Giáo án môn Toán Lớp 11 - Tuần 22, Tiết 86: Chủ đề Giới hạn của dãy số

Nội dung text: Giáo án môn Toán Lớp 11 - Tuần 22, Tiết 86: Chủ đề Giới hạn của dãy số

1. 1 TuÇn 22 Tiết: 86 Lớp: 11 Chủ đề: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. Mục tiêu: 1. Về kiến thức: Qua bài học này, học sinh cần biết được: - Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. - Các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số. 2. Về kỹ năng: Học sinh cần rèn luyện các kỉ năng sau: - Rèn luyện tính cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận. - Biết vận dụng định lí vào bài tập . - Xây dựng tư duy logic, linh hoạt, biết quy lạ thành quen, phát triển tư duy logic toán học. - Biết sử dụng máy tính. 3. Về thái độ: - Chủ động tích cực tiếp thu kiến thức mới. - Tích cực và tương tác tốt trong hoạt động nhóm. - Thái độ hứng thú trong học tập. 4.Định hướng phát triển năng lực: - Rèn luyện năng lực tự học, năng lực hợp tác, năng lực giao tiếp, năng lực quan sát, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống, B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Giáo viên: - Giáo án, đồ dùng dạy học. - Các bảng phụ (hoặc trình chiếu) và các phiếu học tập. 2. Học sinh: - Đồ dùng học tập :sgk,máy tính... - Đọc bài trước ở nhà. C. Phương pháp: - Gợi mở, vấn đáp. - Phát hiện và giải quyết vấn đề. - Tổ chức hoạt động nhóm. D.Chuổi các hoạt động học: I. HOẠT ĐỘNG 1:KHỞI ĐỘNG- GIỚI THIỆU(5 phút): 1.Mục tiêu: Giúp HS hình dung được khái niệm giới hạn của dãy số. 2. Phương thức: Vấn đáp, giải quyết tình huống. 3. Năng lực cần đạt: - Giải quyết vấn đề. - Năng lực quan sát. - Năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống. 4. Cách tiến hành: a.Chuyển giao nhiệm vụ-Hình thành khái niệm. (Trình chiếu) Câu hỏi:Em hãy quan sát các hình dưới đây và nêu những hiểu biết của em về các hình
2. 2 x2 x3 x4 x1 Hình 1 Hình 2 b.Thực hiện nhiệm vụ: - HS quan sát hình vẽ, hình dung , tưởng tượng. - HS làm việc cá nhân, trao đổi với bạn bên cạnh về kết quả thực hiện. - GV gợi ý khi cần thiết. c.Báo cáo thảo luận: - Kết quả của HS - HS nhận xét tại chỗ. d.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: Trả lời câu hỏi: Hình 1 nói về một nghịch lí của Zê- Nông. x Nghịch lí này nói về câu chuyện: A-sin chạy đua cùng 2 x3 rùa. Một ngày nọ, thần A-sin chạy thi với một con rùa. Do được mệnh danh là thần về tốc độ nên A-sin nhường x4 x1 rùa một đoạn, A-sin ở tại x1 , rùa ở tại x2 . Cả hai xuất phát cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ của thần A-sin là phải đuổi kịp con rùa. Chỉ trong nháy mắt, không mấy khó khăn, A-sin đến được x2 . Thế nhưng dù rùa chạy chậm thì vận tốc của nó vẫn lớn hơn 0 và nó đi đến được x3 . Tiếp tục, A- sin đuổi đến x3 thì rùa đến x4 , A-sin đuổi đến x4 thì rùa đến x5 , Cứ tiếp tục như thế, các điểm này luôn luôn tồn tại và như thế thì A-sin, một vị thần về tốc độ lại không đuổi kịp một con rùa. Điều này là vô lý theo lẽ thường tình, nhưng hoàn toàn không có gì mâu thuẫn trong lập luận Hình 1 trên, vậy điều gì đang diễn ra?
