AC 29 . C
17. I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O) Bước 2: Xđịnh toạ độ các điểm có liên quan(có thể xđịnh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : • Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). • Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ • Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng
18. Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong khơng gian 1. Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ 2. Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ sao cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D’(0; a; a) Chọn hệ trục tọa độ sao cho: Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho: • Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) • Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c)
19. 3. Với hình chĩp tứ giác đều S.ABCD 4. Với hình chĩp tam giác đều S.ABC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuơng bằng a và đường cao SO = h cách 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuơng Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h. Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) Khi đĩ Khi đĩ: aa a2 a 2 a 2 a 2 AB(− ;0;0); ( ;0;0) ACBD(−− ;0;0); ( ;0;0); ; (0; ;0); (0; ;0) 22 2 2 2 2 aa33 Sh(0;0; ) C(0; ;0); S (0; ; h ) 26
20. 5. Với hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD) 6. Với hình chĩp S.ABC cĩ ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD) ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = b và chiều cao bằng h ABCD là hình thoi cạnh a và chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) Khi đĩ: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h)
21. 7. Với hình chĩp S.ABC cĩ SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuơng tại A 8. Với hình chĩp S.ABC cĩ SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuơng tại B Tam giác ABC vuơng tại B cĩ BA = a; BC = b đường cao bằng h. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = a; AC = b đường cao bằng h. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đĩ: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h) Khi đĩ: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h)
22. 10. Với hình chĩp S.ABC cĩ (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuơng tại A 11.Hình lăng trụ cĩ đáy là tam giác vuơng tại O z hình a) ΔABC vuơng tại A: AB = a; AC = b và chiều cao bằng h y H là trung điểm của AB O Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đĩ: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h) hình b) Tam giác ABC vuơng cân tại C cĩ x CA = CB = a đường cao bằng h. H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) a a a Khi đĩ: A(0; ;0), B (0,− ;0); C ( ;0;0) S (0;0; h ) 2 2 2
23. Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài tốn: Các dạng câu hỏi thường gặp 1.Khoảng cách giữa 2 điểm:  Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là: 2 2 2 AB=()()() xBABABA − x + y − y + z − z 2.Khoảng cách từ điểm đến Đường thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) [M0Mu , ] Cách 1:( d đi qua M0 cĩ vtcp u ) dM(,) = u Cách 2: Phương pháp : ▪ Lập ptmp( )đi qua M vàvuơng gĩcvới (d) ▪ Tìm tọa độ giao điểm H của mp( ) và d ▪ d(M, d) =MH
24. 3. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi cơngthức Ax 0+By 0 + Cz 0 + D dM(,)0 = ABC2++ 2 2 4 .khoảng cách giữa 2 đường thẳng A, Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (d) điqua M(x0;y0;z0);cĩvtcp a= (;;) a1 a 2 a 3 (d’)quaM’(x’0;y’0;z’0) [a , a ']. MM ' V ddd( , ') ==hop [aa , '] Sday ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD AB, CD AC khi biết tọa độ của chúng d(,) AB CD = AB, CD
25. 5. gĩc giữa 2 đường thẳng  Gĩc giữa hai đường thẳng ( ) đi qua M(x0;y0;z0) cĩ VTCP a= (;;) a1 a 2 a 3 ( ’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) cĩ VTCP a'(';';')= a1 a 2 a 3 aa.' a.'.'.' a++ a a a a cos = c os( a , a ') = = 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 aa.' a1+ a 2 + a 3.''' a 1 + a 2 + a 3 6.gĩc giữa 2 mặt phẳng  Gọiφ là gĩc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 n.P nQ A.A'++BBCC . ' . ' cnos = cos(n , ) == P Q 2 2 2 2 2 2 nPQ . n ABCABC+ +.''' + +
26. 7.gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( ) đi qua M0 cĩ VTCP a , mp(α) cĩ VTPT n= (;;) A B C Gọi φ là gĩc hợp bởi ( ) và mp(α) Aa +Ba +Ca sin ==c os( a , n ) 1 2 3 2 2 2 2 2 2 A.+B + C a1 + a 2 + a 3 8. diện tích thiết diện 1  Diện tích tam giác : S= [,] AB AC ABC 2  Diện tích hình bình hành: SABCD= [AB , AD ]. 9.thể tích khối đa diện 1 1 - Thểtích chĩp: Vchĩp = Sđáy.h Hoặc VABCD= [AB , AC ]. AD (nếu biết hết tọa độ các đỉnh) 3 6 - Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [AB , AD ]. AA '
27. S z z A' z D' B' C' A=O x y D G O O B C x z y y S x z z S B x A x O C A=O x O y B y D C y
28. Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Gọi N là trung điểm của B’C’. a. Tính thể tích khối tứ diện ANBD’. b. Tính gĩc và khoảng cách giữa hai đường z thẳng AN và BD’. A D c. Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D). B C A'(0;0;0), Ba '( ;0;0), DaCaaA '(0; ;0), '( ; ;0), (0;0; aBaa ), ( ;0; ), a D' C(;; a a a ), D (0;; a a ), N (; a ;0) y 2 A'=O x B' C' a) Tính thể tích tứ diện ANBD’ . Ta cĩ cơng thức tính thể tích tứ diện là: 1 |AN . BD '| 3 b. Ta cĩ gĩc giữa hai đường thẳngV AN= và| BD’ AN , ABlà: cos(AN,BD')= . AD ' |. = ANBD' c. Mặt phẳng (AC’D) cĩ VTPT cùng phương6 với [AC ', AD ]=(-a22 ;0;-a| )AN. Ta || chọn BD '| VTPT9 của aa23 mặt phẳng ( AC’D) là2 n = (1;0;1) .Vì thế phương trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0. Ta cĩ: AB, AN = 0; a ; , AD ' = (0; a ; − a ), AB , AN | . ADAN ', BD = ' . ABDo | đĩa thể26 tích tìm Khoảng cách giữa hai đường22 thẳng này là: d( AN , BD ') == a ta cĩ khoảng cách là: d( C ,( AC ' D )) = . a3 | AN , BD ' | 26 được là: V = . 2 12
29. Ví dụ 2. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh là 5 tâm O, SO vuơng gĩc z với đáy; các cạnh bên SA==2 3, SB 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. S a)Tính gĩc giữa hai đường thẳng: SA và BM. b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: SA và BM N M Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta cĩ tọa độ các đỉnh như sau: OABSD(0;0;0), (2;0;0), (0;1;0), (0;0;2 2), (0;− 1;0), D C CM(−− 2;0;0), ( 1;0; 2) O x B 푆 2; 0; −2 2 , −1; −1; 2 , 푆 −1; 0; − 2 , A y 푆 , = (−2 2; 0; 2) b) Khoảng|SA . BM cách | giữa 3 hai đường thẳng SA và BM bằng: a. Ta cĩ cos(SA , BM ) ==. Do đĩ gĩc giữa hai đường thẳng này là 600 . 2 ||SA 푆 , |.| BM .푆 | | 4 2 2 6 = = | 푆 , | 2 3 3
30. Ví dụ 3 : Cho tứ diện OABC cĩ đáy OBC là tam giác vuơng tại O, OB=a, OC= a 3 , (a>0) và đường cao OA= a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM Lg: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đĩ O(0;0;0), AaB(0;0; aC 3); a ( ;0;0), (0; 3;0), aa3 aa33 M ;; 0 , gọi N là trung điểm của AC N 0;; . 22 22 MN là đường trung bình của tam giác ABC AB // MN AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)). a aaa333 OMON== ;; 0 ,0;; 2 222 33333a22222 aaaa [;];;3;OM 1;ONn 1 === , với n = ( 3; 1; 1). ( ) 44444 Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến nx: 30 y+ z + = 3.a ++ 0 0 aa315 a 15 Ta cĩ: d( B ; ()) OMN === . Vậy, d( AB ;). OM = 3++ 1 15 5 5
31. Ví dụ 4: Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với đáy và ABC vuơng tại C. Độ dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC). 3 17 Lg: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: ĐA: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0). 85 mp(P) qua H vuơng gĩc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy ( SHB),( SBC) = ( IH , IK ) (1). SB =( − 1; − 3; 4) , SC =−(0; 3; 4) suy ra: xt=−1 x = 0 ptts SB: yt=−33, SC: yt=−33 và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. zt= 4 zt= 4 5 15 3 51 32 IH. IK IK ; ; , 0; ; =cos ( SHB) ,( SBC ) = 8 8 2 25 25 IH. IK Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đĩ ta khơng cần phải tìm K.
32. Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ độ dài các cạnh bằng 1.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD . A, tính thể tích khối chĩp M.A’B’D’ b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN 3 Đ/S: d = 22 Bài 2 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B ‘C‘D‘cĩ AB=a, AD = a, AA’ = b (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b. Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuơng gĩc với nhau ab2 Đ/S: a, v = , b. a:b = 1 4
33. a 3 Bài 3: Cho hình hộp đứng ABCD. A’ B’ C’ D’ cĩ các cạnh AB= AD = a, AA'= và gĩc BAD = 600 . 2 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’ D’ và A’B’ A,Chứng minh AC ' vuơng gĩc với mặt phẳng (BDM ). B, Tính thể tích khối chĩp A. BDMN C, Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và C’D’
34. Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D cĩ cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB', CD , A ' D '. Gĩc giữa hai đường thẳng MP và C’N là: A. 30o. B. 120o. C. 60o. D. 90o. Câu 2. Cho hình chĩp A.BCD cĩ các cạnh AB, AC, AD đơi một vuơng gĩc. ABC cân, cạnh bên bằng a, AD= 2 a . Cosin gĩc giữa hai đường thẳng BD và DC là: 4 2 4 1 A. . B. − . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 3. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AC = 5 . SAC vuơng cân tại A. K là trung điểm của cạnh SD. Hãy xác định cosin gĩc giữa đường thẳng CK và AB? 4 2 4 2 A. . B. . C. . D. . 17 11 22 22 ĐA : 1D,2A,3C
35. 1. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SAD là tam giác đều và mp( SAD) ⊥ mp( ABCD) . Gọi M,N,P,K lần lượt là trung điểm của DC,BC,SB,SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP. 3 a 5 a 5 a 5 A. a 5 . B. . C. . D. . 10 10 6 12 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân, AA'= 2 a , AB = AC = a . Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABC'''. I là tâm của hình chữ nhật AA'' B B . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IG và GC' , biết hai đường thẳng này song song với nhau. 5 5 5 5 A. 2a . B. a . C. 3a . D. 4a . 41 41 41 41