Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chuyên đề: Số phức

Nội dung text: Bài giảng Giải tích lớp 12 - Chuyên đề: Số phức

1. Chuyên đề số phức A. Tóm tắt lý thuyết 1.Định nghĩa số phức Số phức z là một biểu thức có dạngz = a +bi 2 . trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn i =−1 a là phần thực. b là phần ảo. i là đơn vị ảo. •Tập hợp các số phức kí hiệu làC 2. Số phức bằng nhau. Hai số phức z = a + bi và z ' = a' + b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau a = a' a + bi = a' + b'i  ' b = b
2. 3. Biểu diễn hình học của số phức. Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy. . y M(a;b) b x O a
3. 4. Mô đun số phức • Môđun số phức z = a + bi là số thực không âm kí hiệu z = a2 +b2 5. Số phức liên hợp. Liên hợp của số phức là số phức z = a − bi 6.Cộng, trừ, nhân và chia số phức. Cho hai số phức và z ' = a' + b'i + Cộng hai số phức:(a+bi) +( a'+b'i) =(a + a ') +( b + b ') i +Trừ hai số phức: (a+bi) −( a'+b'i) =(a − a ') +( b − b ') i +Nhân hai số phức: (a+bi)( a'+b'i) =( aa'-bb') +(ab ' + a ' b) i a+bi aa'-bb'ab '+ a ' b + Chia hai số phức: =+ i a'+b'ia '2−− b ' 2 a ' 2 b ' 2
4. 7. Căn bậc hai của số thực âm. Căn bậc hai của số thực a âm là ia 8. Phương trình bậc hai với hệ số thực. 2 Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 với a,b,c , a 0 −bi x = Khi 0 phương trình có hai nghiệm phức: 1,2 2a . .
5. B. Bài tập Bài 1. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau: a) i + (2 − 4i) − (3+ 2i) b) i(2 − i)(3 + i) 1 7 1 1− i 2 2 d) (i − ) e) + 2i −1 c) (1+ i) − (1− i) 2i i 7 1− i 3 − i 3− 2i g) i(2 + i) + h) 3+ i 1+ 2i Giải a) Ta có i + (2 − 4i) − (3+ 2i) = 2−3+i −4i −2i = −1−5i Phần thực là −1 , phần ảo là -5 2 b) Ta có i(2 − i)(3+ i) = (2i +1)(3+ i) = 6i + i + 3+ 2i =1+ 7i Phần thực là 1 , phần ảo là 7
6. c) Ta có (1+i)2 −(1−i)2 =1+ 2i + i2 −1+ 2i −i2 = 0+ 4i Phần thực là 0 , phần ảo là 4 1 1 d) 1 7 1 6 Ta có (i − ) = (i − 8 ) = −1 2i i7 2 i Phần thực là -1 , phần ảo là 0 Bài 2. Cho số phức z = x + iy Tìm phần thực,phần ảo của các số phức sau: 2 a) z + 2z b) z + i Giải iz −1 2 a) z + 2z = z2 + 2z +1−1 = (x +1)2 + 2iy(x +1) + (iy)2 −1 = x2 − y2 + 2x + 2y(x +1)i Phần thực là x 2 − y 2 + 2x Phần ảo là 2y(x +1)
7. b) z + i x + i(1− y) x + i(1− y) (x + i(1− y))(ix +1+ y) = = = iz −1 ix + yi 2 −1 ix −1− y (ix +1+ y)(ix − (1+ y)) 2xy 1+ x2 − y2 + i x2 + (y +1)2 x2 + (y +1)2 1+ x 2 − y 2 2xy phần ảo là Phần thực là , 2 2 x 2 + (y +1) 2 x + (y +1) Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn a) (3 − 2i)x + (5 − 7i)y = 1− 3i b) (1+ 2i)2 x − (4 − 5i)2 y = 2i Giải 8 a) x = − 3x + 5y =1 11 (3− 2i)x + (5 − 7i)y =1−3i   7 2x + 7y = 3 y = 11