3. 3 Hình 2 nói về một nghịch lí có tên là nghịch lí đường tròn. Nghịch lí này: Xét một đường tròn và một đa giác đều nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên). Số cạnh đa giác tăng từ 3 Bạn có nhận xét gì về đa giác n cạnh ấy nếu như số cạnh cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô tận? Rõ ràng, khi số cạnh không ngừng tăng lên thì đa giác sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp. Điều này cũng không quá khó để tưởng tượng. Khi ấy ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là đường tròn. Hình 2 Học sinh tự nghiên cứu ở nhà: Bằng những hiểu biết của mình, em hãy tìm xem những lập luận ở trên đúng hay sai? Vì sao? * GV giới thiệu bài học: Các nội dung trên liên quan bài toán giới hạn mở đầu về Giải tích.Nội dung của chương này xoay quanh hai khái niệm cơ bản là giới hạn và liên tục, là cơ sở cho việc nghiên cứu các nội dung khác của giải tích(Đạo hàm, Tích phân, ).Đặc biệt cho phép giải quyết các bài toán của khoa học và thực tiễn, mà ta không thể giải quyết được nếu chỉ dùng các kiến thức của Đại số.Đó chính là những bài toán liên quan tới sự vô hạn.Giới hạn của dãy số là nội dung mà chúng ta nghiên cứu trong tiết học hôm nay. Chủ đề: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (Nội dung ghi bảng- trình chiếu) II. HOẠT ĐỘNG 2: NỘI DUNG BÀI HỌC (HÌNH THÀNH KIẾN THỨC) 1. Mục tiêu: Học sinh biết được khái niệm giới hạn của dãy số. - Nắm vững khái niệm dãy số có giới hạn 0; giới hạn hữu hạn của dãy số. 2. Phương thức: Hỏi đáp, gợi mở, giao bài tập. 3. Năng lực cần đạt: - Năng lực tự học - hợp tác - giao tiếp – vận dụng kiến thức vào cuộc sống. 4.Cách tiến hành: 4.1.Nội dung 1:Dãy số có giới hạn 0:(10 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: Em hãy thử tưởng tượng tình huống sau: Có một cái bánh. Nếu chia đều cho hai người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả lớp 40 người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả trường 1500 học sinh thì mỗi HS được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả huyện 1 triệu người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả thế giới 7,5 tỉ người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Khi số người được chia tăng lên càng lớn thì số bánh mỗi người nhận được như thế nào? 1 ? Ta hình thành dãy số u với u . n n n
4. 4 - Em hãy biểu diễn vài giá trị của dãy số trên trục số? - Nhận xét xem khoảng cách từ un đến 0 thay đổi như thế nào khi n càng lớn ? - Bắt đầu từ số hạng un thứ mấy thì khoảng cách từ un tới 0 nhỏ hơn 0,01 ? 0,001? a.2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi của GV. a.3.Báo cáo thảo luận: - GV biểu diễn dãy (Un) trên trục số cho HS quan sát. - HS trả lời tại chỗ - Kết quả của HS 1 - GV: dãy số u với u là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi số 0, khi n càng tăng thì dãy số n n n càng dần về 0. a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất. - HS tiếp thu khái niệm mới. b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu) I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: 1.Định nghĩa: a.Định nghĩa 1:Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó ta viết: lim un 0 hoặc un 0 khi n . n Quy ước thay cho lim un ta viết tắt limun và hiểu ngầm n . n c.Cũng cố:(Nội dung ghi bảng - trình chiếu - bảng phụ) 1 Ví dụ 1: Dãy số u với u ta xét ở trên thỏa được định nghĩa trên nên nó có giới hạn là n n n 0. n 1 1 Ví dụ 2: Cho dãy số u với u . Kể từ số hạng thứ n trở đi thì ta có u . Hãy n n n2 0 n 100 chọn số n0 nhỏ nhất. A. n0 10. B. n0 101. C. n0 100. D. n0 11. 4.2.Nội dung 2:Dãy số có giới hạn hữu hạn:(10 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: 3n 1 Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với vn = .Chứng minh rằng, dãy số u v 3 có giới hạn là 0. n n n a..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS suy nghĩ trao đôi với bạn bên cạnh về kết quả thực hiện