8. b) (1+ 2i)2 x −(4 −5i)2 y = 2i  (−3+ 4i)x − (−9 − 40i)y = 2i  (−3x + 9y + (4x + 40y)i = 0 + 2i x, y thỏa mãn hệ phương trình 3 x = − 3x + 9y = 0 − x + 3y = 0 26   1 4x + 40y = 2 2x + 20y =1 y = 26 Bài 4 , của số phức Tìm số phức liên hợp (z) và tính modun ( z ) sau: a) z = 2 +3i b) 3 2 + 3i 4 z = (2 + 3i) c) z = d) z = 2 − i 1− 2i 3 Giải a) Với ta có z = 2 + 3i = 2 −3i z = 2+3i = 22 +32 = 13
9. b) Ta có z = (2 + 3i)3 = 23 +3.22.3i +3.2.(3i)2 + (3i)3 z = 8+36i −54 −27i = −46 +9i Suy ra z = − 46 −9i 2 2 z = (2 + 3i)3 = − 46 +9i = (−46) + 9 = 2197 c) Ta có: 2 + 3i (2 + 3i)(1+ 2i) 2 + 4i + 3i − 6 − 4 + 7i − 4 7 z = = = = = + i 1− 2i (1− 2i)(1+ 2i) 12 + 22 5 5 5 − 4 7 Suy ra z = − i 5 5 2 2 4 7 65 65 z = + − = = 5 5 25 5
10. d) 4 4 z = 2 − i Suy ra z = 2 + i 3 3 2 2 4 34 z = ( 2) + = 3 3 Bài 5. Thực hiện phép tính * Phép cộng ( Bài 1 sgk tr 135) b) a) (3 − 5i) + (2 + 4i) (−2 − 3i) + (−1− 7i) c) (4 + 3i) − (5 − 7i) d) (2 − 3i) − (5 − 4i) * Phép nhân ( Bài 3 tr 136 sgk) Nhân như nhân hai đa thức. Với qui ước i 2 = −1 a) (3 − 2i).(2 − 3i) b) (−1+ i).(3 + 7i) c) 5(4 + 3i) d) (−2 − 5i).4i * Phép chia: ( Bài 1 tr 138 sgk) 2 + i 1+ i 2 5i 5 − 2i a) b) c) d) 3 − 2i 2 + i 3 2 − 3i i
11. Bài 2 (tr 138 sgk) 1 Tìm nghịch đảo của số phức,biết: z a) z = 5 + i 3 z =1+ 2i b) z = 2 −3i c) z = i d) Bài tập luyện tập Bài 3 tr 138 sgk a) 2i(3 + i)(2 + 4i) c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) b) (1+ i) 2 (2i)3 5 + 4i − 2 + i d) 4 − 3i + 3 + 6i Bài 4 tr 138 sgk: Giải các phương trình sau: a) (3 − 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i b) (1+ 3i)z − (2 + 5i) = (2 + i)z z + (2 − 3i) = 5 − 2i c) 4 − 3i
12. Bài 6. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: a) −18 b) −15 +8i Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức 2 2 a) x + 3x + 3 = 0 b) x − 4x + 20 = 0 c) 2x 2 − 3x + 2 = 0 d) z 2 − 4z + 4 = 0 Giải a) Xét phương trình 2 = 9−12 = −3 = ( 3i) Phương trình có hai nghiệm phức là − 3 − 3i , − 3 + 3i x1 = x = 2 2 2 b) Xét phương trình ' = 4−20 = −16 = (4i)2
13. , Phương trình có hai nghiệm phức là x1 = 2 − 4i x2 = 2 + 4i c) Xét phương trình 2x 2 − 3x + 2 = 0 = 9−16 = −7 = ( 7i)2 3 − 7i 3+ 7i Phương trình có hai nghiệm phức là x1 = , x = 4 2 4 2 d) Xét phương trình z − 4z + 4 = 0 ' = 4−4.4 = −12= (2 3i)2 − 2 + 2 3i Phương trình có hai nghiệm phức là z = = −1+ 3i , 1 2 − 2 − 2 3i z = = −1− 3i 2 2
14. Bài 8. Tính modun các nghiệm của phương trình z 2 − 4z +13 = 0 Giải Có =16 −4.13 = −36 = (6i)2 Phương trình có hai nghiệm phức là − 2 + 2 3i − 2 − 2 3i z1 = = −1+ 3i , z = = −1− 3i 2 2 2 Vậy 2 2 z1 = z2 = 2 + 3 = 13
15. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã quan tâm theo dõi!