5. 5 a..3.Báo cáo thảo luận: - Gọi 1 HS lên bảng trình bày LG. - Kết quả của HS a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhât. 3n 1 Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với vn = .Chứng minh rằng, dãy số u v 3 có giới n n n hạn là 0. Giải: 3n 1 1 Ta có : lim (vn 3) lim ( 3) lim 0 n n n n n Vậy lim un 0 (đpcm) n (Nội dung ghi bảng) - GV: Trong ví dụ trên ta nói dãy số (vn) có giới hạn là 3. - GV: HD HS bấm máy tính: 3X 1 +Nhập X + CALC 106 = + CALC 109 = + Kết quả 3 - HS: Khái quát hóa định nghĩa. - HS tiếp thu khái niệm mới. b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn:(Nội dung ghi bảng) b.Định nghĩa 2:Ta nói rằng dãy số vn có giới hạn là số L khi n nếu lim vn L 0.Kí hiệu: lim vn L hoặc limvn L hoặc vn L khi n . n c. Cũng cố: c.1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ) Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 2n 1 5n 3 3n 2 a/ u . b/ v c/ w n n n n n n Câu hỏi 2: Chọn mệnh đề sai. n 1 1 n n 1 A. lim 0. B. lim 3 3. C. lim 2 0. D. lim 1. 10 3 n n Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau: n 5 5n 3 3n 2 a/ u . b/ v c/ w n n n n 1 n 2n 1 c..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm. - GV: Hỗ trợ HS
6. 6 + Các em có thể bấm máy tính để dự đoán kết quả, sau đó sử dụng định nghĩa 2 để tìm giới hạn. c.3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện. - Kết quả của HS c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất. Lời giải- Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng) Đáp số-Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 2n 1 1 a/ lim un 2 lim 2 lim 0 limun 2. n n 5n 3 3 b/ lim vn 5 lim 5 lim 0 limvn 5 n n 3n 2 2 c/lim w n 3 lim 3 lim 0 lim wn 3 n n Câu hỏi 2: Chọn mệnh đề sai. n 1 1 n n 1 A. lim 0. B. lim 3 3. C. lim 2 0. D. lim 1. 10 3 n n 4.3. Nội dung 3: Một vài giới hạn đặc biệt :(3 phút) a.Tiếp cận: - Từ kết quả câu hỏi 2, GV cho HS tiếp thu kiến thức mới. b.Hình thành giới hạn đặc biệt :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ) 2. Một vài giới hạn đặc biệt : 1 1 1 a) lim 0 với k nguyên dương; b) lim 0 và lim 0 ; nk n 3 n n c) limq 0 nếu q 1; d) Nếu un c (c là hằng số) thì limun c . 4.4. Nội dung 4:Định lí về giới hạn hữu hạn :(7 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: - GV: Từ kết quả của câu hỏi 1 trong phiếu HT1, em hãy tìm lim un vn rồi so sánh với limun limvn . a..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận với bạn bên cạnh để tìm câu trả lời. a..3.Báo cáo thảo luận: Ta có limun 2 ; limvn 5 ; lim(un vn ) lim wn 3 - Ghi nhận kết quả: lim un vn = limun limvn . GV: Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên người ta thường áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí sau đây. a.4.Kết luận: - GV: Nhấn mạnh, dãy un ;vn đều phải có giới hạn hữu hạn.Phát biểu tương tự các nội dung còn lại trong định lí.
7. 7 - HS tiếp thu khái niệm mới. b.Hình thành định lí về giới hạn hữu hạn :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu) II. Định lí về giới hạn hữu hạn : Định lí 1: a. Nếu limun a và limvn b thì + lim un vn a b + lim un vn a b un a +lim un.vn a.b + lim b 0 vn b b. Nếu un 0 với mọi n và limun a thì a 0 và lim un a . c.Cũng cố: c.1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng) Câu hỏi 3: Tìm các giới hạn sau: 5n2 n 1 9n2 A lim B =lim 1 n2 3 2n Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau: 4n2 n 2n2 n 1 3n2 2n 3 C lim 2 D lim 3 E =lim F lim 1 n 1 n 3 2n 1 2n2 c..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm. - GV: Hỗ trợ HS khi cần. + Các em bấm máy tính để kiểm tra kết quả c.3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện. - Kết quả của HS c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất. Lời giải- Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu) Đáp số-Câu hỏi 3: Giải : 2 1 1 1 1 n 5 5 lim 5 lim5 lim n n 5 0 A lim lim n n 5 1 1 1 1 2 1 lim lim1 0 1 n 2 1 2 lim 2 1 2 n n n n 2 1 1 1 n 2 9 n 9 9 n 2 2 B lim lim n lim n = - 3/2 3 3 3 n 2 n 2 2 n n n
8. 8 III. LUYỆN TẬP:(7 phút) 1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng – bảng phụ - trình chiếu) 3n 2 Câu hỏi 4:Tìm lim ? 2n 1 3 A. -2 B. C. 1 D. 0 2 3n2 n 3 Câu hỏi 5:Tìmlim ? 2n4 1 3 A. B. -3 C. 0 D. 1 2 2n2 3n Câu hỏi 6:Tìm:lim ? 1 5n2 2 3 A. 2 B. 0 C. D. 5 5 2n 5n Câu hỏi 7: Tìm lim ? 3.2n 4.5n 1 1 A. B. C. 1 4 3 D. 2 n2 1 2n Câu hỏi 8: Tìm lim ? 2n 1 1 1 A. B. - C. 0 D. 2 2 Câu hỏi 9 :Tính các giới hạn sau:(Bài tập về nhà) 2n 1 2n2 1 n 1 2n n 3 1.lim 2.lim 3.lim 4.lim n 1 n3 4n 9 n 1 n2 n 1 6n3 2n 1 3 n3 n2 n 1 (2n 1)2 (5n 1)3 5.lim 3 6.lim 7.lim 8.lim 2 2 2n 4n 9 2n 1 n2 1 (n 1) (3n 5) (2n n 1)( n 3) n2 n 1 3n2 n 1 n n 1 9.lim 10.lim 11.lim 12. lim (n 1)(n 2) 2n2 3 2n3 1 n2 n 6n 1 3n2 n 5 3n 5.4n 9n2 n 1 13.lim 14. lim 15.lim 16. lim 3n 2 2n2 1 4n 2n 4n 2 2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm. - GV: Hỗ trợ HS khi cần. + Các em bấm máy tính để kiểm tra kết quả 3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện. - Kết quả của HS 4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất. Lời giải- Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng) 4B; 5C;6C;7A;8A
9. 9 IV.VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG:(3 phút) 1.Vận dụng vào thực tế:(Bài tập HS nghiên cứu ở nhà tiết sau nộp bài, ghi điểm cộng) Bài toán: Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu cho một bức tường 1 hình vuông có cạnh là 1m, các bức tô như sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là m , tô tiếp hình 2 vuông có cạnh bằng một nữa cạnh hình vuông vừa tô...và cứ tô tiếp mãi. Hỏi diện tích mà chú chuột tô được là bao nhiêu? Lời giải: Gọi un là hình vuông được tô màu thứ n 1 1 1 Khi đó u ;u ;...;u . Tổng diện tích tô đến hình vuông thứ n là: 1 4 2 16 n 4n n 1 1 1 u1 1 q u u 1 1 S u u ... u ... 1 1 .qn với u ;q . n 1 2 n 4 42 4n 1 q 1 q 1 q 1 4 4 Vì quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn nên phần diện tích được tô là: 1 1 n 1 1 S lim S lim 4 4 . n 1 1 1 1 4 3 4 4 2. Mở rộng, tìm tòi:(Học sinh nghiên cứu một tuần) a.Sử dụng các kiến thức đã học, em hãy giải thích các nghịch lí đã nêu trong phần giới thiệu. b.Trong tiết học hôm nay ta đề cập đến giới hạn hữu hạn của dãy số, thế thì dãy số như thế nào gọi là có giới hạn không hữu hạn(vô hạn; vô cực)? c.Trong định lí về giới hạn hữu hạn, nếu có ít nhất một trong hai dãy số un hay vn dần ra vô cực ( ) thì ta làm thế nào?Chẳng hạn, tìm các giới hạn sau: 1.lim( n2 1 n) 2.lim(1 n2 n4 3n 1) 3.lim(n n2 1 n n2 2) 4.lim( n2 n 1 n) 5.lim n( n2 1 n2 2 ) 6.lim( 3 n3 2n2 n n) NỘI DUNG PHÁT CHO HỌC SINH: Phiếu HT1: Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 2n 1 5n 3 3n 2 a/ u . b/ v c/ w n n n n n n
10. 10 1 2n2 Câu hỏi 2: Gọi l lim . Tìm l. n2 A. l 2. B. l 2. C. l 0. D. l 1. Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau: n 5 5n 3 3n 2 a/ u . b/ v c/ w n n n n 1 n 2n 1 Phiếu HT2: Câu hỏi 3: Tìm các giới hạn sau: 5n2 n 1 9n2 A lim B =lim 1 n2 3 2n Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau: 4n2 n 2n2 n 1 3n2 2n 3 C lim 2 D lim 3 E =lim F lim 1 n 1 n 3 2n 1 2n2 Phiếu HT3: 3n 2 Câu hỏi 4:Tìm lim ? 2n 1 3 A. -2 B. C. 1 D. 0 2 3n2 n 3 Câu hỏi 5:Tìmlim ? 2n4 1 3 A. B. -3 C. 0 D. 1 2 2n2 3n Câu hỏi 6:Tìm:lim ? 1 5n2 2 3 A. 2 B. 0 C. D. 5 5 2n 5n Câu hỏi 7: Tìm lim ? 3.2n 4.5n 1 1 A. B. C. 1 D. 2 4 3 n2 1 2n Câu hỏi 8: Tìm lim ? 2n 1 1 1 A. B. - C. 0 D. 2 2 Câu hỏi 9 :Tính các giới hạn sau:(Bài tập về nhà) 2n 1 2n2 1 n 1 2n n 3 1.lim 2.lim 3.lim 4.lim n 1 n3 4n 9 n 1 n2 n 1 6n3 2n 1 3 n3 n2 n 1 (2n 1)2 (5n 1)3 5.lim 3 6.lim 7.lim 8.lim 2 2 2n 4n 9 2n 1 n2 1 (n 1) (3n 5)